Zadanie 5.1 Niech G b ¾
edzie podgrup ¾
a S8 generowan ¾
a przez permutacje (123) (45) i (78). Wówczas G jako podgrupa grupy permutacji S8 dzia÷
a na zbiór X = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g poprzez lewe dzia÷anie
: G
X ! X;
( ; x) = (x):
Wyznaczyć wszystkie orbity tego dzia÷
ania oraz stabilizatory wszystkich elementów zbioru X.
Zadanie 5.2 Weźmy dowoln ¾
a liczb ¾
e naturaln ¾
a n i rozwa·
zmy dzia÷
anie
: O(n)
Rn ! Rn;
(A; x) 7! Ax
grupy ortogonalnej O(n) na Rn. Wyznaczyć orbity tego dzia÷ania oraz grup ¾
e izotropii wektora e1
z bazy standardowej przestrzeni wektorowej Rn.
Zadanie 5.3 Niech
: G
X ! X b ¾
edzie lewym dzia÷
aniem grupy G na zbiorze X. Dla dowolnego punktu x 2 X pokazać, ·
ze stabilizator punktu x jest normaln ¾
a podgrup ¾
a grupy G wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie punkty z orbity punktu x maj ¾
a takie same stabilizatory.
Zadanie 5.4 Rozwa·
zmy dzia÷
anie T : O(1)
Sn ! Sn grupy O(1) = f 1; 1g na n-wymiarow ¾
a sfer ¾
e
Sn zde…niowane w ten sposób, ·
ze
T (a; x) = ax
dla dowolnych a 2 O(1), x 2 Sn. Niech
: Sn ! Sn=O(1); x 7! O(1)x
b ¾
edzie rzutowaniem. Przestrzeni ¾
a rzutow ¾
a w Rn+1 nazywamy przestrzeń orbit Sn=O(1) dzia÷ania T razem z najbogatsz ¾
a topologi ¾
a, w której rzutowanie
jest odwzorowaniem ci ¾
ag÷
ym (topologi ¾
a
ilorazow ¾
a wyznaczon ¾
a przez
), tj. podzbiór U
Sn=O(1) jest otwarty w topologii ilorazowej wtedy i tylko wtedy, gdy
1[U] jest otwarty w Sn, gdzie w Sn mamy topologi ¾
e indukowan ¾
a z Rn+1.
Przestrzeń rzutow ¾
a w Rn+1 oznaczamy symbolem RP n.
De…niujemy dzia÷
anie
: R
(Rn+1 n f0g) ! Rn+1 n f0g ;
(a; x) 7! ax:
Orbit ¾
e wyznaczon ¾
a przez x = (x1; : : : ; xn+1) 2 Rn+1nf0g b ¾
edziemy oznaczać symbolem [x1; : : : ; xn+1].
W przestrzeni orbit P = (Rn+1 n f0g)=R tego dzia÷ania wprowadzamy topologi¾
e ilorazow ¾
a wzgl ¾
edem
rzutowania
: Rn+1 n f0g ! P; (x1; : : : ; xn+1) 7 ! [x1; : : : ; xn+1] : (a) Opisać orbity dzia÷
ań T i
oraz stabilizatory ka·
zdego punktu wzgl ¾
edem tych dzia÷
ań.
(b) Pokazać, ·
ze odwzorowanie
jest otwarte i domkni ¾
ete.
(c) Wykazać, ·
ze przestrzenie topologiczne RP n i P s ¾
a homeomor…czne. Homeomor…zmem jest odwzorowanie
x
x
: P ! RP n;
([x1; : : : ; xn]) =
;
;
jjxjj
jjxjj
x = (x1; : : : ; xn+1) 2 Rn+1 n f0g. Pokazać najpierw poprawność de…nicji tego odwzorowania, tj.
niezale·
zność od wyboru reprezentantów.
(d) Obrazem
jSn jest P. Wywnioskować st ¾
ad, ·
ze P jest zwart ¾
a i spójn ¾
a przestrzeni ¾
a topolog-
iczn ¾
a.
(e) Dla dowolnego k 2 f1; : : : ; n + 1g de…niujemy Uk =
[ (x1; : : : ; xn+1) 2 Rn+1 : xk 6= 0
= f[x1; : : : ; xn+1] 2 P : xk 6= 0g
x
x
x
x
x
{
1
2
k 1
k+1
n+1
k : Uk ! Rn;
{k([x1; : : : ; xn+1]) =
;
; : : : ;
;
; : : : ;
:
xk xk
xk
xk
xk
Pokazać, ·
ze
n+1
[ Uk = P
k=1
oraz f{k : k 2 f1; : : : ; n + 1gg jest rodzin ¾
a takich homeomor…zmów, ·
ze {k { 1 jest dyfeomor…zmem
p
klasy C1 dla wszystkich p; k 2 f1; : : : ; n + 1g.
(f ) Dla ka·
zdego m 2 P istnieje jego takie spójne otoczenie (zbiór otwarty) U
P, ·
ze (
jSn) 1[U]
jest sum ¾
a dwóch otwartych roz÷¾
acznych podzbiorów dyfeomor…cznych z U .
Zadanie 5.5 Niech
: G
X ! X,
: G
Y ! Y b ¾
ed ¾
a lewymi dzia÷
aniami grupy G odpowiednio
na zbiór X i zbiór Y . Pokazać, ·
ze odwzorowanie
( ; ) : G
(X
Y ) ! X
Y;
(g; (x; y)) 7 ! ( (g; x); (g; y)) jest lewym dzia÷
aniem grupy G na X
Y . Dzia÷
anie to nazywamy diagonalnym dzia÷
aniem grupy
G na iloczyn kartezjański X
Y . Wykazać, ·
ze stabilizatorem elementu (x; y) 2 X
Y jest cz ¾
eść
wspólna stabilizatora Stab (x) punktu x wzgl ¾
edem dzia÷
ania
oraz stabilizatora Stab (y) punktu y wzgl ¾
edem dzia÷
ania
. Podać przyk÷
ad dzia÷
ań tranzytywnych
: G
X ! X,
: G
Y ! Y ,
których dzia÷
anie diagonalne nie jest tranzytywne.
Zadanie 5.6 Niech fe1; e2; e3g b ¾
edzie kanoniczn ¾
a baz ¾
a przestrzeni wektorowej C3. De…niujemy odwzorowanie T : S3
C3 ! C3 w ten sposób, ·
ze
T ( ; (z1; z2; z3)) = z1e (1) + z2e (2) + z3e (3)
=
z (1); z (2); z (3)
dla wszystkich
2 S3, (z1; z2; z3) 2 C3. Pokazać, ·
ze T jest dzia÷
aniem grupy permutacji S3 na C3.
Wykazać, ·
ze podprzestrzeń wektorowa
V = (z1; z2; z3) 2 C3 : z1 + z2 + z3 = 0
przestrzeni C3 jest niezmiennicza ze wzgl¾
edu na reprezentacj ¾
e e
T : S3 ! Aut(C3)
S(C3) odpowiada-
j ¾
acej dzia÷
aniu T , tj. e
T ( )[V ]
V dla ka·
zdego
2 S3. Wyznacz orbity punktów e1; e2; e3; (i; 1; 0).
Czy dzia÷
anie T jest tranzytywne? Czy T jest wierne?
Pokazać, ·
ze
tr( e
T ( )) = jfj 2 f1; 2; 3g :
(j) = jgj
dla ka·
zdej permutacji
2 S3.
2