Zadanie 7.1
Niech M3;1 b ¾
edzie przestrzeni ¾
a Minkowskiego, tj. R4 z funkcjona÷em dwuliniowym
: R4
R4 ! R;
((x1; x2; x3; y4); (y1; y2; y3; y4)) = x1y1 + x2y2 + x3y3
x4y4:
(a) Wykazać, ·
ze przestrzeń Minkowskiego jest nieosobliwa ( jest niezdegenerowana).
(b) Pokazać, ·
ze w przestrzeni Minkowskiego dla ka·
zdych x; y; z 2 R, nie wszystkich równych zero (x2 + y2 + z2 > 0), istnieje takie t 2 R, ·
ze wektor (x; y; z; t) jest izotropowy.
(c) W przestrzeni Minkowskiego wskazać, tak ¾
a dwuwymiarow ¾
a podprzestrzeń S, ·
ze istnieje niezerowy
wektor x 2 S, który jest prostopad÷y do ka·
zdego jej wektora.
Zadanie 7.2
Niech (V; !) b ¾
edzie przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a nad cia÷
em K. Niech q(x) = !(x; x) oznacza norm ¾
e
wektora x 2 V
(a) Udowodnić nast ¾
epuj ¾
ac ¾
a to·
zsamość Cauchy’ego:
q(x) (q(x)q(y)
!(x; y)!(y; x)) = q(q(x)y
!(x; y)x)
dla wszystkich x; y 2 V .
(b) Z punktu (a) wywnioskować dla przestrzeni euklidesowej (V; !) nierówność Cauchy’ego-Schwarza:
(!(x; y))2
q(x) q(y) dla dowolnych x; y 2 V: Zadanie 7.3
W przestrzeni Minkowskiego M3;1 wykazać nierówność typu Cauchy’ego-Schwarza: ( (x; y))2
q(x) q(y)
dla wszystkich x; y 2 R4, takich ·
ze q(x) < 0 i q(y) < 0.
Zadanie 7.4
Udowodnić, ·
ze ka·
zdy skończony zbiór f 1; : : : ; ng parami prostopad÷ych i nieizotropowych wektorów przestrzenie re‡eksywnej (V; !) jest liniowo niezale·
zny w przestrzeni wektorowej V .
Zadanie 7.5
(a) Wyznaczyć rz ¾
ad grupy klas kwadratów K = (K )2 dla nast ¾
epuj ¾
acych cia÷
: K = C, K = R,
K = Q.
(b) Wykazać, ·
ze jeśli K jest cia÷
em skończonym i char K = 2, to K = (K )2.
(c) Wykazać, ·
ze jeśli K jest cia÷
em skończonym i char K 6= 2, to rz ¾
ad grupy K = (K )2 jest równy 2.
(d) Wykazać, ·
ze jeśli K jest cia÷
em o charakterystyce 2, to (K )2 jest podcia÷
em cia÷
a K.
Zadanie 7.6
Niech K b ¾
edzie dowolnym cia÷
em oraz niech a; b 2 K, ab (a + b) 6= 0. Wykazać, ·
ze macierze
a 0
a + b
0
;
0 b
0
ab(a + b)
s ¾
a kongruentne.