WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ W RAMIE PŁASKIEJ IZOSTATYCZNEJ
Dana jest rama jak na rysunku.
Błędy montażu
M=15,00 kNm
P=20,00kN
2
2
1
-30oC 2
∆L =1cm
/m
I 3
2
N
10oC
1
k
E
L
1o
0
k = 20 EI
2
L
0
m
,0
0
0
5
o C
1
,0
o
= -1.5cm
=
1
3
q
20 o C
=
1.5
∆L 1
1.4 cm
-5
cm
k 1
.8
2,00m
2,00m
1.2 cm
2,00m
2,00m
2,00m
0
cm1
∆r =
∆r =
Sporządzić wykresy sił przekrojowych od danego obciążenia siłami oraz od obciążeń jednostkowych przyłożonych w miejscach szukanych przemieszczeń. Zaprojektować wstępnie przekroje prętów.
Obliczyć zaznaczone przemieszczenia od danego obciążenia siłami, od zmiany temperatury oraz od błędów montażu i przemieszczeń podpór. W obliczeniach potraktować dane wartości obciążenia siłami jako charakterystyczne, przyjąć średni współczynnik obciążenia γ f = 2
.
1 , wytrzymałość
obliczeniową stali f
=
MPa
=
d
215
, współczynnik sprężystości podłużnej E
20 G
5 Pa , współczynnik
sprężystości poprzecznej G = 8 G
0 Pa i współczynnik rozszerzalności termicznej
o
α = 0.000012 / C .
T
1
ROZWIĄZANIE RAMY OD DANEGO OBCIĄŻENIA SIŁAMI F = (M, P, Q)
M=15,00 kNm
P=20,00kN
Uwaga: Liniami przerywanymi wzdłuż
C
D
B
x
osi prętów wyróżniono włókna do
/mN
k
k
znakowania momentów zginających.
k0
2
1
,0
E
m0
Wszystkim wielkościom z tego
5
,0
=
3
rozwiązania przypisujemy indeks górny F,
q
α sinα=0.6
cosα =0.8
V
gdy
B
ż zostały wywołane obciążeniem
HA
A
oznaczonym symbolem F
4,00m
2,00m
4,00m
V
A y
Wyznaczenie reakcji podpór.
∑ M
⇒
A = − VB ⋅10 m + P ⋅ 6 m + M + q ⋅ 3 m ⋅ 3 m / 2 = 0
− V
⇒
V = 15 7
.
k
5 N ,
B ⋅10 m + 20 kN ⋅ 6 m + 15 kNm + 5 kN / m ⋅ 3 m ⋅ 3 m / 2 = 0
B
∑ Y = − V
⇒ − V
⇒
V =
2
.
4
k
5 N ,
A − 15 7
. 5 kN + 20 kN = 0
A − VB + P = 0
A
∑ X = H
⇒
H
⇒
H
= 1
− 5 0
. 0 kN .
A + 5 kN / m ⋅ 3 m = 0
A + q ⋅ 3 m = 0
A
Kontrola
∑ M
B = − H A ⋅ 3 m + V A ⋅10 m − P ⋅ 4 m + M − q ⋅ 3 m ⋅ 3 m / 2 =
= 1
( 5 ⋅ 3 + 4.25 ⋅10 − 20 ⋅ 4 + 15 − 5 ⋅ 3 ⋅ 3 / 2) kNm = 0
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
,
AC = 0
M
E = VA ⋅ 2 m − H A ⋅
5
.
1 m − q ⋅ 5
.
1 m ⋅ 5
.
1 m / 2 =
= 4.25 kN ⋅ 2 m +15 kN ⋅1.5 m − 5 kN / m ⋅1.5 m ⋅1.5 m / 2 = 25.375 kNm, M
= V ⋅ 4 m − H ⋅ m
3
− q ⋅ m
3 ⋅ m
3 / 2 = 4.25 ⋅ 4 m + 15 kN ⋅ m
3
− 5 kN / m ⋅ m
3 ⋅ m
3 / 2 = 39.50 kNm ,
CA
A
A
M
= M
+ M = 39.5 kNm +15 kNm = 54.50 kNm , CD
CA
M
= V ⋅ 4 m = 15 7
.
k
5 N ⋅ 4 m = 63 0
. 0 kNm ,
M
,
BD = 0
D
B
Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB obliczono jako średnie arytmetyczne z wartości brzegowych.
M
=
+
/ 2 = 54.5 + 63 / 2 ⋅
= 58.75
,
S , CD
( M
M
C , CD
D )
(
) kNm
kNm
M
=
+
/ 2 = 63 + 0 / 2 ⋅
= 31.50
S , DB
( M M
D
B )
(
) kNm
kNm
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
V
= V ⋅ cosα − H ⋅sinα = 4.25⋅ 0.8 +15⋅ 0.6
= 12.40
,
AC
A
A
(
) kN
kN
N
= V
− ⋅sinα − H ⋅ cosα = − 4.25⋅ 0.6 +15⋅ 0.8
= 9.45
,
AC
A
A
(
) kN
kN
V
= V ⋅ cosα − H ⋅sinα − q ⋅ m
3 ⋅ sinα = 4.25 ⋅ 0.8 + 15 ⋅ 0.6 − 5 ⋅ 3 ⋅ 0.6
= 3.40
,
CA
A
A
(
) kN
kN
N
= V
− ⋅sinα − H ⋅ cosα − q ⋅ m
3 ⋅ cosα = − 4.25 ⋅ 0.6 + 15 ⋅ 0.8 − 5 ⋅ 3 ⋅ 0.8
= 2
− .55
,
CA
A
A
(
) kN
kN
V
= P − V = 20 kN −15.75 kN = 4.25 kN , V
= V
−
= −15 7
.
k
5 N ,
N
.
CB = 0
CD
B
DB
B
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S F = V
−
= 1
− 5.75 kN
1
B
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S F = M
= 39 5
. 0 kNm
2
C , AC
Wykresy sił przekrojowych
39,50kN
2
m
5,
3
3
,
7
4
5
5
k
+
k
2
N
N
- ,
9
5
m
+
m
,
5
4
m
k
m
m
N
5
N
N
k
kN
k
N
N
0
0
k
k
+
5
NF
0
,5
,5
1
4
,7
,0
MF
3
5
8
3
5
6
3
N
N
,
k
4
k
0
5
5
kN
,2
,2
7
4
4
,90
+
kN
-
12,40
N
N
k
k
+
k
N
5
5
,75
,7
1
VF
51
2
ROZWIĄZANIE RAMY OD OBCIĄŻENIA P1 = 1
W celu wyznaczenia przesunięcia
P =1
(w temacie kierunek nr 1 zaznaczony linią
1
B
C
D
x
przerywaną) niezbędne jest rozwiązanie
k
ramy od obci
k
ążenia siłą jednostkową
2
1
E
m0
przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego
,03
przemieszczenia.
α sinα=0.6
cosα =0.8
V
Uwaga: Wszystkim wielko
B
ściom z
HA
A
tego rozwiązania przypisujemy indeks górny
4,00m
2,00m
4,00m
gdy
V
ż zostały wywołane obciążeniem
A y
oznaczonym numerem 1
Wyznaczenie reakcji podpór.
∑ M
⇒ V
,
B =
4
.
0 0
A = − VB ⋅10 m + 1⋅ 4 m = 0
∑ Y = − V
⇒ V
,
A =
6
.
0 0
A − VB + P = 0
1
∑ X = H = 0
⇒ H
.
A = 0
A
Kontrola
∑ M
B = − H A ⋅ 3 m + V A ⋅10 m − P ⋅ 6 m =(−0 ⋅ 3 +
6
.
0 ⋅10 −1⋅ )
6 m = 0
1
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
,
M
= V ⋅ 4 m − H ⋅ m
3
= 2.40 m ,
A = 0
C
A
A
M
= V ⋅ 4 m = 6
.
1 0 m ,
M
,
B = 0
D
B
V
V
H
,
N
V
H
,
AC = − A ⋅ sin α −
A ⋅ cosα = −0.36
AC =
A ⋅ cosα −
A ⋅ sin α = 0.48
V
V
,
N
.
CB = 0
CB = − B =
0
− .40
M
= M
=
+
/ 2 = 0 + 2.4 / 2 ⋅
= 1.20 ,
E
S , AC
( M M
A
C )
(
) m
m
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
M
=
+
/ 2 = 2.4 + 1.6 / 2 ⋅
= 2.00 ,
S , CD
( M
M
C
D )
(
) m
m
M
=
+
/ 2 = 1.6 + 0 / 2 ⋅
= 0.80
S , DB
( M
M
D
B )
(
) m
m
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
1
S = − V
B =
0
− .40
1
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S 1 = M = 2.40 m
2
C
Wykresy sił przekrojowych.
2,40m
0,36
1,
+
-
N1
20
m
m
m
+
0
m
m
0
0
,8
0
,6
0
,0
,4
1
2
2
M1
0,36
0,48
-
0
0
0
0
+
,
,4
4
,4
,4
8
0
0
V1
0
3
ROZWIĄZANIE RAMY OD OBCIĄŻENIA P2 = 1
W celu wyznaczenia kąta obrotu (w
P =M=1
temacie kierunek nr 2 zaznaczony łukiem z
2
C
D
B
x
linii przerywanej) niezbędne jest
k
k
rozwiązanie ramy od obciążenia
2
1
E
m0
jednostkowym momentem przyłożonym w
,03
miejscu szukanego k
α sinα=0.6
ąta obrotu.
cosα =0.8
VB
Uwaga: Wszystkim wielkościom z
HA
A
tego rozwiązania przypisujemy indeks górny
4,00m
2,00m
4,00m
V
2, gdyż zostały wywołane obciążeniem
A y
oznaczonym numerem 2
Wyznaczenie reakcji podpór.
∑ M
⇒ V = 1
.
0 0 / m ,
A = − VB ⋅10 m + 1 = 0
B
∑ Y = − V
V
⇒ V =
1
.
0
− 0 / m ,
A −
= 0
B
A
∑ X = H = 0
⇒ H
.
A = 0
A
Kontrola
∑ M
B = − H A ⋅ 3 m + VA ⋅10 m + P = − 0 ⋅ 3 −
1
.
0 ⋅10 +1 = 0
2
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
,
M
,
C = VA ⋅ 4 m − H A ⋅ 3 m = −0.40
A = 0
M
,
M
,
B = 0
D = VB ⋅ 4 m − 1 = −
6
.
0 0
V
= V ⋅cosα − H ⋅sinα = −0.08/ m , N
= V
− ⋅sinα − H ⋅cosα = 0.06/ m ,
AC
A
A
AC
A
A
V
= V
−
= −0.10 / m
N
.
CB =
CB
B
,
0
M
M
M
M
,
E =
S AC =
A +
C
= −
= −
,
(
)/ 2 (0 0.4)/ 2 0.20
M
M
M
,
S CD =
C +
D
= −
−
= −
,
(
)/ 2 ( 0.4 0.6)/ 2 0.50
M
M
M
S DB =
D +
B
= −
−
= −
,
(
)/ 2 ( 0.6 )1/ 2 0.80
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S 2 = V
−
= −0.10 / m
1
B
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
2
S = M
C =
0
− .40
2
Wykresy sił przekrojowych
0
0
0
0
,
0
,0
0
0
,8
1
6/
0
,6
,5
0
m
,
,4
4
0
0
0
0
-
-
0,20
0,0
+
6
M2
/m
N2
0,08/m
-
-
/m
/m
/m
0
0
0
,1
,1
,1
0
0
V2
0
4
PROJEKTOWANIE WSTĘPNE PRZEKROJÓW PRĘTÓW
Pręt AC
Potrzebny wskaźnik wytrzymałości na zginanie
max M ⋅γ f
39 5
. kNm ⋅ 2
.
1
3
3
W ≥
=
= 0
.
0 002205 m = 202 5
. cm
2
fd
215000 kN / m
Przyjęto I 220 ⇒
3
W = 278.18 cm ,
4
I = 3060 cm ,
2
A = 39.6 cm
2
4
2
EI
= 205000000 kN / m ⋅ 0.00003060 m = 6273 kNm AC
EA
= 205000000 kN / m 2 ⋅ 0.00396 m 2 = 811800 kN
AC
GA
= 80000000 kN / m 2 ⋅ 0.00396 m 2 = 316800 kN
AC
Pole powierzchni środnika
2
Aw
= ( h − 2 ⋅ t ) ⋅ t = (22 cm − 2 ⋅ 2
.
1 2 cm) ⋅ 8
.
0 1 cm = 15 8
. 4 cm
AC
f
w
Parametr kształtu przekroju przy ścinaniu κ
AC = 39.6
2
cm /15.84
2
cm = 2.50
max M ⋅ γ f
63 kNm ⋅ 2
.
1
Pr
3
ęt CB
3
W ≥
=
= 0
.
0 003516 m = 351 6
. cm
2
f d
215000 kN / m
Przyjęto I 240 ⇒
3
W = 354 cm ,
4
I = 4250 cm ,
2
A = 46.1 cm
2
4
2
EI
= 205000000 kN / m ⋅ 0.00004250 m = 8712.5 kNm CB
EA
= 205000000 kN / m 2 ⋅ 0.0046 m
1 2 = 945050 kN
CB
GA
= 80000000 kN / m 2 ⋅ 0.0046 m
1 2 = 368800 kN
AC
2
Aw
= ( h − 2 ⋅ t ) ⋅ t = (24 cm − 2 ⋅ 3
.
1 1 cm) ⋅ 8
.
0 7 cm = 18 6
. 0 cm
CB
f
w
κ
CB = 46.1
2
cm /18.60
2
cm = 2.48
Sztywności więzi sprężystych
EI
EI
Ponieważ w warunkach zadania nie określono, dla którego pręta przyjąć i
, można wybrać
L
3
L
dowolnie. Przyjmiemy jak dla pręta CB.
Sztywność więzi sprężystych wynoszą:
EI
EI
2
8712.5 kNm
kN
translacyjnej
k = 100 ⋅
=100
CB
⋅
=100 ⋅
= 4034
1
3
L
3
L
3
(6 m)
m
CB
4
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
EI
EI
8712.5 kNm 2
rotacyjnej
k = 20
=
CB
20 ⋅
= 20 ⋅
= 29042 kNm
2
⋅ L
L
6 m
CB
5
OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ OD OBCIĄŻENIA SIŁAMI
Przemieszczenia obliczono na podstawie wzorów:
1
F
1
F
M 2 ⋅
F
M
S 2 S
s ⋅
F
∆
M
M
S
S
dx
,
∆
dx
2 F = ∫
+ ∑
s
1 F
∫
⋅
=
∑ s ⋅
+
s
EI
k
EI
k
s
s
s
s
Do obliczenia powyższych całek zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. W tym celu (ze względu na charakter wykresów momentów zginających) przedstawiono je w postaci sum 3 całek odpowiadających poszczególnym przedziałom, w których funkcje podcałkowe spełniają założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
Przesuniecie:
1
F
1
F
∆
1
S
S
S
S
1 ⋅
1
2 ⋅
1
1
1
1
1
+
2
=
1 F =
∫ M ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M ⋅ M F ⋅ dx +
EI
EI
EI
k
k
AC AC
CD CD
DB DB
1
2
=
1
⋅ 5 m ⋅[0 + 4 ⋅ 25.375 kNm ⋅1.2 m + 39.5 kNm ⋅ 2.4 m]+
627 k
3 Nm 2
6
1
⋅ 2 m ⋅[54.5⋅ 2.4 + 4 ⋅58.75⋅ 2 + 63⋅ .
1 6]
2
kNm +
2
8712.5 kNm
6
1
4 m
+
⋅
⋅[
−
⋅ −
⋅
63 ⋅1.6 + 4 ⋅ 31.5 ⋅ 0.8 + 0]
2
0.4 ( 15.75 kN )
2.4 m 39.5 kNm
kNm +
+
= 0.0759 m
8712.5 kNm 2
6
4034 kN / m
29042 kNm
Kąt obrotu:
2
S
S F
S
S F
1 ⋅
2
1
2 ⋅
∆
= 1
∫
1
1
M 2
+
+
2
=
2
⋅ M F ⋅ dx +
∫ M 2 ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M 2 ⋅ M F ⋅ dx
F
EI
EI
EI
k
k
AC AC
CD CD
DB DB
1
2
=
1
⋅ 5 m ⋅[0 + 4 ⋅ 25.375 kNm ⋅ (−0.2) + 39.5 kNm ⋅ (−0.4)]+
6273
2
kNm
6
+
1
⋅ 2 m ⋅[54.5⋅ (−0.4) + 4 ⋅58.75⋅ (−0. )
5 + 63 ⋅ (−0.6)] kNm +
8712.5 kNm 2
6
+
1
⋅ 4 m ⋅[63⋅ (−0.6) + 4 ⋅31.5⋅ (−0. )
8 + 0 ⋅ (− )
1 ] kNm +
8712.5 kNm 2
6
−
o
0.1/ m ⋅ (−15.75 kN)
− 0.4 ⋅
+
+
39 5
. kNm =
180
o
− 0.02233 = 0
− .0223 r
3 ad = −0.02233 ⋅
= −1.279
4034 kN / m
29042 kNm
π
Uwaga: Należy zdawać sobie sprawę, że szukane przemieszczenia obliczono pomijając człony N i N F
i
F
∫
⋅
κ ⋅ V V
dx i ∫
⋅
dx , które dla ram na ogół nie są istotne. Otrzymane wartości przemieszczeń EA
GA
są wiec przybliżone. W celu sprawdzenia czy tak jest rzeczywiście obliczmy pominięte człony.
N 1 ⋅
F
∆
1
1
( N
1
1
)
1 F
= ∫
N dx =
∫ N ⋅ N F ⋅ dx +
∫ N ⋅ N F ⋅ dx =
EA
EA
EA
AC AC
CB CB
=
5 m
⋅ 9
[ .45 kN ⋅ (−0.36) + 4 ⋅ 3.45 kN ⋅ (−0.36) − 2.55 kN ⋅ (−0.36)] + 0 =
6 ⋅ 811800 kN
= −0.0000076 m = 0
− .00076 cm
κ ⋅ V 1 ⋅ F
κ
κ
κ
∆ V
1
1
1
( )
1 F
= ∫
V dx = AC ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + CD ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + DB ∫ V ⋅ V F ⋅ dx =
GA
GA
GA
GA
AC AC
CD CD
DB DB
5 m ⋅
=
2.50
⋅ 1
[ 2.4 kN ⋅ 0.48 + 4 ⋅ 7.9 kN ⋅ 0.48 + 3.4 kN ⋅ 0.4 ]
8 +
6 ⋅ 316800 kN
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
2.48
=
⋅[4.25 kN ⋅ 2 m ⋅ ( 0
− .4) −15.75 kN ⋅ 4 m ⋅ (−0.4)] = 0.0002962 m = 0.02962 cm 316800 kN
∆ V
( , N ) =
0
.
0 2962 − 0
.
0 007 c
6 m =
0
.
0 288 c
6 m
1 F
N 2 ⋅
F
∆
1
1
( N
2
2
)
2 F
= ∫
N dx =
∫ N ⋅ N F ⋅ dx +
∫ N ⋅ N F ⋅ dx =
EA
EA
EA
AC AC
CB CB
5
=
m
⋅ 9
[ .45 kN ⋅ 0.06 / m + 4 ⋅ 3.45 kN ⋅ 0.06 / m − 2.55 kN ⋅ 0.06 / m] + 0 = 0.0000013
6 ⋅ 811800 kN
κ ⋅ V 2 ⋅ F
κ
κ
κ
∆ V
2
2
2
( )
2 F
= ∫
V dx = AC ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + CD ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + DB ∫ V ⋅ V F ⋅ dx =
GA
GA
GA
GA
AC AC
CD CD
DB DB
5 m ⋅
=
2.50
⋅ 1
[ 2.4 kN ⋅ (−0.08 / m) + 4 ⋅ 7.9 kN ⋅ (−0.08 / m) + 3.4 kN ⋅ (−0.08 / m)] +
6 ⋅ 316800 kN
2.48
+
⋅[4.25 kN ⋅ 2 m ⋅ (−0.1/ m) −15.75 kN ⋅ 4 m ⋅ (−0.1/ m)] = 0.0000117
316800 kN
o
∆
V
( , N ) = 0.0000013 + 0.0000117 = 0.00001299 = 0.0000 *180 /π = 0.00074
2 F
Zestawienie wyników obliczeń przemieszczeń od obciążenia siłami: Przesuniecie:
-wartość przybliżona (bez wpływu odkształcalności poprzecznej i podłużnej)
∆ = 5
.
7
c
9 m
1 F
-wpływ odkształcalności podłużnej
∆ ( N) = 0
.
0 007 c
6 m
1 F
-wpływ odkształcalności postaciowej
∆ V
( ) =
0
.
0 296 c
2 m
1 F
-razem wpływ odkształcalności postaciowej i podłużnej
∆ V
( , N ) =
0
.
0 288 c
6 m
1 F
-wartość dokładna
∆ + ∆ V
( , N ) =
5
.
7
c
9 m + 0
.
0 288 c
6 m =
6
.
7 1 c
6 m
1 F
F
1
0.02886
-błąd
⋅100% = 0.3 %
8
7.616
Kąt obrotu:
-wartość przybliżona (bez wpływu odkształcalności poprzecznej i podłużnej) o
∆
= −0.0223 r
3 ad = −1.279
2 F
-wpływ odkształcalności podłużnej
∆ ( N) = 0
.
0 00001 r
3 ad
2 F
-wpływ odkształcalności postaciowej
∆
V
( ) =
0
.
0 00117 rad
2 F
-razem wpływ odkształcalności postaciowej i podłużnej
o
∆
V
( , N ) = 0.00001299 rad = 0.00074
2 F
-wartość dokładna
o
∆ + ∆
V
( , N ) = 1
− .279 + 0.00074 = −1.279
2 F
2 F
0.00074
-błąd
⋅100% = 0.00%
1.279
6
OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ OD ZMIANY TEMPERATURY
α ⋅ ( T
∆ w − T
∆ p)
Uwzględniając, że wyrażenia T
i α ⋅ T
∆ o są na długości prętów stałe,
h
T
przemieszczenia wyznaczamy na podstawie wzorów
α
∆
( Tw
Tp)
α
,
1
To
T
1
= ∑ T ⋅ ∆
− ∆
⋅ Ω + ∑
M
( T ⋅∆ ⋅Ω N 1)
h
p
p
p
p
α
∆
( Tw
Tp)
α
2
To
2 T = ∑
T ⋅ ∆
− ∆
⋅ Ω + ∑
M
( T ⋅∆ ⋅Ω N 2 )
h
p
p
p
p
Określenie składników wzorów dla poszczególnych prętów
2.4 m ⋅ 5 m
− 0.4 ⋅ 5 m
Dla pręta AC
2
Ω =
= m ,
Ω
=
= −
,
2
m
1
1
6
M
2
M
2
6
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
Ω = −
⋅
= −
0.6
,
Ω =
⋅ m =
2
5
3
1
0.36 5 m
1.8 m
N
N
m
T
∆ w + T
∆ p − 5 + 20
T
∆ w
o
= −5 C , T
∆ p
o
= 20 C , T
∆ o
o
=
=
= 7.5 C (przekrój symetryczny),
2
2
α ⋅ (∆ Tw − ∆ Tp)
o
0.000012 ⋅ (−5 − 20) C
h = 0.22 m (I 220), T
=
= 0
− .001364 / m
h
o C ⋅ 0.22 m
α ⋅ T
∆ o = 0.000012 / o C ⋅ 7.5 o C = 0.00009
Tα ⋅(∆ Tw− ∆ Tp)
T
∆
=
⋅ Ω + α ⋅ ∆ To ⋅ Ω =
1
1 T , AC
M
1
h
T
N
= −0.001364 / m ⋅ 6 m 2 + 0.00009 ⋅ (−1.8 m) = 0
− .00834 m = 0
− .834 cm
α ⋅ (∆ Tw − ∆ Tp)
T
∆
=
⋅ Ω
+ α ⋅ ∆ To ⋅ Ω
= −0.001364 / m ⋅ (−1 m) + 0.00009 ⋅ 0.3 = 0.00139
2
2 T , AC
M
2
h
T
N
2.4 m ⋅ 6 m
− (0.4 + )
1 ⋅ 6 m
Dla pręta CB
2
Ω
=
=
m , Ω
=
= −
, Ω
= , Ω =
2
0
1
0
2
4.2 m
1
7.2
M
2
M
2
N
N
∆
10 − 30
Tw
o
= 10 C , ∆ Tp
o
= 3
− 0 C , ∆ To
o
=
= 1
− 0 C , h = 0.24 m (I 240),
2
α ⋅ (∆ Tw − ∆ Tp)
o
0.000012 ⋅ 1
( 0 − (−30)) C
T
=
= 0.002 / m
h
o C ⋅ 0.24 m
α ⋅ T
∆ o = 0.000012 / o C ⋅ (−10) o C = 0
− .00012
T
α ⋅ (∆ Tw − ∆ Tp)
T
∆
=
⋅ Ω + α ⋅ ∆ To ⋅ Ω = 0
.
0 02 / m ⋅ 2
.
7 m 2 − 0
.
0 0012 ⋅ 0 =
0
.
0 144 m = 4
.
1
c
4 m
1
1 T , CB
M
1
h
T
N
α ⋅ (∆ Tw − ∆ Tp)
T
∆
=
⋅ Ω
+ α ⋅ ∆ To ⋅ Ω
= 0.002 / m ⋅ ( 4
− .2 m) + 0.00012 ⋅ 0 = −0.0084
2
2 T , CB
M
2
h
T
N
Szukane przesunięcie:
∆
= − 8
.
0 3 c
4 m + 4
.
1
c
4 m =
6
.
0
c
1 m
T
1
Szukany kąt obrotu:
o
∆ = 0.00139 − 0.0084 = −0.00701 = 0
− .00701*180 /π = 0
− .402
2 T
7
OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ OD BŁĘDÓW MONTAŻU I
PRZEMIESZCZEŃ PODPÓR
Przemieszczenia obliczamy na podstawie wzorów:
∆
1
1
1
1
∆
ϕ
,
1
= ∑ M
V
h
N
L
R
m ⋅ ∆
m + ∑
v ⋅ ∆ v + ∑
n ⋅ ∆ n − ∑
r ⋅ ∆ r
m
v
n
r
∆
2
2
2
2
ϕ
2∆ = ∑ M
V
h
N
L
R
m ⋅ ∆
m + ∑
v ⋅ ∆ v + ∑
n ⋅ ∆ n − ∑
r ⋅ ∆ r
m
v
n
r
Błędy montażu wystąpiły w dwóch przekrojach, co
2
symbolicznie zilustrowano na rysunku obok.
∆L =1cm
2
Błędy montażu znakuje się analogicznie jak
1
1o
odpowiednie siły przekrojowe tzn. zmiany kąta jak
o
= -1.5cm
momenty zginające, przesunięcia poprzeczne jak siły
∆L 1 1.5
1.4 cm
tnące a odkształcenia podłużne jak siły osiowe.
Odkształceniom podłużnym L
∆ i L
∆ przypisano
1.2 cm
1
2
znaki zgodnie z zasadą: wydłużenie i siła osiowa
rozciągająca „+”, skrócenie i siła osiowa ściskająca „-„.
Symbole odkształceń kątowych ilustrują zmiany
kąta między przekrojami równoległymi, co symbolicznie
na osi pręta i dla elementu odkształconego przedstawiono
na rysunku obok.
∆ϕ > 0
∆ϕ < 0
Jeśli tej zmianie towarzyszy wydłużenie włókien
wyróżnionych (symbol lewy) to takiej zmianie kąta
M
M włókna
włókna
przypisujemy znak „+” w przeciwnym przypadku
wyróżnione
wyróżnione
(symbol prawy) znak „-„.
dx
dx
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 7
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama2 –siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu, 10.02.09
Wynika stąd, że odkształceniu kątowemu w przekroju „1” należy przypisać znak „-„ a odkształceniu kątowemu w przekroju „2” znak „+”.
Symbole odkształceń postaciowych ilustrują poprzeczne
przesunięcie osi pręta, co symbolicznie na osi pręta i dla
elementu odkształconego przedstawiono na rysunku obok
Symbol lewy oznacza deformację ∆ h o zwrocie
V
zgodnym z dodatnimi zwrotami siły poprzecznej (znak „+”) a
∆
∆ h <
h > 0
0
symbol prawy oznacza deformację ∆ h o zwrocie prze-
V
ciwnym z dodatnimi zwrotami siły poprzecznej (znak „-”).
dx
dx
Wynika stąd, że odkształceniu postaciowemu w przekroju
„1” należy przypisać znak „-„ a odkształceniu postaciowemu w przekroju „2” znak „+”.
Wartości błędów montażu są, więc następujące:
1.5 o π
1 o π
o
⋅
o
⋅
∆ϕ = 1
− .5 = −
= −0.0262 ,
∆ϕ = 1 =
= 0.0175,
1
2
180 o
180 o
h
∆ = − c
2
.
1
m = − 0
.
0 12 m ,
h
∆ =
c
4
.
1
m =
0
.
0 14 m ,
1
2
L
∆ = − c
5
.
1
m = − 0
.
0 1 m
5 ,
L
∆ = c
1 m =
0
.
0
m
1
1
2
Siły przekrojowe od obciążeń jednostkowych, w miejscach błędów, mają wartości M 1 = 1.2 m , M 1 = 0.8 m , 1
V = 0.48 , 1
V = −0.4 ,
1
N = −0.36 ,
1
N = 0 ,
1
2
1
2
1
2
2
M
= 0.2 , 2
M
= −0.8 , V 2 = −0.08 / m , V 2 = −0.1/ m , N 2 = 0.06 / m , 2
N = 0 ,
1
2
1
2
1
2
Przemieszczenia podpór wystąpiły w kierunku reakcji V i w kierunku reakcji V .
A
B
Wynoszą one
∆ = c
1 m = 0.0 m
1 , ∆
= 0. c
8 m = 0.008 m .
VA
VB
Zwroty reakcji V w rozwiązaniach od obciążeń jednostkowych przyjęto zgodnie ze zwrotem B
przemieszczenia podpory, więc wartości tej reakcji do obliczania przemieszczeń przyjmujemy z takim znakiem, jaki otrzymano w wyniku obliczeń
1
V
V 2 = 0.1/ m
B = 0.4
B
Zwroty reakcji V w rozwiązaniach od obciążeń jednostkowych przyjęto przeciwnie do zwrotu A
przemieszczenia podpory, więc do obliczania przemieszczeń zmieniamy znaki tej reakcji.
Przyjmujemy:
1
V
V 2 = 0.1/ m
A = −0.6
A
Wartości przemieszczeń wynoszą:
Przesunięcie
∆ ∆ = 2
.
1 m
m
m
m
m
1
⋅ (− 0
.
0 26 )
2 + 8
.
0
⋅ 0
.
0 175 + 4
.
0 8 ⋅ (− 0
.
0 12 ) − 4
.
0 ⋅ 0
.
0 14
− 3
.
0 6 ⋅ (− 0
.
0 15 ) + 0 +
− 0.4 ⋅ 0.008 m − (−0.6 ⋅ 0.0 m
1 ) = −0.0262 m = −2. c
1 m ,
Kąt obrotu
∆ ∆ = − 2
.
0
m
m
m
m
m
m
2
⋅ (− 0
.
0 26 )
2 − 8
.
0 ⋅ 0
.
0 175 − 0
.
0 8 /
⋅ (− 0
.
0 12 ) − 1
.
0 /
⋅ 0
.
0 14
+ 0
.
0 6 /
⋅ (− 0
.
0 15 ) + 0 +
o
o
− 1
.
0 / m ⋅ 0
.
0 0 m
8
− 1
.
0 / m ⋅ 0
.
0
m
1
= − 0
.
0 08267 = − 0
.
0 1187 ⋅180 / π = − 6
.
0 8 .
8
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski