WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami

– 07.10.14

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

1

OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ W KRATOWNICY PŁASKIEJ

1

DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEŃ

Dana jest kratownica jak na rysunku.

Zaprojektować wstępnie

przekroje prętów i obliczyć
zaznaczone przemieszczenia.

W obliczeniach potraktować

dane wartości obciążenia siłami jako
charakterystyczne, przyjąć średni
współczynnik obciążenia

2

.

1

=

f

γ

,

wytrzymałość obliczeniową stali

MPa

f

d

215

=

i współczynnik

sprężystości podłużnej

GPa

E

205

=

.

2

SZUKANE

Szukane są przemieszczenia:

+















⋅

⋅

=

∆

∑

p

p

F

F

L

EA

N

N

1

1

∑

⋅

s

s

F

s

s

k

S

S

1

,

+















⋅

⋅

=

∆

∑

p

p

F

F

L

EA

N

N

2

2

∑

⋅

s

s

F

s

s

k

S

S

2

Jak widać z powyższych wzorów, aby obliczyć szukane przemieszczenia należy rozwiązać kratownicę
od obciążenia danego F (

F

N ,

F

S ),

od obciążenia

1

1

=

P

przyłożonego w miejscu i kierunku 1 (

1

N ,

1

S )

oraz od obciążenia

1

2

=

P

przyłożonego w miejscu i kierunku 2 (

2

N ,

2

S ).

3

ROZWIĄZANIE KRATOWNICY OD OBCIĄŻENIA DANEGO (F).

3.1

WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR

∑

=

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

=

0

3

4

3

sin

8

cos

2

1

4

4

1

m

F

m

F

m

R

m

R

M

α

α

⇒

0

3

10

4

50

3

7071

.

0

8

7071

.

0

4

4

=

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

m

kN

m

kN

m

R

m

R

⇒

kN

R

856

.

21

4

=

,

kN

R

455

.

15

sin

4

=

⋅

α

,

kN

R

455

.

15

cos

4

=

⋅

α

∑

=

⋅

+

+

=

0

sin

4

2

1

α

R

F

H

X

⇒

0

455

.

15

10

1

=

+

+

kN

kN

H

⇒

kN

H

455

.

25

1

−

=

.

∑

=

⋅

−

+

−

=

0

cos

4

1

1

α

R

F

V

Y

⇒

0

455

.

15

50

1

=

−

+

−

kN

kN

V

⇒

kN

V

545

.

34

1

=

.

1

2

3

4

4,00m

4,00m

F

2

=10,00kN

α

3

,0

0

m

sin

α

=0.7071

cos

α

=0.7071

β

β

sin

β

=0.6000

cos

β

=0.8000

x

y

R

4

F

1

=50,00kN

H

1

V

1

1

2

3

4

α=45

ο

1

2

=10,00kN

F

2

=50,00kN

F

1

4,00m

4,00m

3

,0

0

m

m

EA

k

s

8

34

=

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami

– 07.10.14

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

2

3.2

OBLICZENIE WARTOŚCI SIŁ OSIOWYCH Z RÓWNAŃ RÓWNOWAGI WĘZŁÓW I

KONTROLA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI

Siła w więzi sprężystej

kN

R

S

F

s

856

.

21

4

−

=

−

=

Węzeł 1

∑

=

⋅

+

−

=

0

sin

13

1

β

N

V

Y

⇒

0

6

.

0

545

.

34

13

=

⋅

+

−

N

kN

⇒

kN

N

576

.

57

13

=

,

∑

=

⋅

+

+

=

0

cos

13

12

1

β

N

N

H

X

⇒

0

8

.

0

576

.

57

455

.

25

12

=

⋅

+

+

−

kN

N

kN

⇒

kN

N

606

.

20

12

−

=

.

Węzeł 2

∑

=

⋅

+

−

=

0

cos

24

12

β

N

N

X

⇒

0

8

.

0

606

.

20

24

=

⋅

+

N

kN

⇒

kN

N

758

.

25

24

−

=

,

∑

=

+

⋅

+

=

0

sin

1

24

23

F

N

N

Y

β

⇒

0

50

6

.

0

758

.

25

23

=

+

⋅

−

kN

kN

N

⇒

kN

N

545

.

34

23

−

=

.

Węzeł 3

∑

=

+

+

⋅

−

=

0

cos

2

34

13

F

N

N

X

β

⇒

0

10

8

.

0

576

.

57

34

=

+

+

⋅

−

kN

N

kN

⇒

kN

N

061

.

36

34

=

,

(

)

∑

=

+

⋅

−

=

−

⋅

−

=

0

545

.

34

6

.

0

576

.

57

sin

23

13

kN

N

N

Y

β

(kontrola)

Węzeł 4

(

)

0

455

.

15

8

.

0

758

.

25

061

.

36

sin

cos

24

34

=

+

⋅

+

−

=

=

⋅

−

⋅

−

−

=

∑

kN

S

N

N

X

s

α

β

(kontrola),

(

)

0

455

.

15

6

.

0

758

.

25

cos

sin

24

=

−

⋅

+

=

=

⋅

+

⋅

−

=

∑

kN

S

N

Y

s

α

β

(kontrola).

3.3

ZESTAWIENIE WYNIKÓW

ROZWIĄZANIA

Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
przypisujemy indeks górny F, gdyż zostały
wywołane obciążeniem oznaczonym
symbolem F.

4

ROZWIĄZANIE KRATOWNICY OD
OBCIĄŻENIA P

1

= 1.

W celu wyznaczenia przesunięcia węzła 3 (w
temacie kierunek nr 1 zaznaczony linią
przerywaną) niezbędne jest rozwiązanie
kratownicy od obciążenia siłą jednostkową
przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego
przemieszczenia.

1

V

1

N

12

N

13

x

y

H

1

2

F

1

=50,00kN

N

2

3

N

12

N

24

x

y

3

F

2

=10,00kN

N

34

N

2

3

N

13

x

y

4

N

24

N

34

x

y

S

s

1

2

3

4

=

3

4

,5

4

5

k

N

= -25,455kN

-20,606kN

36,061kN

57

,57

6k

N

-25

.75

8k

N

-3

4

,5

4

5

k

N

F

2

=10,00kN

=-21,856kN

S

F

=21,856kN

R

4

N

F

H

1

F

V

1

F

s

F

1

=50,00kN

F

2

3

4

4,00m

4,00m

P1=1

α

3

,0

0

m

sin

α

=0.7071

cos

α

=0.7071

β

β

sin

β

=0.6000

cos

β

=0.8000

x

y

R

4

H

1

V

1

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami

– 07.10.14

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

3

4.1

WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR.

∑

=

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

=

0

4

3

sin

8

cos

1

4

4

1

m

P

m

R

m

R

M

α

α

⇒

0

4

1

3

7071

.

0

8

7071

.

0

4

4

=

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

m

m

R

m

R

⇒

514

.

0

4

=

R

,

3635

.

0

sin

4

=

⋅

α

R

,

3635

.

0

cos

4

=

⋅

α

R

∑

=

⋅

+

=

0

sin

4

1

α

R

H

X

⇒

0

3635

.

0

1

=

+

H

⇒

364

.

0

1

−

=

H

.

∑

=

⋅

−

+

−

=

0

cos

4

1

1

α

R

F

V

Y

⇒

0

3635

.

0

1

1

=

−

+

−

V

⇒

636

.

0

1

=

V

.

4.2

OBLICZENIE WARTOŚCI SIŁ OSIOWYCH Z RÓWNAŃ RÓWNOWAGI WĘZŁÓW I

KONTROLA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI

Siła w więzi sprężystej

514

.

0

4

1

−

=

−

=

R

S

s

Węzeł 1

∑

=

⋅

+

−

=

0

sin

13

1

β

N

V

Y

⇒

0

6

.

0

636

.

0

13

=

⋅

+

−

N

⇒

061

.

1

13

=

N

,

∑

=

⋅

+

+

=

0

cos

13

12

1

β

N

N

H

X

⇒

0

8

.

0

061

.

1

364

.

0

12

=

⋅

+

+

−

N

⇒

485

.

0

12

−

=

N

.

Węzeł 2

∑

=

⋅

+

−

=

0

cos

24

12

β

N

N

X

⇒

0

8

.

0

485

.

0

24

=

⋅

+

N

⇒

606

.

0

24

−

=

N

,

∑

=

⋅

+

=

0

sin

24

23

β

N

N

Y

⇒

0

6

.

0

606

.

0

23

=

⋅

−

N

⇒

364

.

0

23

=

N

.

Węzeł 3

∑

=

+

⋅

−

=

0

cos

34

13

N

N

X

β

⇒

0

8

.

0

061

.

1

34

=

+

⋅

−

N

⇒

848

.

0

34

=

N

,

∑

=

+

−

⋅

−

=

+

−

⋅

−

=

0

1

364

.

0

6

.

0

061

.

1

sin

1

23

13

P

N

N

Y

β

(kontrola)

Węzeł 4

0

3635

.

0

8

.

0

606

.

0

848

.

0

sin

cos

24

34

=

+

⋅

+

−

=

⋅

−

⋅

−

−

=

∑

α

β

s

S

N

N

X

(kontrola),

∑

=

−

⋅

−

=

⋅

+

⋅

−

=

0

3635

.

0

6

.

0

606

.

0

cos

sin

24

α

β

s

S

N

Y

(kontrola).

4.3

ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZANIA

Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
przypisujemy indeks górny 1, gdyż zostały
wywołane obciążeniem oznaczonym numerem 1.

1

N

12

N

13

x

y

H

1

1

V

2

N

2

3

N

12

N

24

x

y

3

P

1

=1

N

34

N

2

3

N

13

x

y

4

N

24

N

34

x

y

S

s

1

2

3

4

=

0

,6

3

6

=-0,364

-0,485

0,848

1,0

61

-0,

60

6

0

,3

6

4

N

1

H

1

1

V

1

1

R

4

=0,514

1

P1=1

S

1

= -0.514

s

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami

– 07.10.14

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

4

5

ROZWIĄZANIE KRATOWNICY OD OBCIĄŻENIA P

2

= 1.

W celu wyznaczenia kąta obrotu

pręta 2-4 (w temacie kierunek nr 2
zaznaczony łukiem z linii przerywanej)
niezbędne jest rozwiązanie kratownicy
od obciążenia jednostkowym momentem
reprezentowanym tu parą sił
prostopadłych do tego pręta i
przyłożonych do węzłów stanowiących
końce tego pręta. Wartość każdej z sił
jest równa momentowi jednostkowemu
podzielonemu przez długość tego pręta

m

m

/

2

.

0

)

5

/(

1

=

.

5.1

WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR

∑

=

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

=

0

3

sin

8

cos

2

4

4

1

P

m

R

m

R

M

α

α

⇒

0

1

3

7071

.

0

8

7071

.

0

4

4

=

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

m

R

m

R

⇒

m

R

/

129

.

0

4

=

,

m

R

/

0912

.

0

sin

4

=

⋅

α

,

m

R

/

0912

.

0

cos

4

=

⋅

α

∑

=

⋅

+

=

0

sin

4

1

α

R

H

X

⇒

0

/

0912

.

0

1

=

+

m

H

⇒

m

H

/

0912

.

0

1

−

=

.

∑

=

⋅

−

−

=

0

cos

4

1

α

R

V

Y

⇒

0

/

0912

.

0

1

=

−

−

m

V

⇒

.

/

0912

.

0

1

m

V

−

=

5.2

OBLICZENIE WARTOŚCI SIŁ OSIOWYCH Z RÓWNAŃ RÓWNOWAGI WĘZŁÓW I

KONTROLA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI

Siła w więzi sprężystej

m

R

S

s

/

129

.

0

4

2

−

=

−

=

Węzeł 1

∑

=

⋅

+

−

=

0

sin

13

1

β

N

V

Y

⇒

0

6

.

0

/

0912

.

0

13

=

⋅

+

+

N

m

⇒

m

N

/

152

.

0

13

−

=

,

∑

=

⋅

+

+

=

0

cos

13

12

1

β

N

N

H

X

⇒

0

8

.

0

/

152

.

0

0912

.

0

12

=

⋅

−

+

−

m

N

⇒

m

N

/

212

.

0

12

=

.

Węzeł 2

∑

=

⋅

+

⋅

+

−

=

0

sin

5

/

cos

2

24

12

β

β

m

P

N

N

X

⇒

0

6

.

0

/

2

.

0

8

.

0

/

212

.

0

24

=

⋅

+

⋅

+

−

m

N

m

⇒

m

N

/

115

.

0

24

=

,

∑

=

⋅

−

⋅

+

=

0

cos

5

/

2

sin

24

23

β

β

m

P

N

N

Y

⇒

0

8

.

0

/

2

.

0

6

.

0

115

.

0

23

=

⋅

−

⋅

+

m

N

⇒

m

N

/

091

.

0

23

=

.

Węzeł 3

∑

=

+

⋅

−

=

0

cos

34

13

N

N

X

β

⇒

0

8

.

0

152

.

0

34

=

+

⋅

+

N

⇒

121

.

0

34

−

=

N

,

∑

=

−

⋅

+

=

−

⋅

−

=

0

091

.

0

6

.

0

152

.

0

sin

23

13

N

N

Y

β

(kontrola)

Węzeł 4

0

6

.

0

/

2

.

0

/

0912

.

0

8

.

0

115

.

0

/

121

.

0

sin

/

2

.

0

sin

cos

24

34

=

⋅

−

+

⋅

−

+

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

−

−

=

∑

m

m

m

m

S

N

N

X

s

β

α

β

(kontrola),

0

8

.

0

/

2

.

0

/

0912

.

0

6

.

0

/

115

.

0

cos

/

2

.

0

cos

sin

24

=

⋅

+

−

⋅

−

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

∑

m

m

m

m

S

N

Y

s

β

α

β

(kontrola).

H

1

1

V

1

N

12

N

13

x

y

2

N

2

3

N

12

N

24

x

y

0,20/m

3

N

34

N

2

3

N

13

x

y

4

N

24

N

34

x

y

0,20/m

S

s

0,20/m

1

2

3

4

4,00m

4,00m

α

3

,0

0

m

β

β

90.0°

90.0°

x

y

H

1

V

1

0,20/m

sin

α

=0.7071

cos

α

=0.7071

sin

β

=0.6

cos

β

=0.8

R

4

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami

– 07.10.14

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

5

5.3

ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZANIA

Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego
rozwiązania przypisujemy indeks
górny 2, gdyż zostały wywołane
obciążeniem oznaczonym numerem 2

6

PROJEKTOWANIE WSTĘPNE PRZEKROJÓW PRĘTÓW

Przyjęto 2 grupy prętów jak na szkicu obok

Pręty 1-2 i 2-4

Obydwa pręty są ściskane. Wartość największej siły

ś

ciskającej wynosi

25.758 kN.

Przyjęto wstępnie współczynnik wyboczeniowy

65

.

0

=

ϕ

.

Potrzebne pole przekroju

2

2

2

211

.

2

0002211

.

0

65

.

0

/

215000

2

.

1

758

.

25

max

cm

m

m

kN

kN

f

N

A

d

f

=

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

≥

ϕ

γ

Przyjęto rurę

Φ

26.9 x 3.2

⇒

2

2

1

211

.

2

38

.

2

cm

cm

A

>

=

kN

m

m

kN

EA

48790

000238

.

0

/

205000000

2

2

1

=

⋅

=

Pręty 1-3, 2-3 i 3-4

Pręty 1-3 i 3-4 są rozciągane. Maksymalna wartość siły rozciągającej wynosi

57.576 kN.

Potrzebne pole przekroju

2

2

2

214

.

3

0003214

.

0

/

215000

2

.

1

576

.

57

max

cm

m

m

kN

kN

f

N

A

d

f

=

=

⋅

=

⋅

≥

γ

Pręt 2-3 jest ściskany. Wartość siły ściskającej wynosi

34.545 kN.

Przyjęto wstępnie współczynnik wyboczeniowy

65

.

0

=

ϕ

.

Potrzebne pole przekroju

2

2

2

966

.

2

0002966

.

0

65

.

0

/

215000

2

.

1

545

.

34

max

cm

m

m

kN

kN

f

N

A

d

f

=

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

≥

ϕ

γ

Przyjęto rurę

Φ

31.8 x 4

⇒

2

2

2

2

966

.

2

214

.

3

49

.

3

cm

cm

cm

A

>

>

=

kN

m

m

kN

EA

71545

000349

.

0

/

205000000

2

2

2

=

⋅

=

Sztywność więzi sprężystej

Sztywność więzi sprężystej wynosi

m

EA

k

s

8

34

=

m

EA

8

2

=

=

m

kN

8

71545

=

m

kN

8943

1

2

3

4

=

-

0

,0

9

1

/m

=-0,091/m

-0.212/m

-0.121/m

-0

.15

2/m

0.1

15

/m

0

.0

9

1

/m

N

2

=0,129/m

S

2

= -0.129/m

R

4

2

s

H

1

2

V

1

2

0,20/m

0,20/m

1

2

3

4

A

1

A

1

A

2

A

2

A

2

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami

– 07.10.14

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

6

7

OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ.

Przemieszczenia obliczono w tabeli poniżej na podstawie wzorów przedstawionych w punkcie 2.

EA

L

k

s

N

F

N

1

N

2

kN

m

kN/m

kN

1

1/m

m

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1-2

48 790

4.00

-

-20.606

-0.485

0.212

0.00082

-0.00036

2-4

48 790

5.00

-

-25.758

-0.606

0.115

0.00160

-0.00030

1-3

71 545

5.00

-

57.576

1.061

-0.152

0.00427

-0.00061

2-3

71 545

3.00

-

-34.545

0.364

0.091

-0.00053

-0.00013

3-4

71 545

4.00

-

36.061

0.848

-0.121

0.00171

-0.00024

k

s

S

F

S

1

S

2

Więź sprężysta

-

-

8 943

-21.856

-0.514

-0.129

0.00126

0.00032

SUMA

0.00913

-0.00133

Oznaczenie

pręta

p

F

L

E A

N

N















⋅

⋅

1

p

F

L

EA

N

N















⋅

⋅

2

s

F

k

S

S













⋅

1

s

F

k

S

S













⋅

2

F

1

∆

F

2

∆

Określenie wymiarów szukanych wielkości

[

]

m

m

kN

kN

L

EA

N

N

N

F

F

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

∆

1

]

[

]

[

]

[

]

[

)

(

1

1

,

[

]

1

/

1

]

[

]

[

]

[

]

[

)

(

2

2

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

∆

m

kN

kN

m

L

EA

N

N

N

F

F

Wartości przemieszczeń wynoszą:
Składowa pionowa przesunięcia węzła nr 3

cm

m

F

913

.

0

00913

.

0

1

=

=

∆

Kąt obrotu pręta 2-4

o

o

F

rad

0762

.

0

180

00133

.

0

00133

.

0

00133

.

0

2

−

=

⋅

−

=

−

=

−

=

∆

π

Minus oznacza, że zwrot szukanego przemieszczenia jest przeciwny niż zwrot założonego obciążenia
jednostkowego.