WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami
– 07.10.14
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ W KRATOWNICY PŁASKIEJ
1
DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEŃ
Dana jest kratownica jak na rysunku.
Zaprojektować wstępnie
przekroje prętów i obliczyć
zaznaczone przemieszczenia.
W obliczeniach potraktować
dane wartości obciążenia siłami jako
charakterystyczne, przyjąć średni
współczynnik obciążenia
2
.
1
=
f
γ
,
wytrzymałość obliczeniową stali
MPa
f
d
215
=
i współczynnik
sprężystości podłużnej
GPa
E
205
=
.
2
SZUKANE
Szukane są przemieszczenia:
+
⋅
⋅
=
∆
∑
p
p
F
F
L
EA
N
N
1
1
∑
⋅
s
s
F
s
s
k
S
S
1
,
+
⋅
⋅
=
∆
∑
p
p
F
F
L
EA
N
N
2
2
∑
⋅
s
s
F
s
s
k
S
S
2
Jak widać z powyższych wzorów, aby obliczyć szukane przemieszczenia należy rozwiązać kratownicę
od obciążenia danego F (
F
N ,
F
S ),
od obciążenia
1
1
=
P
przyłożonego w miejscu i kierunku 1 (
1
N ,
1
S )
oraz od obciążenia
1
2
=
P
przyłożonego w miejscu i kierunku 2 (
2
N ,
2
S ).
3
ROZWIĄZANIE KRATOWNICY OD OBCIĄŻENIA DANEGO (F).
3.1
WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
∑
=
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
0
3
4
3
sin
8
cos
2
1
4
4
1
m
F
m
F
m
R
m
R
M
α
α
⇒
0
3
10
4
50
3
7071
.
0
8
7071
.
0
4
4
=
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
m
kN
m
kN
m
R
m
R
⇒
kN
R
856
.
21
4
=
,
kN
R
455
.
15
sin
4
=
⋅
α
,
kN
R
455
.
15
cos
4
=
⋅
α
∑
=
⋅
+
+
=
0
sin
4
2
1
α
R
F
H
X
⇒
0
455
.
15
10
1
=
+
+
kN
kN
H
⇒
kN
H
455
.
25
1
−
=
.
∑
=
⋅
−
+
−
=
0
cos
4
1
1
α
R
F
V
Y
⇒
0
455
.
15
50
1
=
−
+
−
kN
kN
V
⇒
kN
V
545
.
34
1
=
.
1
2
3
4
4,00m
4,00m
F
2
=10,00kN
α
3
,0
0
m
sin
α
=0.7071
cos
α
=0.7071
β
β
sin
β
=0.6000
cos
β
=0.8000
x
y
R
4
F
1
=50,00kN
H
1
V
1
1
2
3
4
α=45
ο
1
2
=10,00kN
F
2
=50,00kN
F
1
4,00m
4,00m
3
,0
0
m
m
EA
k
s
8
34
=
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami
– 07.10.14
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
3.2
OBLICZENIE WARTOŚCI SIŁ OSIOWYCH Z RÓWNAŃ RÓWNOWAGI WĘZŁÓW I
KONTROLA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI
Siła w więzi sprężystej
kN
R
S
F
s
856
.
21
4
−
=
−
=
Węzeł 1
∑
=
⋅
+
−
=
0
sin
13
1
β
N
V
Y
⇒
0
6
.
0
545
.
34
13
=
⋅
+
−
N
kN
⇒
kN
N
576
.
57
13
=
,
∑
=
⋅
+
+
=
0
cos
13
12
1
β
N
N
H
X
⇒
0
8
.
0
576
.
57
455
.
25
12
=
⋅
+
+
−
kN
N
kN
⇒
kN
N
606
.
20
12
−
=
.
Węzeł 2
∑
=
⋅
+
−
=
0
cos
24
12
β
N
N
X
⇒
0
8
.
0
606
.
20
24
=
⋅
+
N
kN
⇒
kN
N
758
.
25
24
−
=
,
∑
=
+
⋅
+
=
0
sin
1
24
23
F
N
N
Y
β
⇒
0
50
6
.
0
758
.
25
23
=
+
⋅
−
kN
kN
N
⇒
kN
N
545
.
34
23
−
=
.
Węzeł 3
∑
=
+
+
⋅
−
=
0
cos
2
34
13
F
N
N
X
β
⇒
0
10
8
.
0
576
.
57
34
=
+
+
⋅
−
kN
N
kN
⇒
kN
N
061
.
36
34
=
,
(
)
∑
=
+
⋅
−
=
−
⋅
−
=
0
545
.
34
6
.
0
576
.
57
sin
23
13
kN
N
N
Y
β
(kontrola)
Węzeł 4
(
)
0
455
.
15
8
.
0
758
.
25
061
.
36
sin
cos
24
34
=
+
⋅
+
−
=
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∑
kN
S
N
N
X
s
α
β
(kontrola),
(
)
0
455
.
15
6
.
0
758
.
25
cos
sin
24
=
−
⋅
+
=
=
⋅
+
⋅
−
=
∑
kN
S
N
Y
s
α
β
(kontrola).
3.3
ZESTAWIENIE WYNIKÓW
ROZWIĄZANIA
Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
przypisujemy indeks górny F, gdyż zostały
wywołane obciążeniem oznaczonym
symbolem F.
4
ROZWIĄZANIE KRATOWNICY OD
OBCIĄŻENIA P
1
= 1.
W celu wyznaczenia przesunięcia węzła 3 (w
temacie kierunek nr 1 zaznaczony linią
przerywaną) niezbędne jest rozwiązanie
kratownicy od obciążenia siłą jednostkową
przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego
przemieszczenia.
1
V
1
N
12
N
13
x
y
H
1
2
F
1
=50,00kN
N
2
3
N
12
N
24
x
y
3
F
2
=10,00kN
N
34
N
2
3
N
13
x
y
4
N
24
N
34
x
y
S
s
1
2
3
4
=
3
4
,5
4
5
k
N
= -25,455kN
-20,606kN
36,061kN
57
,57
6k
N
-25
.75
8k
N
-3
4
,5
4
5
k
N
F
2
=10,00kN
=-21,856kN
S
F
=21,856kN
R
4
N
F
H
1
F
V
1
F
s
F
1
=50,00kN
F
2
3
4
4,00m
4,00m
P1=1
α
3
,0
0
m
sin
α
=0.7071
cos
α
=0.7071
β
β
sin
β
=0.6000
cos
β
=0.8000
x
y
R
4
H
1
V
1
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami
– 07.10.14
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
4.1
WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR.
∑
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
0
4
3
sin
8
cos
1
4
4
1
m
P
m
R
m
R
M
α
α
⇒
0
4
1
3
7071
.
0
8
7071
.
0
4
4
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
m
m
R
m
R
⇒
514
.
0
4
=
R
,
3635
.
0
sin
4
=
⋅
α
R
,
3635
.
0
cos
4
=
⋅
α
R
∑
=
⋅
+
=
0
sin
4
1
α
R
H
X
⇒
0
3635
.
0
1
=
+
H
⇒
364
.
0
1
−
=
H
.
∑
=
⋅
−
+
−
=
0
cos
4
1
1
α
R
F
V
Y
⇒
0
3635
.
0
1
1
=
−
+
−
V
⇒
636
.
0
1
=
V
.
4.2
OBLICZENIE WARTOŚCI SIŁ OSIOWYCH Z RÓWNAŃ RÓWNOWAGI WĘZŁÓW I
KONTROLA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI
Siła w więzi sprężystej
514
.
0
4
1
−
=
−
=
R
S
s
Węzeł 1
∑
=
⋅
+
−
=
0
sin
13
1
β
N
V
Y
⇒
0
6
.
0
636
.
0
13
=
⋅
+
−
N
⇒
061
.
1
13
=
N
,
∑
=
⋅
+
+
=
0
cos
13
12
1
β
N
N
H
X
⇒
0
8
.
0
061
.
1
364
.
0
12
=
⋅
+
+
−
N
⇒
485
.
0
12
−
=
N
.
Węzeł 2
∑
=
⋅
+
−
=
0
cos
24
12
β
N
N
X
⇒
0
8
.
0
485
.
0
24
=
⋅
+
N
⇒
606
.
0
24
−
=
N
,
∑
=
⋅
+
=
0
sin
24
23
β
N
N
Y
⇒
0
6
.
0
606
.
0
23
=
⋅
−
N
⇒
364
.
0
23
=
N
.
Węzeł 3
∑
=
+
⋅
−
=
0
cos
34
13
N
N
X
β
⇒
0
8
.
0
061
.
1
34
=
+
⋅
−
N
⇒
848
.
0
34
=
N
,
∑
=
+
−
⋅
−
=
+
−
⋅
−
=
0
1
364
.
0
6
.
0
061
.
1
sin
1
23
13
P
N
N
Y
β
(kontrola)
Węzeł 4
0
3635
.
0
8
.
0
606
.
0
848
.
0
sin
cos
24
34
=
+
⋅
+
−
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∑
α
β
s
S
N
N
X
(kontrola),
∑
=
−
⋅
−
=
⋅
+
⋅
−
=
0
3635
.
0
6
.
0
606
.
0
cos
sin
24
α
β
s
S
N
Y
(kontrola).
4.3
ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZANIA
Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
przypisujemy indeks górny 1, gdyż zostały
wywołane obciążeniem oznaczonym numerem 1.
1
N
12
N
13
x
y
H
1
1
V
2
N
2
3
N
12
N
24
x
y
3
P
1
=1
N
34
N
2
3
N
13
x
y
4
N
24
N
34
x
y
S
s
1
2
3
4
=
0
,6
3
6
=-0,364
-0,485
0,848
1,0
61
-0,
60
6
0
,3
6
4
N
1
H
1
1
V
1
1
R
4
=0,514
1
P1=1
S
1
= -0.514
s
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami
– 07.10.14
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
5
ROZWIĄZANIE KRATOWNICY OD OBCIĄŻENIA P
2
= 1.
W celu wyznaczenia kąta obrotu
pręta 2-4 (w temacie kierunek nr 2
zaznaczony łukiem z linii przerywanej)
niezbędne jest rozwiązanie kratownicy
od obciążenia jednostkowym momentem
reprezentowanym tu parą sił
prostopadłych do tego pręta i
przyłożonych do węzłów stanowiących
końce tego pręta. Wartość każdej z sił
jest równa momentowi jednostkowemu
podzielonemu przez długość tego pręta
m
m
/
2
.
0
)
5
/(
1
=
.
5.1
WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
∑
=
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
0
3
sin
8
cos
2
4
4
1
P
m
R
m
R
M
α
α
⇒
0
1
3
7071
.
0
8
7071
.
0
4
4
=
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
m
R
m
R
⇒
m
R
/
129
.
0
4
=
,
m
R
/
0912
.
0
sin
4
=
⋅
α
,
m
R
/
0912
.
0
cos
4
=
⋅
α
∑
=
⋅
+
=
0
sin
4
1
α
R
H
X
⇒
0
/
0912
.
0
1
=
+
m
H
⇒
m
H
/
0912
.
0
1
−
=
.
∑
=
⋅
−
−
=
0
cos
4
1
α
R
V
Y
⇒
0
/
0912
.
0
1
=
−
−
m
V
⇒
.
/
0912
.
0
1
m
V
−
=
5.2
OBLICZENIE WARTOŚCI SIŁ OSIOWYCH Z RÓWNAŃ RÓWNOWAGI WĘZŁÓW I
KONTROLA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI
Siła w więzi sprężystej
m
R
S
s
/
129
.
0
4
2
−
=
−
=
Węzeł 1
∑
=
⋅
+
−
=
0
sin
13
1
β
N
V
Y
⇒
0
6
.
0
/
0912
.
0
13
=
⋅
+
+
N
m
⇒
m
N
/
152
.
0
13
−
=
,
∑
=
⋅
+
+
=
0
cos
13
12
1
β
N
N
H
X
⇒
0
8
.
0
/
152
.
0
0912
.
0
12
=
⋅
−
+
−
m
N
⇒
m
N
/
212
.
0
12
=
.
Węzeł 2
∑
=
⋅
+
⋅
+
−
=
0
sin
5
/
cos
2
24
12
β
β
m
P
N
N
X
⇒
0
6
.
0
/
2
.
0
8
.
0
/
212
.
0
24
=
⋅
+
⋅
+
−
m
N
m
⇒
m
N
/
115
.
0
24
=
,
∑
=
⋅
−
⋅
+
=
0
cos
5
/
2
sin
24
23
β
β
m
P
N
N
Y
⇒
0
8
.
0
/
2
.
0
6
.
0
115
.
0
23
=
⋅
−
⋅
+
m
N
⇒
m
N
/
091
.
0
23
=
.
Węzeł 3
∑
=
+
⋅
−
=
0
cos
34
13
N
N
X
β
⇒
0
8
.
0
152
.
0
34
=
+
⋅
+
N
⇒
121
.
0
34
−
=
N
,
∑
=
−
⋅
+
=
−
⋅
−
=
0
091
.
0
6
.
0
152
.
0
sin
23
13
N
N
Y
β
(kontrola)
Węzeł 4
0
6
.
0
/
2
.
0
/
0912
.
0
8
.
0
115
.
0
/
121
.
0
sin
/
2
.
0
sin
cos
24
34
=
⋅
−
+
⋅
−
+
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
−
=
∑
m
m
m
m
S
N
N
X
s
β
α
β
(kontrola),
0
8
.
0
/
2
.
0
/
0912
.
0
6
.
0
/
115
.
0
cos
/
2
.
0
cos
sin
24
=
⋅
+
−
⋅
−
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
∑
m
m
m
m
S
N
Y
s
β
α
β
(kontrola).
H
1
1
V
1
N
12
N
13
x
y
2
N
2
3
N
12
N
24
x
y
0,20/m
3
N
34
N
2
3
N
13
x
y
4
N
24
N
34
x
y
0,20/m
S
s
0,20/m
1
2
3
4
4,00m
4,00m
α
3
,0
0
m
β
β
90.0°
90.0°
x
y
H
1
V
1
0,20/m
sin
α
=0.7071
cos
α
=0.7071
sin
β
=0.6
cos
β
=0.8
R
4
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami
– 07.10.14
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
5.3
ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZANIA
Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego
rozwiązania przypisujemy indeks
górny 2, gdyż zostały wywołane
obciążeniem oznaczonym numerem 2
6
PROJEKTOWANIE WSTĘPNE PRZEKROJÓW PRĘTÓW
Przyjęto 2 grupy prętów jak na szkicu obok
Pręty 1-2 i 2-4
Obydwa pręty są ściskane. Wartość największej siły
ś
ciskającej wynosi
25.758 kN.
Przyjęto wstępnie współczynnik wyboczeniowy
65
.
0
=
ϕ
.
Potrzebne pole przekroju
2
2
2
211
.
2
0002211
.
0
65
.
0
/
215000
2
.
1
758
.
25
max
cm
m
m
kN
kN
f
N
A
d
f
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
≥
ϕ
γ
Przyjęto rurę
Φ
26.9 x 3.2
⇒
2
2
1
211
.
2
38
.
2
cm
cm
A
>
=
kN
m
m
kN
EA
48790
000238
.
0
/
205000000
2
2
1
=
⋅
=
Pręty 1-3, 2-3 i 3-4
Pręty 1-3 i 3-4 są rozciągane. Maksymalna wartość siły rozciągającej wynosi
57.576 kN.
Potrzebne pole przekroju
2
2
2
214
.
3
0003214
.
0
/
215000
2
.
1
576
.
57
max
cm
m
m
kN
kN
f
N
A
d
f
=
=
⋅
=
⋅
≥
γ
Pręt 2-3 jest ściskany. Wartość siły ściskającej wynosi
34.545 kN.
Przyjęto wstępnie współczynnik wyboczeniowy
65
.
0
=
ϕ
.
Potrzebne pole przekroju
2
2
2
966
.
2
0002966
.
0
65
.
0
/
215000
2
.
1
545
.
34
max
cm
m
m
kN
kN
f
N
A
d
f
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
≥
ϕ
γ
Przyjęto rurę
Φ
31.8 x 4
⇒
2
2
2
2
966
.
2
214
.
3
49
.
3
cm
cm
cm
A
>
>
=
kN
m
m
kN
EA
71545
000349
.
0
/
205000000
2
2
2
=
⋅
=
Sztywność więzi sprężystej
Sztywność więzi sprężystej wynosi
m
EA
k
s
8
34
=
m
EA
8
2
=
=
m
kN
8
71545
=
m
kN
8943
1
2
3
4
=
-
0
,0
9
1
/m
=-0,091/m
-0.212/m
-0.121/m
-0
.15
2/m
0.1
15
/m
0
.0
9
1
/m
N
2
=0,129/m
S
2
= -0.129/m
R
4
2
s
H
1
2
V
1
2
0,20/m
0,20/m
1
2
3
4
A
1
A
1
A
2
A
2
A
2
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ - kratownica 1 – obciążenie siłami
– 07.10.14
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
6
7
OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ.
Przemieszczenia obliczono w tabeli poniżej na podstawie wzorów przedstawionych w punkcie 2.
EA
L
k
s
N
F
N
1
N
2
kN
m
kN/m
kN
1
1/m
m
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1-2
48 790
4.00
-
-20.606
-0.485
0.212
0.00082
-0.00036
2-4
48 790
5.00
-
-25.758
-0.606
0.115
0.00160
-0.00030
1-3
71 545
5.00
-
57.576
1.061
-0.152
0.00427
-0.00061
2-3
71 545
3.00
-
-34.545
0.364
0.091
-0.00053
-0.00013
3-4
71 545
4.00
-
36.061
0.848
-0.121
0.00171
-0.00024
k
s
S
F
S
1
S
2
Więź sprężysta
-
-
8 943
-21.856
-0.514
-0.129
0.00126
0.00032
SUMA
0.00913
-0.00133
Oznaczenie
pręta
p
F
L
E A
N
N
⋅
⋅
1
p
F
L
EA
N
N
⋅
⋅
2
s
F
k
S
S
⋅
1
s
F
k
S
S
⋅
2
F
1
∆
F
2
∆
Określenie wymiarów szukanych wielkości
[
]
m
m
kN
kN
L
EA
N
N
N
F
F
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
1
]
[
]
[
]
[
]
[
)
(
1
1
,
[
]
1
/
1
]
[
]
[
]
[
]
[
)
(
2
2
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
m
kN
kN
m
L
EA
N
N
N
F
F
Wartości przemieszczeń wynoszą:
Składowa pionowa przesunięcia węzła nr 3
cm
m
F
913
.
0
00913
.
0
1
=
=
∆
Kąt obrotu pręta 2-4
o
o
F
rad
0762
.
0
180
00133
.
0
00133
.
0
00133
.
0
2
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
∆
π
Minus oznacza, że zwrot szukanego przemieszczenia jest przeciwny niż zwrot założonego obciążenia
jednostkowego.