http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

1

WZORY DO WYZNACZANIA PRZEMIESZCZEŃ OD OBCIĄZEŃ SIŁAMI

W celu wyznaczenia przemieszczenia należy dany układ rozwiązać od 2 obciążeń:

1. Od obciążenia stanowiącego przyczynę wywołującą szukane przemieszczenie,
2. Od obciążenia "jednostkowego" przyłożonego w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia.

Uwaga: Jedno z tych rozwiązań może być wirtualne co oznacza, że może ono być wykonane dla

dowolnego izostatycznego modelu układu (we wzorach oznaczono je nadkreśleniem).

DLA BELEK I RAM

.

∫

∑

∫

∫

∫

∑

∫

∫

∫

∑

∫

∫

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

=

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

=

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

∆

=

∆

s

s

F

s

i

s

F

i

F

i

F

i

s

s

F

s

i

s

F

i

F

i

F

i

s

s

F

s

i

s

F

i

F

i

F

i

F

i

iF

k

S

S

dx

GA

V

V

dx

EA

N

N

dx

EI

M

M

k

S

S

dx

GA

V

V

dx

EA

N

N

dx

EI

M

M

k

S

S

dx

GA

V

V

dx

EA

N

N

dx

EI

M

M

κ

κ

κ

Uwaga

: Człony drugi i trzeci w każdej wersji wzoru są z reguły pomijalnie małe w stosunku do

członów pierwszego i czwartego. Jedynie dla belek o dużej wysokości, w stosunku do rozpiętości
(h/L > 0.1), wpływ członu trzeciego może być istotny.

DLA KRATOWNIC

=

⋅

+

⋅

⋅

=

∆

=

∆

∑

∑

s

s

F

s

i

s

p

p

p

p

i
p

i

p

F

i

iF

k

S

S

L

A

E

N

N

=

⋅

+

⋅

⋅

=

∑

∑

s

s

F

s

i

s

p

p

p

p

i
p

i
p

k

S

S

L

A

E

N

N

∑

∑

⋅

+

⋅

⋅

=

s

s

F

s

i

s

p

p

p

p

i

p

i
p

k

S

S

L

A

E

N

N

W układach izostatycznych

rozwiązania rzeczywiste są identyczne z wirtualnymi:

.

,

,

,

,

S

S

R

R

V

V

N

N

M

M

=

=

=

=

=

Stąd
DLA BELEK I RAM IZOSTATYCZNYCH

∫

∑

∫

∫

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

∆

=

∆

,

s

F

s

i

s

F

i

F

i

F

i

F

i

iF

k

S

S

dx

GA

V

V

dx

EA

N

N

dx

EI

M

M

κ

DLA KRATOWNIC IZOSTATYCZNYCH

,

∑

∑

⋅

+

⋅

⋅

=

∆

s

s

F

s

i

s

p

p

p

p

F

p

i
p

iF

k

S

S

L

A

E

N

N

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

2

PRZYJĘTE OZNACZENIA

Oznaczenie

wielkości składa się z symbolu oznaczającego tę wielkość i indeksów dolnych oraz

górnych.

SYMBOLE oznaczające określone wielkości:

∆

- przemieszczenie (może to być przesunięcie, kąt obrotu lub dowolna suma przemieszczeń a w tym

wzajemne przemieszczenie) lub przyrost określonej wielkości
M=M(x) – moment zginający,

N=N(x) – siła osiowa (podłużna),
V=V(x) – siła tnąca

(poprzeczna),

S – siła w więzi sprężystej (moment w więzi rotacyjnej lub siła podłużna w więzi translacyjnej),
k – sztywność więzi sprężystej,

∫

⋅

⋅

=

A

dA

b

S

I

A

2

2

2

κ

- współczynnik zależny od kształtu przekroju (dla dwuteowników

w

A

A

≅

κ

),

E – moduł sprężystości podłużnej materiału (Younga),

(

)

ν

+

⋅

=

1

2

E

G

– moduł sprężystości poprzecznej materiału (Kirchoffa),

ν

- współczynnik Poissona,

A, I – pole i moment bezwładności poprzecznego przekroju pręta,
b – szerokość przekroju w miejscu ścinania
S – moment statyczny „odciętej” części przekroju,

w

A - pole przekroju środnika.

INDEKSY

Indeks górny

określa przyczynę wywołującą daną wielkość.

Pierwszy indeks dolny

określa miejsce działania (występowania) danej wielkości.

Drugi indeks dolny

określa, jeśli nie ma indeksu górnego, przyczynę wywołującą daną wielkość,

a jeśli jest indeks górny, stanowi uzupełnienie określenia miejsca działania danej wielkości.
Np.:

n

M

oznacza moment w dowolnym miejscu wywołany przyczyną oznaczoną symbolem n,

n

ij

M oznacza moment w punkcie i pręta i-j wywołany przyczyną oznaczoną symbolem n,

j
i

ij

∆

∆ , oznaczają przemieszczenie w miejscu i kierunku i wywołane przyczyną oznaczoną

symbolem j

i

p

N oznacza siłę osiową w pręcie o numerze p wywołaną przyczyną oznaczoną symbolem i,

i

s

S oznacza siłę w więzi sprężystej o numerze s wywołaną przyczyną oznaczoną symbolem i.