WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama 1 – obciążenie siłami – 10.02.09
OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ W RAMIE PŁASKIEJ
M=15,00 kNm
1
DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEŃ
P=20,00kN
2
1
D
x
Dana jest rama jak na rysunku.
/m
C
B
Zaprojektować wstępnie przekroje prętów i
Nk
10 EI
0
k
CB
=
2
m
obliczyć zaznaczone przemieszczenia.
,0
0
5
m
3
,0
100 EI
Sprawdzić jakim błędem obarcza obliczenia
=q
α sinα=0.6
3
k
CB
=
cosα =0.8
1
3
pominięcie odkształceń podłużnych i
(6 m)
postaciowych.
A
4,00m
2,00m
4,00m
W obliczeniach potraktować dane
y
wartości obciążenia siłami jako
charakterystyczne, przyjąć średni
współczynnik obciążenia γ
=
f =
2
.
1 , wytrzymałość obliczeniową stali f
MPa
d
215
, współczynnik
sprężystości podłużnej E = 20 G
5 Pa i współczynnik sprężystości postaciowej G = 8 G
0 Pa .
2
SZUKANE
Szukane są przemieszczenia:
1
F
M ⋅ M
S 1 S
2
F
M ⋅ M
S 2 S
s ⋅
F
s ⋅
F
∆
dx
,
∆
dx
.
2 F = ∫
+∑
s
1 F = ∫
+∑
s
EI
k
EI
k
s
s
s
s
s
s
Dla określenia błędów wynikających z pominięcia członów uwzględniających odkształcenia podłużne i postaciowe należy obliczyć pominięte człony:
1
F
1
F
κ
2
F
2
F
κ
∆
N ⋅ N
⋅ V V
( N , V )
, ∆
( N , V )
.
2 F
= ∫
dx + ∫
⋅
dx
1 F
∫ N ⋅
=
N
dx + ∫ ⋅ V ⋅ V dx
EA
GA
EA
GA
Jak widać z powyższych wzorów, aby obliczyć szukane przemieszczenia i określić błędy popełnione przy ich wyznaczeniu należy rozwiązać ramę od obciążenia danego F (
F
M , F
S ,
F
N ,
F
V ),
od obciążenia P = 1 przyłożonego w miejscu i kierunku 1 (
1
M , 1
S ,
1
N , 1
V )
1
oraz od obciążenia P = 1 przyłożonego w miejscu i kierunku 2 (
2
M , 2
S ,
2
N , 2
V ).
2
3
ROZWIĄZANIE RAMY OD DANEGO OBCIĄŻENIA F = (M, P, Q) M=15,00 kNm
P=20,00kN
Uwaga: Liniami przerywanymi wzdłuż
C
D
B
x
osi prętów wyróżniono włókna do
/mN
k
k
znakowania momentów zginających.
k0
2
1
,0
E
m0
5
,0
=
3
q
α sinα=0.6
cosα =0.8
V
B
HA
A
4,00m
2,00m
4,00m
V
A y
Wyznaczenie reakcji podpór.
∑ M
⇒
A = − VB ⋅10 m + P ⋅ 6 m + M + q ⋅ 3 m ⋅ 3 m / 2 = 0
− V
⇒
V = 15 7
.
k
5 N ,
B ⋅10 m + 20 kN ⋅ 6 m + 15 kNm + 5 kN / m ⋅ 3 m ⋅ 3 m / 2 = 0
B
∑ Y = − V
⇒ − V
⇒
V =
2
.
4
k
5 N ,
A − 15 7
. 5 kN + 20 kN = 0
A − VB + P = 0
A
∑ X = H
⇒
H
⇒
H
= 1
− 5 0
. 0 kN .
A + 5 kN / m ⋅ 3 m = 0
A + q ⋅ 3 m = 0
A
Kontrola
∑ M
B = − H A ⋅ 3 m + V A ⋅10 m − P ⋅ 4 m + M − q ⋅ 3 m ⋅ 3 m / 2 =
= 1
( 5 ⋅ 3 + 4.25 ⋅10 − 20 ⋅ 4 + 15 − 5 ⋅ 3 ⋅ 3 / 2) kNm = 0
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
,
A = 0
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama 1 – obciążenie siłami – 10.02.09
M
= V ⋅ 2 m − H ⋅1.5 m − q ⋅1.5 m ⋅1.5 m / 2 =
E
A
A
= 4.25 kN ⋅ 2 m +15 kN ⋅1.5 m − 5 kN / m ⋅1.5 m ⋅1.5 m / 2 = 25.375 kN , m
M
= V ⋅ 4 m − H ⋅ m
3
− q ⋅ m
3 ⋅ m
3 / 2 = 4.25 ⋅ 4 m + 15 kN ⋅ m
3
− 5 kN / m ⋅ m
3 ⋅ m
3 / 2 = 39.50 kNm ,
C, AC
A
A
M
= M
+ M = 39.5 kNm +15 kNm = 54.50 kNm , C, CD
C, AC
M
= V ⋅ 4 m = 15 7
.
k
5 N ⋅ 4 m = 63 0
. 0 kNm ,
M
,
B = 0
D
B
V
= V ⋅ cosα − H ⋅sinα = 4.25⋅0.8 +15⋅0.6
= 12.40
,
A, AC
A
A
(
) kN
kN
N
= V
− ⋅sinα − H ⋅ cosα = − 4.25⋅ 0.6 +15⋅ 0.8
= 9.45
,
A, AC
A
A
(
) kN
kN
V
= V ⋅ cosα − H ⋅sinα − q ⋅ m 3 ⋅ sinα = 4.25 ⋅ 0.8 + 15 ⋅ 0.6 − 5 ⋅ 3 ⋅ 0.6
= 3.40
,
C, AC
A
A
(
) kN
kN
N
= V
− ⋅ sinα − H ⋅ cosα − q ⋅ m
3 ⋅ cosα = − 4.25 ⋅ 0.6 + 15 ⋅ 0.8 − 5 ⋅ 3 ⋅ 0.8
= −2.55
,
C , AC
A
A
(
) kN
kN
V
= P − V = 20 kN −15.75 kN = 4.25 kN , V
= V
−
= −15 7
.
k
5 N ,
N
.
CB = 0
CD
B
DB
B
Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB obliczono jako średnie arytmetyczne z wartości brzegowych.
M
=
+
/ 2 = 54.5 + 63 / 2 ⋅
= 58.75
,
S , CD
( M
M
C , CD
D )
(
) kNm
kNm
M
=
+
/ 2 = 63 + 0 / 2 ⋅
= 31.50
S , DB
( M M
D
B )
(
) kNm
kNm
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S F = V
−
= 1
− 5.75 kN
1
B
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S F = M
= 39 5
. 0 kNm
2
C , AC
Wykresy sił przekrojowych
3,4
5k
2
N
-
Uwaga: Wszystkim wielko
,
ściom z tego
9
5
,
5
4
k
5
N
rozwiązania przypisujemy indeks górny F,
kN
+
NF
gdyż zostały wywołane obciążeniem
oznaczonym symbolem F)
39,5
N
0
3
N
k
,
k
k
N
4
5
5
2
m
0
5
k
,2
,2
,
N
3
7
4
4
7
,
5
90
+
k
+
N
kN
m
+
m
-
m
m
m
N
1
N
k
2
k
N
N
0
,4
N
N
0
k
k
5
0
,5
0k
k
+
k
,5
1
N
5
5
4
,7
,0
MF
3
,7
,7
5
8
3
5
6
51
VF
51
4
ROZWIĄZANIE RAMY OD OBCIĄŻENIA P1 = 1
P =1
W celu wyznaczenia przesunięcia
1
B
C
D
x
(w temacie kierunek nr 1 zaznaczony linią
k
przerywan
k
ą) niezbędne jest rozwiązanie
2
1
E
m0
ramy od obciążenia siłą jednostkową
,03
przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego
α sinα=0.6
cosα =0.8
V
przemieszczenia.
B
HA
A
4,00m
2,00m
4,00m
VA
Wyznaczenie reakcji podpór.
y
∑ M
⇒ V
,
B =
4
.
0 0
A = − VB ⋅10 m + 1⋅ 4 m = 0
∑ Y = − V
⇒ V
,
A =
6
.
0 0
A − VB + P = 0
1
∑ X = H = 0
⇒ H
.
A = 0
A
Kontrola
∑ M
.
B = − H A ⋅ 3 m + V A ⋅10 m − P ⋅ 6 m =(−0 ⋅ 3 +
6
.
0 ⋅10 −1⋅ )
6 m = 0
1
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama 1 – obciążenie siłami – 10.02.09
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
,
M
= V ⋅ 4 m − H ⋅ m
3
= 2.40 m ,
A = 0
C
A
A
M
= V ⋅ 4 m = 6
.
1 0 m ,
M
,
B = 0
D
B
V
V
H
,
N
V
H
,
AC = −
A ⋅ sin α −
A ⋅ cosα = −0.36
AC =
A ⋅ cosα −
A ⋅ sin α = 0.48
V
V
,
N
.
CB = 0
CB = − B =
0
− .40
M
= M
=
+
/ 2 = 0 + 2.4 / 2 ⋅
= 1.20 ,
E
S , AC
( M M
A
C )
(
) m
m
M
=
+
/ 2 = 2.4 + 1.6 / 2 ⋅
= 2.00 ,
S , CD
( M
M
C
D )
(
) m
m
M
=
+
/ 2 = 1.6 + 0 / 2 ⋅
= 0.80
S , DB
( M
M
D
B )
(
) m
m
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
1
S = − V
B =
0
− .40
1
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S 1 = M = 2.40 m
2
C
Wykresy sił przekrojowych.
0,3
Uwaga: Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania 6
przypisujemy indeks górny 1, gdyż zostały wywołane N1
-
obciążeniem oznaczonym numerem 1
0,48
0,
2
3
,
6
40m
-
1,
+
2
0
0
0
0
m
0
+
m
m
0
,
,4
4
,4
,4
+
m
0
8
0
0
V1
0
m
0
,8
0
,6
0
,0
,4
1
2
2
M1
5
ROZWIĄZANIE RAMY OD
OBCIĄŻENIA P
P =M=1
2 = 1
2
C
D
B
x
W celu wyznaczenia kąta obrotu (w
k
k
2
1
temacie kierunek nr 2 zaznaczony łukiem z
E
m0
linii przerywanej) niezb
,0
ędne jest
α sinα=0.6
3
rozwiązanie ramy od obciążenia
cosα =0.8
VB
H
jednostkowym momentem przyło
A
A
żonym w
4,00m
2,00m
4,00m
miejscu szukanego kąta obrotu
VA
y
Wyznaczenie reakcji podpór.
∑ M
⇒ V = 1
.
0 0 / m ,
A = − VB ⋅10 m + 1 = 0
B
∑ Y = − V
V
⇒ V =
1
.
0
− 0 / m ,
A −
= 0
B
A
∑ X = H = 0
⇒ H
.
A = 0
A
Kontrola
∑ M
B = − H A ⋅ 3 m + VA ⋅10 m + P = − 0 ⋅ 3 −
1
.
0 ⋅10 +1 = 0
2
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
,
M
,
C = V A ⋅ 4 m − H A ⋅ 3 m = −0.40
A = 0
M
,
M
,
B = 0
D = VB ⋅ 4 m − 1 = −
6
.
0 0
V
= V ⋅ cosα − H ⋅sinα = −0.08/ m , N
= V
− ⋅sinα − H ⋅cosα = 0.06/ m ,
AC
A
A
AC
A
A
V
= V
−
= −0.10 / m
N
.
CB =
CB
B
,
0
M
M
M
M
,
E =
S AC =
A +
C
= −
= −
,
(
)/ 2 (0 0.4)/ 2 0.20
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama 1 – obciążenie siłami – 10.02.09
M
M
M
,
S CD =
C +
D
= −
−
= −
,
(
)/ 2 ( 0.4 0.6)/ 2 0.50
M
M
M
S DB =
D +
B
= −
−
= −
,
(
)/ 2 ( 0.6 )1/ 2 0.80
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S 2 = V
−
= −0.10 / m
1
B
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
0,06
2
S = M
/m
C =
0
− .40
2
Wykresy sił przekrojowych
0,0
+
6
Uwaga: Wszystkim wielkościom z tego
/m
N2
rozwiązania przypisujemy indeks górny 2, gdyż
zostały wywołane obciążeniem oznaczonym
numerem 2
0
0
,
0
0
0
0
,0
8
0
,8
/
,6
1
m
0
,5
0
,
,4
0
4
0
0
0
-
-
-
0,2
-
0
/m
/m
/m
0
0
0
,1
,1
,1
M2
0
0
V2
0
6
PROJEKTOWANIE WSTĘPNE PRZEKROJÓW PRĘTÓW
Pręt AC
Potrzebny wskaźnik wytrzymałości na zginanie
max M ⋅γ f
39 5
. kNm ⋅ 2
.
1
3
3
W ≥
=
= 0
.
0 002205 m = 202 5
. cm
2
fd
215000 kN / m
Przyjęto I 220 ⇒
3
W = 278.18 cm ,
4
I = 3060 cm ,
2
A = 39.6 cm
2
4
2
EI
= 205000000 kN / m ⋅ 0.00003060 m = 6273 kNm AC
EA
= 205000000 kN / m 2 ⋅ 0.00396 m 2 = 811800 kN
AC
GA
= 80000000 kN / m 2 ⋅ 0.00396 m 2 = 316800 kN
AC
Pole powierzchni środnika
2
Aw
= ( h − 2 ⋅ t ) ⋅ t = (22 cm − 2 ⋅ 2
.
1 2 cm) ⋅ 8
.
0 1 cm = 15 8
. 4 cm
AC
f
w
κ
AC = 39.6
2
cm /15.84
2
cm = 2.50
max M ⋅ γ f
63 kNm ⋅ 2
.
1
Pr
3
ęt CB
3
W ≥
=
= 0
.
0 003516 m = 351 6
. cm
2
f d
215000 kN / m
Przyjęto I 240 ⇒
3
W = 354 cm ,
4
I = 4250 cm ,
2
A = 46.1 cm
2
4
2
EI
= 205000000 kN / m ⋅ 0.00004250 m = 8712.5 kNm CB
EA
= 205000000 kN / m 2 ⋅ 0.0046 m 1 2 = 945050 kN
CB
GA
= 80000000 kN / m 2 ⋅ 0.0046 m
1 2 = 368800 kN
AC
2
Aw
= ( h − 2 ⋅ t ) ⋅ t = (24 cm − 2 ⋅ 3
.
1 1 cm) ⋅ 8
.
0 7 cm = 18 6
. 0 cm
CB
f
w
κ
CB = 46.1
2
cm /18.60
2
cm = 2.48
Sztywności więzi sprężystych
100 ⋅ EI
2
8712.5 kNm
kN
Sztywność więzi sprężystej translacyjnej wynosi k
=
CB =100 ⋅
= 4034
1 =
3
(6 m)
3
(6 m)
m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama 1 – obciążenie siłami – 10.02.09
10 ⋅ EI
8712.5 kNm 2
Sztywność więzi sprężystej rotacyjnej wynosi
k
CB =10 ⋅
= 29042 kNm .
2 =
m
3
m
3
7
OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ
Przemieszczenia obliczono na podstawie wzorów zestawionych w punkcie 2
Do obliczenia całek zastosowano wzór Simpsona. W tym celu (ze względu na charakter wykresów momentów zginających) przedstawiono je w postaci sum 3 całek odpowiadających poszczególnym przedziałom, w których funkcje podcałkowe spełniają założenia umożliwiające zastosowanie wzoru Simpsona.
Szukane przesuniecie:
M 1 ⋅
F
∆
1
1
1
1
1
1
1 F = ∫
M dx =
∫ M ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M ⋅ M F ⋅ dx +
EI
EI
EI
EI
AC AC
CD CD
DB DB
1
S
S F
S
S F
1 ⋅
1
1
2 ⋅
+
+
2
=
k
k
1
2
=
5 m
⋅
2
[0⋅0 + 4⋅25.375 kNm⋅1.2 m + 39.5 kNm⋅2.4 m]+
6 ⋅ 627 k
3 Nm
2
+
⋅[54.5⋅ 2.4 + 4 ⋅58.75⋅ 2 + 63⋅1.6]⋅ m +
6 ⋅ 8712.5
4
+
⋅[
−
⋅ −
⋅
63 ⋅1.6 + 4 ⋅ 31.5 ⋅ 0.8 + 0 ⋅ 0]
0.4 ( 15.75 kN )
2.4 m 39.5 kNm
⋅ m +
+
= 0.0758 m = 7.5 c
8 m
6 ⋅ 8712.5
4034 kN / m
29042 kNm
Szukany kąt obrotu:
M 2 ⋅ M F
∆
1
1
1
2
= ∫
dx =
∫ M 2 ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M 2 ⋅ M F ⋅ dx +
∫ M 2 ⋅ M F ⋅ dx
F
EI
EI
EI
EI
AC AC
CD CD
DB DB
2
S
S F
S
S F
1 ⋅
2
1
2 ⋅
+
+
2
=
k
k
1
2
=
5 m
⋅
kNm
kNm
2
[0⋅0 + 4⋅25.375
⋅ (−0.2) + 39.5
⋅ (−0.4)]+
6 ⋅ 6273 kNm
+
2
⋅[54.5⋅(−0.4) + 4⋅58.75⋅(−0. )
5 + 63 ⋅ (−0.6)]+
6 ⋅ 8712.5
+
4
⋅[63⋅(−0.6) + 4⋅31.5⋅(−0. )
8 + 0 ⋅ (− )
1 ] − 0.1/ m ⋅ (−15.75 kN )
− 0.4 ⋅
+
+
39.5 kNm =
6 ⋅ 8712.5
4034 kN / m
29042 kNm
o
180
o
= −0.02233 = −0.0223 r
3 ad = 0
− .02233⋅
= 1
− .28
π
Określenie błędów, jakie popełniono obliczając przemieszczenia z pominięciem odkształceń N i N F
κ ⋅ V i V F
podłużnych ∫
⋅
dx i postaciowych ∫
⋅
dx .
EA
GA
W celu określenia błędów obliczmy pominięte człony: N 1 ⋅
F
∆
1
1
( N
1
1
)
1 F
= ∫
N dx =
∫ N ⋅ N F ⋅ dx +
∫ N ⋅ N F ⋅ dx =
EA
EA
EA
AC AC
CB CB
=
5 m
⋅ 9
[ .45 kN ⋅ (−0.36) + 4 ⋅ 3.45 kN ⋅ (−0.36) − 2.55 kN ⋅ (−0.36)] + 0 =
6 ⋅ 811800 kN
= −0.0000076 m = 0
− .00076 cm
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ – rama 1 – obciążenie siłami – 10.02.09
κ ⋅ V 1 ⋅ F
κ
κ
κ
∆ V
1
1
1
( )
1 F
= ∫
V dx = AC ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + CD ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + DB ∫ V ⋅ V F ⋅ dx =
GA
GA
GA
GA
AC AC
CD CD
DB DB
5 m ⋅
=
2.50
⋅ 1
[ 2.4 kN ⋅ 0.48 + 4 ⋅ 7.9 kN ⋅ 0.48 + 3.4 kN ⋅ 0.4 ]
8 +
6 ⋅ 316800 kN
2.48
=
⋅[4.25 kN ⋅ 2 m ⋅ ( 0
− .4) −15.75 kN ⋅ 4 m ⋅ (−0.4)] = 0.000296 m = 0.0296 cm 316800 kN
∆ V
( , N ) =
0
.
0 296 − 0
.
0 007 c
6 m =
0
.
0 278 c
4 m
1 F
N 2 ⋅
F
∆
1
1
( N
2
2
)
2 F
= ∫
N dx =
∫ N ⋅ N F ⋅ dx +
∫ N ⋅ N F ⋅ dx =
EA
EA
EA
AC AC
CB CB
5
=
m
⋅ 9
[ .45 kN ⋅ 0.06 / m + 4 ⋅ 3.45 kN ⋅ 0.06 / m − 2.55 kN ⋅ 0.06 / m] + 0 = 0.000001 ≈ 0
6 ⋅ 811800 kN
κ ⋅ V 2 ⋅ F
κ
κ
κ
∆ V
2
2
2
( )
2 F
= ∫
V dx = AC ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + CD ∫ V ⋅ V F ⋅ dx + DB ∫ V ⋅ V F ⋅ dx =
GA
GA
GA
GA
AC AC
CD CD
DB DB
5 m ⋅
=
2.50
⋅ 1
[ 2.4 kN ⋅ (−0.08 / m) + 4 ⋅ 7.9 kN ⋅ (−0.08 / m) + 3.4 kN ⋅ (−0.08 / m)] +
6 ⋅ 316800 kN
o
2.48
0.000238 ⋅180
o
+
⋅[4.25 kN ⋅ 2 m ⋅ ( 0
− .1/ m) −15.75 kN ⋅ 4 m ⋅ (−0.1/ m)] = 0.000238 =
= 0.0136
316800 kN
π
o
∆ V
( , N ) = 0.0136
2 F
Zestawienie wyników obliczeń:
Przesuniecie:
-wartość przybliżona (bez wpływu odkształcalności poprzecznej i podłużnej)
∆ = 5
.
7
c
8 m
1 F
-wpływ odkształcalności podłużnej
∆ ( N) = 0
.
0 007 c
6 m
1 F
-wpływ odkształcalności postaciowej
∆ V
( ) =
0
.
0 23 c
8 m
1 F
-razem wpływ odkształcalności postaciowej i podłużnej
∆ V
( , N ) =
0
.
0 278 c
4 m
1 F
-wartość dokładna
∆ + ∆ V
( , N ) =
5
.
7
c
8 m + 0
.
0 278 c
4 m =
6
.
7 0 c
8 m
1 F
1 F
0.02784
-błąd
⋅100% = 0.3 %
7
.
7.608
Widać, że błąd jest znikomy i wpływ odkształcalności podłużnej i postaciowej może być pominięty.
Kąt obrotu:
-wartość przybliżona (bez wpływu odkształcalności poprzecznej i podłużnej) o
∆ = −1.28
2 F
-wpływ odkształcalności podłużnej
∆ ( N)
F
= 0
2
-wpływ odkształcalności postaciowej
o
∆ V
( ) = 0.0136
2 F
-razem wpływ odkształcalności postaciowej i podłużnej o
∆ V
( , N ) = 0.0136
2 F
-wartość dokładna
o
∆ + ∆ V
( , N ) = −1.28 + 0.0136 = 1.2936
2 F
2 F
0.0136
-błąd
⋅100% = 1.06%
1.2936
Widać, że błąd jest nieco większy ale też pomijalny.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
6