Zadanie1.
Mając dane wektory
)
2
,
2
,
3
(
),
1
,
2
0
(
),
3
,
1
,
2
(
−
−
=
−
=
−
=
c
b
a
, wyznacz:
a)
Iloczyn skalarny
b
a o
,
b)
Kąt między wektorami
a
i
b
c)
Iloczyn wektorowy
c
a
×
Rozwiązanie:
a)
Iloczyn skalarny
5
1
3
)
2
(
)
1
(
0
2
=
⋅
+
−
⋅
−
+
⋅
=
b
a o
b)
Kąt między wektorami
a
i
b
( )
( )
0
2
2
2
2
2
2
3
.
53
14
5
arccos
14
5
5
14
5
1
)
2
(
0
3
)
1
(
2
5
cos
cos
=
=
=
⋅
=
+
−
+
⋅
+
−
+
=
=
→
=
α
α
α
b
a
b
a
b
a
b
a
o
o
c)
Iloczyn wektorowy
(
)
1
,
5
,
4
2
3
1
2
,
2
3
3
2
,
2
2
3
1
)
2
,
2
,
3
(
)
3
,
1
,
2
(
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
×
=
×
c
a
Zadanie 2.
WzdłuŜ przekątnej BJ ściany graniastosłupa na rysunku działa siła F o wartości
P
17
3
.
Wyznacz:
a)
Współrzędne siły F ,
b)
Moment F względem punktu H,
c)
Moment F względem punktu A.
Rozwiązanie:
a)
Współrzędne siły F ,
BJ
e
F
F
⋅
=
(
)
(
)
2
,
2
,
3
17
1
2
,
2
,
3
4
4
9
1
1
2
2
2
−
−
=
−
−
+
+
=
⋅
==
a
a
a
a
a
a
BJ
BJ
e
BJ
(
)
)
6
,
6
,
9
(
2
,
2
,
3
17
1
17
3
P
P
P
P
F
−
−
=
−
−
⋅
=
b)
Moment F względem punktu H,
(
)
(
) (
)
Pa
Pa
Pa
a
a
a
P
P
P
BH
F
B
F
M
H
27
,
,
18
,
,
6
4
,
5
,
3
6
,
6
,
9
=
−
−
−
−
×
=
×
=
c)
Moment
F względem punktu A
(
)
(
)
(
)
Pa
Pa
a
P
P
P
BA
F
B
F
M
A
45
,
0
,
30
0
,
5
,
0
6
,
6
,
9
=
−
−
−
×
=
×
=
Zadanie 3.
a)
Obliczyć sumę i moment układu sił względem
punktów B, O i E, a po sprawdzeniu otrzymanych
wyników dokonać redukcji tego układu w punkcie B.
b)
Wyznaczyć najprostszy układ sił równowaŜny
danemu układowi. Wynik redukcji narysować.
P
F
2
1
=
,
P
F
2
2
=
,
P
F
6
3
=
ad a)
Suma układu jest wektorem swobodnym równym sumie sił układu
3
2
1
F
F
F
S
+
+
=
Moment układu sił względem punktu jest sumą momentów sił układu względem tego punktu
B
B
B
B
M
M
M
M
3
2
1
+
+
=
Momenty
B
M
1
,
B
M
2
,
B
M
3
sił
1
F ,
2
F ,
3
F
względem punktu B wyznaczymy z definicji momentu siły
względem punktu. Momenty sił
1
F ,
3
F
są wektorami zerowymi, poniewaŜ ich proste działania przechodzą
przez punkt B natomiast moment siły
2
F wynosi:
a więc
Wobec tego moment układu sił względem punktu B wynosi:
(
)
0
0
Pa
M
B
−
=
Moment układu sił względem punktu O wynosi
O
O
O
O
M
M
M
M
3
2
1
+
+
=
A więc:
(
)
0
4
Pa
Pa
M
O
−
=
Sprawdzenia obliczeń moŜna dokonać stosując twierdzenie o zmianie bieguna:
BO
S
M
M
B
O
×
+
=
x
z
y
F
1
F
F
3
2
O
a
a
2a
A
C
E
D
B
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
2
Pa
a
P
P
M
B
−
−
×
−
−
=
EB
F
M
B
×
=
2
2
(
)
(
)
(
)
Pa
a
a
P
M
O
2
0
0
0
2
0
2
0
1
−
−
−
×
−
=
(
)
(
)
(
)
0
2
0
0
2
3
Pa
Pa
a
P
P
P
M
O
−
−
×
−
=
(
)
(
)
(
)
Pa
Pa
a
a
a
P
P
M
O
2
0
2
2
0
2
−
−
−
−
×
−
−
=
(
) (
) (
) (
)
0
4
0
2
2
0
0
0
0
Pa
Pa
a
a
P
Pa
M
O
−
=
−
−
×
−
+
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
P
S
P
P
P
F
P
P
F
P
F
2
0
0
2
0
0
2
0
3
2
1
−
=
−
=
−
−
=
−
=
Moment układu sił względem punktu E wynosi
E
E
E
E
M
M
M
M
3
2
1
+
+
=
A więc:
(
)
0
0
Pa
M
E
−
=
Jak widać, moment układu sił względem punktu E jest równy momentowi sił względem punktu B. Wynika
to z faktu, Ŝe wektor
BE
jest równoległy do wektora sumy.
Odp.
W punkcie B układ redukuje się do wektora
b
równego sumie układu i pary sił o momencie .
ad b)
Parametr układu:
(
) (
)
0
0
0
2
0
0
=
−
−
=
=
Pa
P
M
S
K
B
o
o
0
0
=
∧
≠
k
S
Układ redukuje się do wypadkowej
Wyznaczenie równania parametrycznego osi środkowej l
S
S
M
S
OO
r
⋅
+
×
+
=
λ
λ
2
0
)
(
S
S
M
S
⋅
+
×
=
λ
2
0
2
2
4P
S
=
(
)
0
,
8
,
2
2
2
0
a
P
a
P
M
S
=
×
−
⋅
+
=
⋅
+
=
⋅
+
=
)
2
(
4
0
)
(
0
4
8
)
(
0
4
2
)
(
2
2
2
2
2
P
P
z
P
a
P
y
P
a
P
x
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Ostatecznie:
⋅
−
=
=
=
λ
λ
λ
λ
P
z
a
y
a
x
l
2
)
(
2
)
(
2
1
)
(
:
Odp.
Zadany układ redukuje się do wypadkowej złoŜonej z jednego niezerowego wektora
S
W
=
leŜącego na osi
ś
rodkowej o równaniu:
⋅
−
=
=
=
λ
λ
λ
λ
P
z
a
y
a
x
2
)
(
2
)
(
2
1
)
(
(
)
(
)
(
)
0
0
2
0
0
0
2
0
1
Pa
a
P
M
E
−
×
−
=
0
2
=
E
M
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
3
Pa
Pa
a
a
P
P
P
M
E
−
×
−
=
B
M
y
a
x
z
F
1
O
F
2
a
F
3
2a
A
E
B
C
D
H
2
a
x
=
a
y
2
=
Zadanie 4.
Zadany układ sił zredukuj do najprostszej postaci.
1.
Wyznaczenie współrzędnych sił:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kN
F
kN
F
kN
m
m
kN
F
kN
m
m
kN
F
0
,
14
,
0
0
,
0
,
16
4
,
4
,
8
6
2
2
,
2
,
4
6
4
6
,
10
,
8
50
3
,
5
,
4
50
2
4
3
2
1
−
=
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
2.
Obliczenie sumy układu:
(
)
kN
S
2
,
0
,
0
=
3.
Obliczenie momentu układu względem punktu L (punkt L - dowolnie wybrany punkt):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kNm
kNm
kNm
m
kN
m
kN
KL
F
EL
F
M
L
96
,
40
,
12
80
,
0
,
0
16
,
40
,
12
0
,
5
,
0
0
,
0
,
16
3
,
0
,
4
4
,
4
,
8
3
2
=
+
=
+
−
−
−
×
=
×
+
×
=
4. Wyznaczenie parametru układu:
(
) (
)
0
192
96
,
40
,
12
2
,
0
,
0
2
2
≠
=
=
=
m
kN
m
kN
M
S
k
L
o
o
0
0
≠
∧
≠
k
S
Układ redukuje się do skrętnika
5. Wyznaczenie momentu pary sił:
P
M ll
S
(
)
(
)
kNm
kN
kN
m
kN
S
S
k
M
P
96
,
0
,
0
2
,
0
,
0
4
192
2
2
2
=
=
=
6. Wyznaczenie równania osi środkowej l
(równanie osi środkowej moŜna wyznaczyć w postaci
parametrycznej albo krawędziowej; poniŜej przedstawiono obydwie metody):
a) równanie parametryczne prostej l
S
S
M
S
OL
r
L
⋅
+
×
+
=
λ
λ
2
)
(
2
2
4
)
5
,
5
,
0
(
kN
S
m
OL
=
=
(
)
(
)
(
)
m
kN
kNm
kN
M
S
L
2
0
,
24
,
80
96
,
40
,
12
2
,
0
,
0
−
=
×
=
×
⋅
+
+
=
⋅
+
+
=
⋅
+
−
+
=
kN
kN
m
z
kN
m
kN
m
y
kN
m
kN
x
2
4
0
5
)
(
0
4
24
5
)
(
0
4
80
0
)
(
2
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Ostatecznie:
⋅
+
=
=
−
=
kN
m
z
m
y
m
x
l
2
5
)
(
11
)
(
20
)
(
:
λ
λ
λ
λ
b) równanie krawędziowe prostej l (z twierdzenia o zmianie bieguna)
LP
S
M
M
L
P
×
+
=
(
)
(
)
5
,
5
,
0
,
,
,
=
=
L
z
y
x
P
(
)
(
)
(
)
(
)
m
z
y
x
kN
kNm
kNm
5
,
5
,
2
,
0
,
0
96
,
40
,
12
96
,
0
,
0
−
−
×
+
=
+
=
+
=
+
−
=
0
96
96
2
40
0
10
2
12
0
x
y
Ostatecznie:
−
=
=
20
11
:
x
y
l
7. Odpowiedź:
Zadany układ sił redukuje się do skrętnika złoŜonego z jednego, niezerowego wektora sumy
(
)
kN
S
2
,
0
,
0
=
leŜącego na osi środkowej o równaniu:
⋅
+
=
=
−
=
kN
m
z
m
y
m
x
l
2
5
)
(
11
)
(
20
)
(
:
λ
λ
λ
λ
oraz z pary sił o momencie
P
M ,
P
M ll S
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1.
Dla układu sił na rysunku
Wyznacz:
1.
współrzędne sił
2.
moment
1
F względem punktu K
3.
moment
2
F względem punktu H
4.
sumę układu sił
5.
moment układu sił względem punktu E
6.
parametr układu sił
Odpowiedzi:
1.
(
)
[ ]
kN
F
6
,
10
,
8
1
−
=
,
(
)
[ ]
kN
F
2
,
2
,
4
2
−
−
=
2.
[
]
kNm
C
F
M
K
)
40
,
0
,
30
(
1
=
3.
0
2
=
E
F
M
H
4.
(
)
[ ]
kN
S
4
,
12
,
12
−
=
5.
(
)
[
]
kNm
M
E
40
,
0
,
30
−
−
=
6.
[
]
m
kN
k
2
200
=
B
a
F
2
A
F
3
O
F
1
a
3a
a
y
x
z
Zadanie 2.
Obliczyć sumę i moment układu sił względem punktów A i B, a po sprawdzeniu otrzymanych wyników
dokonać redukcji tego układu w punkcie A.
P
F
4
1
=
,
P
F
2
2
=
,
P
F
6
3
=
Odpowiedzi:
Suma układu sił:
(
)
0
2
2
P
P
S
=
Moment układu względem punktu A :
(
)
Pa
Pa
Pa
M
A
−
−
=
Moment układu względem punktu B:
(
)
Pa
Pa
Pa
M
B
3
3
3
−
−
=
Sprawdzenie z wykorzystaniem twierdzenia o zmianie bieguna:
(
)
Pa
Pa
Pa
AB
S
M
M
A
B
3
3
3
−
−
=
×
+
=
W punkcie A układ redukuje się do wektora
S
b
=
i pary sił o momencie
A
M
.
Zadanie 3.
Zadany układ sił zredukować w punkcie D, w punkcie A (skorzystać z tw. o zmianie bieguna)
i do najprostszej postaci
y
2a
3a
a
2a
h
=
2
a
a
b
c
d
A
C
E
B
D
P
d
P
c
P
b
P
a
13
3
2
5
2
=
=
=
=
Zadanie 4.
Zadany układ sił zredukować w punkcie D, w punkcie C (skorzystać z tw. o zmianie bieguna)
i do najprostszej postaci
P
d
P
c
P
b
P
a
2
4
5
2
3
=
=
=
=