9

PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA

str. 129

9

PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA

Przekształcenie Fouriera ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki i techniki. W au-tomatyce przekształcenie Fouriera jest stosowane do specjalistycznego przetwarzania sygnałów, a w szczególności do obliczania charakterystyk częstotliwościowych.

9.1

Szereg Fouriera funkcji okresowej

Funkcję okresową x(t) o okresie T można aproksymować szeregiem Fouriera:

∞

∞

x(t) = a

+ ∑ a cos (n ω t) + ∑ b sin (n ω t)

(9.1)

o

n

o

n =

n

o

1

n =1

gdzie:

n = 1, 2, 3, ..liczby naturalne,.

2π

ω =

pulsacja podstawowa sygnału x(t) o okresie T.

o

T

Współczynniki szeregu trygonometrycznego są obliczane wzorami: t

+ T

o

1

a

=

∫ x(t) dt

(9.2)

o

T

t o

t

+ T

o

2

a

=

∫ x(t) cos(n ω t) dt

(9.3)

n

o

T

t o

t

+ T

o

2

b

=

∫ x(t) sin(n ω t) dt

(9.4)

n

o

T

t o

9.2

Zespolony szereg Fouriera

Jeżeli zamiast funkcji trygonometrycznych wprowadzimy do szeregu Fouriera funkcje zespolone i n ω t

e

o

= cos(n ω t) + i sin (n ω t)

(9.5)

o

o

to rozwinięcie funkcji x(t) może być przedstawione w postaci szeregu zespolonego o zespolonych współczynnikach X zdefiniowanych następującym wzorem n

n = + ∞

− i nω t

x(t) =

∑

o

X e

(9.6)

n

n = − ∞

t

+ T

o

1

− i nω t

X

=

∫

o

x(t) e

dt

(9.7)

n

T

t o

9

PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA

str. 130

9.3

Przekształcenie Fouriera

Przekształcenie Fouriera stanowi uogólnienie zespolonego szeregu Fouriera. Istnieje przekształcenie Fouriera proste i przekształcenie Fouriera odwrotne. Proste przekształcenie Fouriera przekształcające sygnał rzeczywisty x(t) w sygnał zespolony X(i ) ω jest zdefiniowane całką (w

sensie Riemanna).

+ ∞

1

− i ω

X(i ω) =

∫ x(t) e

t dt

(9.8)

T

− ∞

Odwrotne przekształcenie Fouriera jest zdefiniowane całką:

+ ∞

1

i ω

x(t) =

∫ X(i ω) e

t dω

(9.9)

2 π − ∞

Aby istniało przekształcenie Fouriera, funkcja x(t) musi spełniać pewne warunki. Jednym z nich jest wymaganie, aby funkcja x(t) była bezwzględnie całkowalna, czyli:

+ ∞

∫ x(t) dt < ∞

(9.10)

− ∞

9.4

Przekształcenie Fouriera w sensie dystrybucyjnym Przekształcenie zdefiniowane wzorem (A.8) nie obejmuje obszernej klasy użytecznych sygnałów takich jak 1(t) ⋅ sin(ωt), 1(t) ⋅ cos(ωt), dla których zwykła transformata Fouriera nie istnieje. Pojęcie przekształcenia całkowego Fouriera można rozszerzyć na wymienione sygnały okresowe, wprowadzając przekształcenie Fouriera w sensie granicznym (dystrybucyjnym). Sygnał x(t) zastępujemy ciągiem sygnałów x(α,t), gdzie α jest liczbą dodatnią, a funkcja x(α,t) speł-

nia następujące warunki:

a)

lim x(α, t) = x(t) dla każdego t,

(9.11)

α → 0

b)

dla każdej funkcji x(α,t ) istnieje zwykła transformata X(α,iω) i odwrotnie, każdej transformacie X(α,iω) odpowiada funkcja x(α,t), c)

jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek:

lim X(α, i )

ω = X(i )

ω dla każdego ω,

(9.12)

α → 0

to parę transformat x(t) ↔ X(iω) nazywamy transformatami w sensie granicznym.

− α

Funkcje aproksymujące często otrzymuje się mnożąc funkcję x(t) przez funkcję t

e

2

− α

(dla 0 <t < ∞) lub funkcję

t

e

lub funkcję (dla -∞ <t < ∞).

9

PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA

str. 131

9.5

Widmo sygnału

Odwrotne przekształcenie Fouriera (9.9) Przedstawia rozkład sygnału x(t) na sumę nieprzeli-czalnej liczby elementarnych sygnałów harmonicznych o pulsacji ω zmieniającej się w sposób ciągły od 0 do ∞. każdy z tych sygnałów ma nieskończenie małą amplitudę, ale w skończonym przedziale częstotliwości sygnały te mają skończoną gęstość amplitudy i fazy. Prostą transforma-cję Fouriera X(iω) nazywamy widmem zespolonym lub widmem sygnału. Funkcja X(iω) może być przedstawiona w postaci algebraicznej (9.13), lub wykładniczej (9.14) X(iω) = Re[X(iω)] +i Im[X(iω)] = P(ω) + i Q(ω) (9.13)

ϕ ω

ϕ ω

i ( )

i ( )

X(i )

ω = X(i )

ω e

= A( )

ω e

(9.14)

Funkcje: A(ω), φ(ω), P(ω), Q(ω), są funkcjami rzeczywistymi zmiennej ω i noszą odpo-wiednio nazwy: widmo amplitudowe, widmo fazowe, widmo rzeczywiste i widmo urojone sygna-

łu x(t). Pomiędzy charakterystykami widmowymi zachodzą następujące związki: A( )

ω = X(i )

ω = P2 ( )

ω + Q2 ( )

ω

(915)

P( )

ω

cos ϕ( )

ω =

(916)

A( )

ω

Q( )

ω

sin ϕ( )

ω =

(917)

A( )

ω

Q( )

ω

tg ϕ( )

ω =

(918)

P( )

ω

Jeżeli x(t) jest sygnałem przyjmującym wartości rzeczywiste, a X(iω) jest zwykłą transformatą Fouriera tego sygnału, wówczas zmienna ω przedstawia pulsację drgań, funkcja A(ω) przedstawia gęstość amplitudy, a funkcja φ(ω) przedstawia gęstość fazy sygnału x(t).