Zadania z analizy wektorowej. Część IV
Zadanie 32. Przedstawić RR f ( x, y) dxdy w postaci całek iterowanych, jeśli zbiór A ograniczony A
jest krzywymi:
1. x 2 + y = 2, y 3 = x 2;
2. x 2 + y 2 = 4, y = 2 x − x 2, x = 0 ( x, y 0); 3. x 2 − y 2 = 1, x 2 + y 2 = 3 ( x < 0).
Zadanie 33. Obliczyć miarę zbioru A ograniczonego:
1. krzywymi y 2 = 4 x, x + y = 3, y = 0 ( y 0); 2. krzywymi x + y = 4, x + y = 8, x − 3 y = 0, x − 3 y = 5; 3. krzywymi xy = 4 i |x + y| = 5;
4. powierzchniami x = − 1, x = 2, z = 4 − y 2, z = 2 + y 2; 5. powierzchniami z = x 3 + y 3, x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1.
Zadanie 34. Zmienić porządek całkowania w całkach iterowanych:
2
2 x
1. R dx R f ( x, y) dy;
0
x
1
x 2
2. R dx R f ( x, y) dy;
0
x 3
e
ln x
3. R dx R f ( x, y) dy;
1
0
1 |x|
4. R
R
f ( x, y) dy dx;
− 1
0
√
4
2
x
5. R
R
f ( x, y) dy dx;
√
0
4 x−x 2
1 2 − 2 x 3 − 3 x− 3 y
2
6. R
R
R
f ( x, y, z) dz dy dx.
0
0
0
Zadanie 35. Obliczyć całki iterowane:
√
3
x
1. R dx R y dy;
x
1
1
2 π
a
2. R dϕ R r 2 sin2 ϕ dr.
0
0
Zadanie 36. Obliczyć podane całki podwójne i potrójne:
1. RR yexy dx dy, gdzie P = [ − 1 , 1] × [0 , 1]; P
2. RR x sin2 xy dx dy, gdzie P = [0 , 2] × [0 , π]; P
3. RR (4 − x − y) dx dy, gdzie T jest trójkątem o wierzchołkach (0 , 0), (2 , 2), (1 , 3); T
4. RR x dx dy, gdzie D = {( x, y) ∈
2 : 2 ¬ x ¬ 4 , 1 ¬ y ¬ x 2 };
y
R
D
5. RR (5 x 2 − 2 xy) dx dy, gdzie T jest trójkątem ograniczonym prostą x + 2 y = 2 i osiami T
współrzędnych.
6. RR
dxdy
, gdzie D = [0 , 2] × [0 , 1];
( x+ y+1)3
D
√
7. RR
xy 2+4 x 4 dxdy, gdzie D = [1 , 9] × [2 , 3]; xy
D
8. RR [ x + y] dxdy, gdzie D = [0 , 2] × [0 , 2]; D
9. RR sgn ( x 2 − y 2 + 2) dxdy, gdzie D = {( x, y) : x 2 + y 2 ¬ 4 }; D
10. RRR xz sin( xy) dxdydz, gdzie P = [ 1 , 1 ] × [0 , π] × [0 , 1]; 6
2
P
11. RRR sin( x + y + z) dxdydz, gdzie P = [0 , π ] × [0 , π ] × [0 , π]; 2
2
P
12. RRR ex+ y+ z dxdydz, gdzie P : x ¬ 0 , −x ¬ y ¬ 1 , 0 ¬ z ¬ −x; P
13. RRR x 2 + y 2 dxdydz, gdzie P : x 2 + y 2 ¬ 4 , 1 − x ¬ z ¬ 2 − x.
P
Zadanie 37. Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć podane całki: 1. RR ( x + y) dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: 2 x + y = 2, 2 x + y = 3, D
x − y = − 1, x − y = 1;
2. RR xy dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = x 2, D
y = 3 x 2.
Zadanie 38. Dokonując zamiany zmiennych na współrzędne biegunowe r i ϕ obliczyć całki:
√
1.
RR
x 2 + y 2 dx dy;
x 2+ y 2 ¬a 2
2. RR e−( x 2+ y 2) dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą x 2 + y 2 = 2; D
3. RR y dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 1, y = x, D
y = 0, ( x 0, y 0);
4. RR
1
dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x 2 + y 2 = 4, x = 0, y = 1, ( x 2+ y 2)2
D
( x ¬ 0, y 1).
Zadanie 39. Dokonując zamiany zmiennych na współrzędne walcowe ϕ, r i h obliczyć podane całki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami:
1. RRR x 2 dxdydz, gdzie U : z = 9 − x 2 − y 2, z = 0; U
√
2. RRR ( x 2 + y 2) dxdydz, gdzie U : z = 2 x 2 + y 2, z = 8; U
√
√
3. RRR z 2 dxdydz, gdzie U : z =
8 − x 2 − y 2, z =
x 2 + y 2.
U
Zadanie 40. Dokonując zamiany zmiennych na współrzędne sferyczne ϕ, ψ i r obliczyć podane całki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami:
√
1. RRR z 2 x 2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie U : z =
4 − x 2 − y 2, z = 0;
U
√
2. RRR
dxdydz
, gdzie U : z =
1 − x 2 − y 2, z = 1 ;
x 2+ y 2+ z 2
2
U
√
√
3. RRR ( x 2 + y 2) dxdydz, gdzie U : z =
9 − x 2 − y 2, z =
x 2 + y 2.
U