Egzamin z Analizy 2, 21 VI 2013
1. a) Zadanie wstępne
∂ 2 f
1.1 Obliczyć pochodną
( P ) , gdzie: f ( x, y) = x 2 + y 2 + x ln | 1 + xy| . P ( − 1 , 2)
∂x 2
1.2 Obliczyć dywergencję pola wektorowego
−
→
√
F = x 2 sin( x − 1) , xexy 2 − 4 , y z 2 − 3 x 2 w punkcie A = (1 , 2 , 2) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną
√
1
y
Z
Z
30 x 2 y d x d y
0
y
Z
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
− 2 y d x + x d y ; C
C :
x = t 2 + 1 , y = t 4 od t = 1 do t = 2
1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: A :
z 2 ¬ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ¬ 4
1. b) Zadanie wstępne
∂ 2 f
1.1 Obliczyć pochodną
( P ) , gdzie f ( x, y) = xyex 2 −y 2
, P = (1 , 1)
∂x∂y
1.2 Obliczyć rotację pola wektorowego
−
→
F = xy , y 2 + z 2 , x 2 z 2 w punkcie A = ( − 1 , − 2 , − 3) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną
√
1
x
Z
Z
24 xy d y d x
0
x
Z
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
3 y d x − 2 x d y ; C
C :
x = t 2 , y = t 3 + 3 t od t = 2 do t = 1
1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:
√
A :
z x 2 + y 2 , z ¬ 2 x 2 + y 2
2. Pod jakim kątem przecinają się powierzchnie
3
S 1 : yey 3 −z 3 +
− x + 2 = 0 oraz S 2 : xyz + ln( z 2 − y 2 + 1) = 0 w punkcie P (0 , 1 , 1) x − z
3. Znaleźć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji f ( x, y) = −x 2 y − 2 xy 2 + 6 xy 4. Obliczyć masę obszaru ograniczonego krzywymi x = y 2 , x + y = 2 jeżeli jego gęstość ρ( x, y) = 6 x
1
5. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-wierzchniami x 2 + y 2 = 9 , x 2 + y 2 = z 2 .
−
→
6. Obliczyć strumień pola wektorowego F = 2 x , x + y , x + 3 z przez zorientowany na zewnątrz powierzchnię zamkniętą, będącą brzegiem bryły
√
A : z x 2 + y 2
;
z ¬ 1
2