Specyfika szeregów czasowych

Modele szeregów czasowych są alternatywą dla modeli o równaniach współzależnych; służą do opisu dynamiki kształtowania się zmiennych ekonomicznych. Dynamika ta w praktyce

mod

o el

e ow

o an

a ia

a ek

e o

k n

o om

o

et

e ry

r c

y z

c n

z eg

e o

o prz

r e

z j

e aw

a ia

a s

i

s ę

ę

pop

o rz

r e

z z

e :

z

konieczność rozważenia opóźnień w

badanych szeregach czasowych,

możliwość wystąpienia tzw. regresji

pozornej,

konieczność sprawdzenia własności

prognostycznych budowanych modeli.

Ekonometria stosowana

1

Dekompozycja szeregu czasowego

W szeregu czasowym można na ogół wyróżnić następujące składowe:

przeciętny poziom (M)

dłu

ł goo

o kr

k e

r s

e ow

o y

y tre

r n

e d (T)

T

wahania sezonowe (S)

wahania cykliczne (C)

zmiany nieregularne (I)

y = M + T + S + C + I

t

Ekonometria stosowana

2

Modele dynamiczne

modele trendu

model z rozkładem opóźnień DL(k):

y = α + β x + β x

+ ... + β x

+ ε

t

0

t

1

t-1

k

t-k

t

mod

o el

e a

u

a tor

o e

r g

e re

r s

e j

s i AR(

R p

( ):

y = α + α y

+... + α y

+ ε

t

0

1

t-1

p

t-p

t

autoregresyjny model z rozkładem opóźnień ADL(p, k):

y = α + α y

+ α y

+ ... + α y

+

t

0

1

t-1

2

t-2

m

t-m

β x + β x

+ β x

+ ... + β x

+ ε

0

t

1

t-1

2

t-2

k

t-k

t

Ekonometria stosowana

3

Przyczyny występowania opóźnień

psychologiczne: oczekiwania podmiotów

gospodarczych, przyzwyczajenia

konsumentów, inercja instytucji

państwowych

tec

e h

c n

h o

n logi

g cz

c n

z e

n :

e

: k

o

k sz

s t

z y

y d

o

d st

s oso

s wań

a

ń w

przedsiębiorstwach

instytucjonalno-prawne: zobowiązania,

kontrakty, lokaty terminowe

Ekonometria stosowana

4

Przykładowe modele

na bazie ADL(2,2)

α = α = β = β = 0

regresja statyczna

1

2

1

2

β = β = β = 0

AR(2)

0

1

2

α = β = 0

równanie z wiodącym

1

β = 0

równanie z wiodący

1

0

wskaźnikiem

α = 1, α = 0,

równanie względem

1

2

β = –β

pierwszych przyrostów

0

1

β = 0

model „martwego startu”

0

β = –α

model proporcjonalnych

1

1

reakcji

Ekonometria stosowana

5

Przykład: model z nieskończonym

rozkładem opóźnień

W = f( R , R

R

, …)

t

t

t-1,

t-2

W – wydajność pracy w przemyśle (produkcja t sprzedana na 1 zatrudnionego)

R – nakłady na działalność badawczą i rozwojową t (tys

y .

s z

ł

z )

ł

Estymacji podlega model Koycka postaci:

)

t

W = 1

,

0 34 + 0

,

0 17 Rt + 5

,

0 85 t

W 1

−

Z niego można „odtworzyć” model wyjściowy:

)

t

W = 3

,

0 23 + 0

,

0 17 t

R + 0

,

0 10 t

R − + 0

,

0 06 Rt − + ...

1

2

Mnożnik krótko- i długookresowy są równe, odpowiednio, 0,017 i 0,041.

Ekonometria stosowana

6

Przyczynowość w sensie Grangera

Zmienna x jest przyczyną (w sensie Grangera) dla y, jeśli x pomaga w prognozowaniu y.

Id

I e

d a

e

a p

r

p zy

z c

y z

c y

z n

y o

n wośc

ś i

c w

s

e

s n

e s

n i

s e

e G

r

G an

a g

n e

g r

e a

a ni

n e

e

jest identyczna z potocznym znaczeniem

tego terminu. Nie oznacza, że y jest skutkiem czy efektem działania x!

Termin „przyczynowość w sensie Grangera”

należy rozumieć jako „poprzedzanie”.

Ekonometria stosowana

7

Przyczynowość w sensie Grangera

Zmienna x nie jest przyczyną zmiennej y t

t

w sensie Grangera, jeśli w równaniu

regresji y względem opóźnionych wartości t

y oraz x, współczynniki przy zmiennych x są

s

ą r

ówne

n

e z

e

z r

e o:

k

k

y = α

α

β

0 + ∑

− + ∑

− +

t

i y t i

i xt i

ut

i =1

i =1

Jeśli zatem β = 0 ( i = 1, 2, …, k), to x nie i

t

jest przyczyną y .

t

Ekonometria stosowana

8

Definicje stacjonarności

proces stochastyczny { X } jest ściśle t

stacjonarny, jeśli dla każdego podzbioru

indeksów ( r, s, ..., t ∈ T) i dla każdej liczby całkowitej k, łączny rozkład zmiennych los

o o

s w

o yc

y h

c { x

{ , x , ..., x

} jes

e t

s tak

a i

k sa

s m

a

, jak

a

k

r

s

t

łą

ł c

ą z

c n

z y

y ro

r z

o k

z ła

ł d

a zm

z

ien

e nyc

y h

c { x

{

, x

, ..., x

}

r+k

s+k

t+k

proces stochastyczny jest słabo stacjonarny, jeśli jego wartość oczekiwana i wariancja są skończone i stałe, a wartość kowariancji

między obserwacjami z dwóch okresów zależy jedynie od odległości (odstępu) między tymi obserwacjami

Ekonometria stosowana

9

Skutki niestacjonarności

Konsekwencją niestacjonarności jest

regresja pozorna:

zawyżenie współczynnika determinacji:

zb

z y

b t

y o

pt

p ym

y

i

m st

s yc

y z

c n

z e

n

e m

i

m ar

a y

y j

ak

a o

k śc

ś i

c

dopasowania,

zawyżenie wartości statystyk t-Studenta i obciążenie innych statystyk

wyznaczanych na podstawie odchyleń

standardowych oszacowań parametrów.

Ekonometria stosowana

10

Testowanie niestacjonarności

większość ekonomicznych szeregów czasowych jest niestacjonarna

formalnym sposobem testowania hipotezy o nies

e t

s ac

a j

c on

o ar

a n

r oś

o c

ś i

c sz

s e

z r

e e

r g

e u cz

c a

z s

a o

s w

o eg

e o

o jes

e t

s tes

e t

s

pierwiastka jednostkowego

najczęściej stosowanym testem tego typu jest test DF (Dickeya – Fullera)

inne testy stopnia integracji to test Phillipsa

– Perrona i KPSS (Kwiatkowskiego –

Phillipsa – Schmidta – Shina)

Ekonometria stosowana

11

Test DF

Model testowy:

∆ y = α + δ y

+ ε

t

t-1

t

(większość pakietów ekonometrycznych daje wybór oszacowania modelu testowego z

wyr

y a

r z

a e

z m

e

w

ol

o nym

y

lub bez

e

z or

o a

r z

a

z z

z tre

r n

e dem

e

lub

bez

e )

z

H : δ = 0

szereg niestacjonarny (z

0

pierwiastkiem jednostkowym)

H : δ < 0

szereg stacjonarny

1

Ekonometria stosowana

12

Test DF: statystyka testowa

Statystyka testu pierwiastka jednostkowego obliczana jest jako iloraz wartości parametru i jego błędu standardowego:

δ

DF = Sδ

S

Do rozstrzygnięcia testu stosuje się tablice wartości krytycznych, najczęściej w wersji ADF

(ang. augmented Dickey-Fuller),

uwzględniającej autokorelację składnika

losowego w modelu testowym.

Ekonometria stosowana

13

Test DF: stopień integracji

jeżeli obliczymy przyrosty niestacjonarnego szeregu czasowego y i otrzymamy stacjonarny t

szereg ∆ y , gdzie ∆ y = y – y , to wyjściowy t

t

t

t-1

szereg czasowy y jest zintegrowany w stopniu t

1

1 (

ma

a j

ed

e en

e p

ier

e w

r ias

a t

s ek

e

k jed

e nos

o t

s ko

k w

o y)

y

ogólnie, jeśli w celu otrzymania szeregu stacjonarnego trzeba obliczyć przyrosty

szeregu y d razy, jest on zintegrowany w t

stopniu d: y ~ I( d) Ekonometria stosowana

14

Integracja sezonowa

jeśli analizowany szereg czasowy podlega wahaniom sezonowym, obliczanie różnic

dotyczy obserwacji oddalonych o s

okresów, gdzie s jest długością cyklu ( s = 4

dl

d a

a d

a

d n

a y

n c

y h

c

h kw

k ar

a tal

a ny

n c

y h

c ,

h s

= 1

2 d

l

d a

a d

a

d n

a y

n c

y h

c

h

miesięcznych itd.)

model testowy przyjmuje wtedy postać:

∆ y = α + δ y + ε

t

t-s

t

oba rodzaje integracji – niesezonowa i

sezonowa – mogą występować jednocześnie

Ekonometria stosowana

15

Kointegracja: definicja

kointegracja szeregów czasowych występuje wtedy, gdy dwa lub więcej szeregi są

niestacjonarne i zintegrowane w tym samym stopniu (najczęściej 1), ale ich liniowa

ko

k m

o

binac

a j

c a

a jes

e t

s st

s ac

a j

c on

o ar

a n

r a

równanie wiążące dwa szeregi czasowe

nazywane jest regresją lub relacją

kointegrującą, a parametr równania –

parametrem kointegrującym

w przypadku rozszerzenia modelu regresji na k skointegrowanych zmiennych objaśniających, powstanie k-elementowy wektor kointegrujący Ekonometria stosowana

16

Kointegracja:

równowaga długookresowa

występowanie relacji kointegrującej między dwoma (lub więcej) szeregami czasowymi

sugeruje obecność długookresowej relacji

równowagi między tymi szeregami, czyli stanu, w którym nie występują tendencje do jego

zm

z

ian

a y

w długim okresie można rozważać istnienie równowagi długookresowej, w której pewne

grupy zmiennych wykazują podobne

tendencje:

płace i ceny

konsumpcja i oszczędności

deficyt budżetowy i inflacja

ceny akcji i dywidendy

Ekonometria stosowana

17

Testy kointegracji

test niestacjonarności reszt „potencjalnej”

regresji kointegrującej

Y = β + β ⋅X + ε

t

0

1

t

t

statystyka CRDW (ang. Cointegrating Regression Durbin – Watson): hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym w

resztach jest odrzucana, jeśli CRDW jest

większa niż wartość krytyczna, wynosząca

ok. 0,5

Ekonometria stosowana

18

Kointegracja:

równowaga długookresowa

Jeśli Y i X są procesami I(1), a

ε = Y – β – β ⋅X

t

t

0

1

t

jest procesem I(0), to zmienne X i Y są

skointegrowane („na tej samej długości fali”), cz

c y

z l

y i:

standardowa interpretacja modelu pozostaje aktualna,

znika problem regresji pozornej,

wynik ten interpretuje się jako

występowanie długookresowej równowagi

między zmiennymi X i Y.

Ekonometria stosowana

19

Co dalej po oszacowaniu relacji

kointegrującej?

jeśli nie ma podstaw do odrzucenia

hipotezy zerowej o niestacjonarności reszt, to nie udało nam się ustalić relacji

długookresowej równowagi; konieczne jest

szacowanie modeli na przyrostach

zm

z

i

m en

e n

n y

n c

y h

c

jeśli są podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej, to znaleźliśmy stacjonarną

kombinację niestacjonarnych zmiennych;

zmienne nazywamy skointegrowanymi, a

odpowiednią strategią modelowania jest

model korekty błędem

Ekonometria stosowana

20

Strategie modelowania zmiennych

niestacjonarnych

dwustopniowa metoda Engle’a – Grangera

trzystopniowa metoda Engle’a - Yoo

metoda Johansena

Ekonometria stosowana

21

Metoda Engle’a – Grangera

Zaleta: prostota zastosowania

Wady:

1. niska moc testów pierwiastka

jednostkowego w małych próbach,

2. obc

b i

c ąż

ą e

ż n

e i

n e

e w

yn

y i

n ka

k j

a ąc

ą e

c

e z

z a

s

a y

s m

y

e

m t

e ryc

y z

c n

z e

n g

e o

g

traktowania zmiennych (objaśniana /

objaśniające), nawet wobec braku podstaw

teoretycznych dla takiej decyzji,

3. brak możliwości weryfikacji hipotez na temat relacji kointegrującej.

Ekonometria stosowana

22

Metoda Johansena

stosowana dla układów równań VAR

pozwala uniknąć problemów nr 2 i 3

związanych z metodą Engle’a – Grangera

po

p zw

z al

a a

a w

yz

y n

z a

n c

a z

c y

z ć

y

ć w

ięc

ę e

c j

e n

i

n ż

ż j

ed

e e

d n

e

n wek

e t

k or

kointegrujący: jeśli bowiem relacja

kointegrująca obejmuje k zmiennych, liniowych relacji kointegrujących może być r, gdzie r ≤ k – 1

Ekonometria stosowana

23

ECM w modelowaniu nierównowagi

Najprostszy model ECM stosowany w modelowaniu nierównowagi ma postać

∆ Y = α + α ⋅∆ X + α ⋅( Y

– β – β ⋅ X ) + ξ ,

t

0

1

t

2

t-1

0

1

t-1

t

czyli

∆ Y = α + α ⋅∆ X + α ⋅e

+ ξ .

t

α +

0

α1⋅∆ X +

t

α2⋅e +

t-1

ξ

t

0

1

t

2

t-1

t

Bieżący przyrost Y objaśniany jest za pomocą przyrostu X (czyli krótkookresowych wahań X) oraz składnika korekty błędem (błędu równowagi w poprzednim okresie), odzwierciedlanego

dostosowania do długookresowej równowagi.

Tempo tego dostosowania jest wyznaczane przez parametr α , nazywany parametrem dostosowania.

2

Ekonometria stosowana

24

Twierdzenie Grangera

Każdy skointegrowany zestaw zmiennych

można przedstawić w postaci modelu

korekty błędem.

I odwrotnie: jeśli szeregi czasowe są

zintegrowane w tym samym stopniu i mogą

być przedstawione w postaci modelu ECM,

to są skointegrowane.

Ekonometria stosowana

25

ECM: estymacja

Estymatory MNK modelu ECM są zgodne.

Należy jednak stosować metodę zmiennych ins

n t

s rum

u

e

m n

e t

n al

a ny

n c

y h

c

h (

np

n .

p trak

a t

k uj

u ąc

ą

c z

m

z

i

m en

e n

n ą

n

ą

x

jako instrument dla y

), ponieważ

t-2

t-1

składnik losowy modelu ECM jest

skorelowany z y

.

t-1

Ekonometria stosowana

26