Slajdy sz czasowe id 457273

Specyfika szeregów czasowych

Modele szeregów czasowych są alternatywą dla modeli o równaniach współzaleŜnych; słuŜą do opisu dynamiki kształtowania się zmiennych ekonomicznych. Dynamika ta w praktyce

mod

o el

e ow

o an

a ia

a ek

e o

k n

o om

e ry

r c

y z

c n

z eg

e o

o prz

r e

z j

e aw

a ia

a s

s ę

pop

o rz

r e

z z

e :

konieczność rozwaŜenia opóźnień w

badanych szeregach czasowych,

moŜliwość wystąpienia tzw. regresji

pozornej,

konieczność sprawdzenia własności

prognostycznych budowanych modeli.

Ekonometria stosowana

Dekompozycja szeregu czasowego

W szeregu czasowym moŜna na ogół wyróŜnić następujące składowe:

przeciętny poziom (M)

dłu

ł goo

o kr

k e

r s

e ow

o y

y tre

r n

e d (T)

wahania sezonowe (S)

wahania cykliczne (C)

zmiany nieregularne (I)

y = M + T + S + C + I

Ekonometria stosowana

Modele dynamiczne

modele trendu

model z rozkładem opóźnień DL(k):

y = α + β x + β x

+ ... + β x

+ ε

t-1

t-k

mod

o el

e a

a tor

o e

r g

e re

r s

e j

s i AR(

R p

( ):

y = α + α y

+... + α y

+ ε

t-1

t-p

autoregresyjny model z rozkładem opóźnień ADL(p, k):

y = α + α y

+ α y

+ ... + α y

t-1

t-2

t-m

β x + β x

+ β x

+ ... + β x

+ ε

t-1

t-2

t-k

Ekonometria stosowana

Przyczyny występowania opóźnień

psychologiczne: oczekiwania podmiotów

gospodarczych, przyzwyczajenia

konsumentów, inercja instytucji

państwowych

tec

e h

c n

h o

n logi

g cz

c n

z e

n :

: k

k sz

s t

z y

y d

d st

s oso

s wań

ń w

przedsiębiorstwach

instytucjonalno-prawne: zobowiązania,

kontrakty, lokaty terminowe

Ekonometria stosowana

Przykładowe modele

na bazie ADL(2,2)

α = α = β = β = 0

regresja statyczna

β = β = β = 0

AR(2)

α = β = 0

równanie z wiodącym

β = 0

równanie z wiodący

wskaźnikiem

α = 1, α = 0,

równanie względem

β = –β

pierwszych przyrostów

β = 0

model „martwego startu”

β = –α

model proporcjonalnych

reakcji

Ekonometria stosowana

Przykład: model z nieskończonym

rozkładem opóźnień

W = f( R , R

, …)

t-1,

t-2

W – wydajność pracy w przemyśle (produkcja t sprzedana na 1 zatrudnionego)

R – nakłady na działalność badawczą i rozwojową t (tys

y .

s z

z )

Estymacji podlega model Koycka postaci:

)

W = 1

0 34 + 0

0 17 Rt + 5

0 85 t

W 1

−

Z niego moŜna „odtworzyć” model wyjściowy:

)

W = 3

0 23 + 0

0 17 t

R + 0

0 10 t

R − + 0

0 06 Rt − + ...

MnoŜnik krótko- i długookresowy są równe, odpowiednio, 0,017 i 0,041.

Ekonometria stosowana

Przyczynowość w sensie Grangera

Zmienna x jest przyczyną (w sensie Grangera) dla y, jeśli x pomaga w prognozowaniu y.

I e

d a

a p

p zy

z c

y z

c y

z n

y o

n wośc

ś i

c w

s n

e s

n i

s e

e G

G an

a g

n e

g r

e a

a ni

n e

jest identyczna z potocznym znaczeniem

tego terminu. Nie oznacza, Ŝe y jest skutkiem czy efektem działania x!

Termin „przyczynowość w sensie Grangera”

naleŜy rozumieć jako „poprzedzanie”.

Ekonometria stosowana

Przyczynowość w sensie Grangera

Zmienna x nie jest przyczyną zmiennej y t

w sensie Grangera, jeśli w równaniu

regresji y względem opóźnionych wartości t

y oraz x, współczynniki przy zmiennych x są

ą r

ówne

e z

z r

e o:

y = α

0 + ∑

− + ∑

− +

i y t i

i xt i

i =1

Jeśli zatem β = 0 ( i = 1, 2, …, k), to x nie i

jest przyczyną y .

Ekonometria stosowana

Definicje stacjonarności

proces stochastyczny { X } jest ściśle t

stacjonarny, jeśli dla kaŜdego podzbioru

indeksów ( r, s, ..., t ∈ T) i dla kaŜdej liczby całkowitej k, łączny rozkład zmiennych los

o o

s w

o yc

y h

c { x

{ , x , ..., x

} jes

e t

s tak

a i

k sa

s m

, jak

łą

ł c

ą z

c n

z y

y ro

r z

o k

z ła

ł d

a zm

ien

e nyc

y h

c { x

{

, x

, ..., x

}

r+k

s+k

t+k

proces stochastyczny jest słabo stacjonarny, jeśli jego wartość oczekiwana i wariancja są skończone i stałe, a wartość kowariancji

między obserwacjami z dwóch okresów zaleŜy jedynie od odległości (odstępu) między tymi obserwacjami

Ekonometria stosowana

Skutki niestacjonarności

Konsekwencją niestacjonarności jest

regresja pozorna:

zawyŜenie współczynnika determinacji:

z y

b t

y o

p ym

m st

s yc

y z

c n

z e

e m

m ar

a y

y j

a o

k śc

ś i

dopasowania,

zawyŜenie wartości statystyk t-Studenta i obciąŜenie innych statystyk

wyznaczanych na podstawie odchyleń

standardowych oszacowań parametrów.

Ekonometria stosowana

Testowanie niestacjonarności

większość ekonomicznych szeregów czasowych jest niestacjonarna

formalnym sposobem testowania hipotezy o nies

e t

s ac

a j

c on

o ar

a n

r oś

o c

ś i

c sz

s e

z r

e e

r g

e u cz

c a

z s

a o

s w

o eg

e o

o jes

e t

s tes

e t

pierwiastka jednostkowego

najczęściej stosowanym testem tego typu jest test DF (Dickeya – Fullera)

inne testy stopnia integracji to test Phillipsa

– Perrona i KPSS (Kwiatkowskiego –

Phillipsa – Schmidta – Shina)

Ekonometria stosowana

Test DF

Model testowy:

∆ y = α + δ y

+ ε

t-1

(większość pakietów ekonometrycznych daje wybór oszacowania modelu testowego z

wyr

y a

r z

a e

z m

o nym

lub bez

z or

o a

r z

z z

z tre

r n

e dem

lub

bez

e )

H : δ = 0

szereg niestacjonarny (z

pierwiastkiem jednostkowym)

H : δ < 0

szereg stacjonarny

Ekonometria stosowana

Test DF: statystyka testowa

Statystyka testu pierwiastka jednostkowego obliczana jest jako iloraz wartości parametru i jego błędu standardowego:

DF = Sδ

Do rozstrzygnięcia testu stosuje się tablice wartości krytycznych, najczęściej w wersji ADF

(ang. augmented Dickey-Fuller),

uwzględniającej autokorelację składnika

losowego w modelu testowym.

Ekonometria stosowana

Test DF: stopień integracji

jeŜeli obliczymy przyrosty niestacjonarnego szeregu czasowego y i otrzymamy stacjonarny t

szereg ∆ y , gdzie ∆ y = y – y , to wyjściowy t

t-1

szereg czasowy y jest zintegrowany w stopniu t

1 (

a j

e en

e p

ier

e w

r ias

a t

s ek

k jed

e nos

o t

s ko

k w

o y)

ogólnie, jeśli w celu otrzymania szeregu stacjonarnego trzeba obliczyć przyrosty

szeregu y d razy, jest on zintegrowany w t

stopniu d: y ~ I( d) Ekonometria stosowana

Integracja sezonowa

jeśli analizowany szereg czasowy podlega wahaniom sezonowym, obliczanie róŜnic

dotyczy obserwacji oddalonych o s

okresów, gdzie s jest długością cyklu ( s = 4

d a

a d

d n

a y

n c

y h

h kw

k ar

a tal

a ny

n c

y h

c ,

h s

= 1

2 d

d a

a d

d n

a y

n c

y h

miesięcznych itd.)

model testowy przyjmuje wtedy postać:

∆ y = α + δ y + ε

t-s

oba rodzaje integracji – niesezonowa i

sezonowa – mogą występować jednocześnie

Ekonometria stosowana

Kointegracja: definicja

kointegracja szeregów czasowych występuje wtedy, gdy dwa lub więcej szeregi są

niestacjonarne i zintegrowane w tym samym stopniu (najczęściej 1), ale ich liniowa

k m

binac

a j

c a

a jes

e t

s st

s ac

a j

c on

o ar

a n

r a

równanie wiąŜące dwa szeregi czasowe

nazywane jest regresją lub relacją

kointegrującą, a parametr równania –

parametrem kointegrującym

w przypadku rozszerzenia modelu regresji na k skointegrowanych zmiennych objaśniających, powstanie k-elementowy wektor kointegrujący Ekonometria stosowana

Kointegracja:

równowaga długookresowa

występowanie relacji kointegrującej między dwoma (lub więcej) szeregami czasowymi

sugeruje obecność długookresowej relacji

równowagi między tymi szeregami, czyli stanu, w którym nie występują tendencje do jego

ian

a y

w długim okresie moŜna rozwaŜać istnienie równowagi długookresowej, w której pewne

grupy zmiennych wykazują podobne

tendencje:

płace i ceny

konsumpcja i oszczędności

deficyt budŜetowy i inflacja

ceny akcji i dywidendy

Ekonometria stosowana

Testy kointegracji

test niestacjonarności reszt „potencjalnej”

regresji kointegrującej

Y = β + β ⋅X + ε

statystyka CRDW (ang. Cointegrating Regression Durbin – Watson): hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym w

resztach jest odrzucana, jeśli CRDW jest

większa niŜ wartość krytyczna, wynosząca

ok. 0,5

Ekonometria stosowana

Kointegracja:

równowaga długookresowa

Jeśli Y i X są procesami I(1), a

ε = Y – β – β ⋅X

jest procesem I(0), to zmienne X i Y są

skointegrowane („na tej samej długości fali”), cz

c y

z l

y i:

standardowa interpretacja modelu pozostaje aktualna,

znika problem regresji pozornej,

wynik ten interpretuje się jako

występowanie długookresowej równowagi

między zmiennymi X i Y.

Ekonometria stosowana

Co dalej po oszacowaniu relacji

kointegrującej?

jeśli nie ma podstaw do odrzucenia

hipotezy zerowej o niestacjonarności reszt, to nie udało nam się ustalić relacji

długookresowej równowagi; konieczne jest

szacowanie modeli na przyrostach

m en

e n

n y

n c

y h

jeśli są podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej, to znaleźliśmy stacjonarną

kombinację niestacjonarnych zmiennych;

zmienne nazywamy skointegrowanymi, a

odpowiednią strategią modelowania jest

model korekty błędem

Ekonometria stosowana

Strategie modelowania zmiennych

niestacjonarnych

dwustopniowa metoda Engle’a – Grangera

trzystopniowa metoda Engle’a - Yoo

metoda Johansena

Ekonometria stosowana

Metoda Engle’a – Grangera

Zaleta: prostota zastosowania

Wady:

1. niska moc testów pierwiastka

jednostkowego w małych próbach,

2. obc

b i

c ąŜ

ą e

Ŝ n

e i

n e

e w

y i

n ka

k j

a ąc

ą e

e z

z a

a y

s m

m t

e ryc

y z

c n

z e

n g

e o

traktowania zmiennych (objaśniana /

objaśniające), nawet wobec braku podstaw

teoretycznych dla takiej decyzji,

3. brak moŜliwości weryfikacji hipotez na temat relacji kointegrującej.

Ekonometria stosowana

Metoda Johansena

stosowana dla układów równań VAR

pozwala uniknąć problemów nr 2 i 3

związanych z metodą Engle’a – Grangera

p zw

z al

a a

a w

y n

z a

n c

a z

c y

z ć

ć w

ięc

ę e

c j

e n

n Ŝ

Ŝ j

e e

d n

n wek

e t

k or

kointegrujący: jeśli bowiem relacja

kointegrująca obejmuje k zmiennych, liniowych relacji kointegrujących moŜe być r, gdzie r ≤ k – 1

Ekonometria stosowana

ECM w modelowaniu nierównowagi

Najprostszy model ECM stosowany w modelowaniu nierównowagi ma postać

∆ Y = α + α ⋅∆ X + α ⋅( Y

– β – β ⋅ X ) + ξ ,

t-1

czyli

∆ Y = α + α ⋅∆ X + α ⋅e

+ ξ .

α +

α1⋅∆ X +

α2⋅e +

t-1

BieŜący przyrost Y objaśniany jest za pomocą przyrostu X (czyli krótkookresowych wahań X) oraz składnika korekty błędem (błędu równowagi w poprzednim okresie), odzwierciedlanego

dostosowania do długookresowej równowagi.

Tempo tego dostosowania jest wyznaczane przez parametr α , nazywany parametrem dostosowania.

Ekonometria stosowana