Analiza stanu naprężenia i odkształcenia.
CZĘŚĆ I
1. Tensor naprężenia:
70
48
− 30
σ = 48 30
40 [ MPa]
− 30 40 −105
2. Elementarny sześcian: 3. Niezmienniki:
I = σ + σ + σ = 5
− MPa
1
11
22
33
[
]
σ
σ
σ
σ
σ
σ
11
12
11
13
22
23
I = det
+ det
+ det
= −13204 MPa
2
[ 2]
σ
σ
σ
σ
σ
σ
21
22
31
33
32
33
σ
σ
σ
11
12
13
I = det σ
σ
σ = −232780 MPa
3
21
22
23
[ 3]
σ
σ
σ
31
32
33
4. Obliczyć składowe wektora naprężenia działającego na płaszczyźnie o normalnej:
1 1 2
n = ; ;
2 2 2
70
48
− 30
σ = 48 30
40
ij
[ MPa]
− 30 40 −105
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 1
Adam
Łodygowski
σ
i =
n
ji
j → ( i = , 1
)
3
,
2
2
2
2
n + n + n = 1
1
2
3
Obliczenia składowych
i = 1
f
σ
σ
σ
σ
i =
n
ji
j =
n +
n +
n =
7867
,
37
11 1
21 2
31 3
i = 2
f
σ
σ
σ
σ
i =
n
ji
j =
n +
n +
n =
,
67 2842
12 1
22 2
32 3
i = 3
f
σ
σ
σ
σ
i =
n
ji
j =
n +
n +
n = −
3172
,
76
13 1
23 2
33 3
5. Składowa normalna i styczna: σ = f ( n) n = f n + f n + f n = − ,1
1 1
2 2
3 3
[
4289 MPa]
τ = f ( n) 2
−σ =
[
5419
,
108
MPa]
6. Wyznaczenie σ za pomocą prawa transformacji:
'
1 2'
70
48
− 30
σ = 48 30
40
ij
[ MPa]
− 30 40 −105
15
,
0
− ,
0 2
9682
,
0
α =
9
,
0
,
0 433
− 05
,
0
k i'
[ MPa]
− ,
0 4093
8789
,
0
,
0 245
15
,
0
9
,
0
− ,
0 4093
α = − ,
0 2
,
0 433
8789
,
0
ki'
[ MPa]
9682
,
0
− 05
,
0
,
0 245
Korzystam ze wzoru:
σ
= α σ α
k ' p'
k i'
ij
jp'
σ = α σ α =
'
1 2'
i'
1
ij
j 2'
= α σ α +α σ α +α σ α =
1
'
1
1 j
j 2'
'
1 2
2 j
j 2'
'
1 3
3 j
j 2'
= α σ α +α σ α +α σ α +
1
'
1
11 12'
'
1 2
21 12'
'
1 3
31 12'
+α σ α +α σ α +α σ α +
1
'
1
12
22'
'
1 2
22
22'
'
1 3
32
22'
+α σ α +α σ α +α σ α =
1
'
1
13
32'
'
1 2
23
32'
'
1 3
33
32'
= 15
,
0
⋅ 70 ⋅ 9
,
0 + (− ,
0 )
2 ⋅ 48 ⋅ 9
,
0 + 9682
,
0
⋅ (− )
30 ⋅ 9
,
0 +
+ 15
,
0
⋅ 48⋅ ,
0 433 + (− ,
0 )
2 ⋅ 30 ⋅ ,
0 433 + 9682
,
0
⋅ 40 ⋅ ,
0 433 +
+ 15
,
0
⋅ (− )
30 ⋅ (−
)
05
,
0
+ (− ,
0 )
2 ⋅ 40 ⋅ (−
)
05
,
0
+ 9682
,
0
⋅ (−
)
105 ⋅ (−
)
05
,
0
=
= −
[
3345
,
2
MPa]
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 2
Adam
Łodygowski
7. Naprężenia i kierunki główne: I = − MPa
1
[5
]
I = −
[
13204
2
MPa
2
]
I = −
[
232780
3
MPa
3
]
3
2
σ − I σ + I σ − I = 0
1
2
3
Z równania charakterystycznego otrzymujemy: σ =
0418
,
102
I
[ MPa]
σ = ,
18 2126
II
[ MPa]
σ = −
,
125 2544
III
[ MPa]
• Naprężenia główne przedstawia macierz diagonalna:
,
102 0418
0
0
σ =
0
,
18 2126
0
[ MPa]
0
0
−
,
125 2544
• Obliczenie kierunków, czyli cosinusów kierunkowych: σ
σ
σ
σ
n
11 −
12
13
1
σ
σ
σ
σ
n
21
22 −
23
⋅ 2 = 0
σ
σ
σ
σ n
31
32
33 −
3
(σ
σ n σ
n
σ n
11 −
) ⋅ 1 + 12 ⋅ 2 + 13 ⋅ 3 = 0
σ n σ σ n σ n 21 ⋅ 1 + (
22 −
) ⋅ 2 + 23 ⋅ 3 = 0
σ n σ n σ σ n 31 ⋅ 1 +
32 ⋅
2 + (
33 −
) ⋅ 3 = 0
2
n
n
n
1
+ 2
3
+ 2
3
= 1
Po obliczeniach wyniki przedstawiam w tabelce: σ [ MPa]
n1
n2
n3
I 102,0418
0,8359
0,5485
-0,01516
II 18,2126
0,5038
-0,778
-0,3751
III -125,2544
0,2217 -0,3279 0,9182
• Sprawdzenie ortogonalności: I
II
n o n = 02
,
0
≈ 0
I
III
n o n = − 008
,
0
≈ 0
II
II
n o n = 02
,
0
≈ 0
8. Naprężenia ekstremalne: σ −σ
I
III
τ
=
=
max
[
6481
,
113
MPa]
2
σ +σ
I
III
σ τ
=
= −
(
)
max
[
6063
,
11
MPa]
2
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 3
Adam
Łodygowski
9. Kostka naprężeń obrócona do kierunku osi głównych: 10. Sprawdzenie niezmienników i koło Mohra: 0418
,
102
0
0
σ =
0
,
18 2126
0
[ MPa]
0
0
−
,
125 2544
I = 5
− MPa
1
[
]
I = −
9462
,
13203
≈ −
[ 2
13204 MPa
2
]
I = −
5996
,
232778
≈ −
[ 3
232780 MPa
3
]
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 4
Adam
Łodygowski
11. Rozkład na aksjator i dewiator: 70
48
− 30
σ =
I
48
30
40 [ MPa]
5
⇒ σ = I
ij
= −
0
3
3
− 30 40 −105
σ
0
0
σ −σ
σ
σ
0
11
0
12
13
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ij =
0
0 +
−
0
21
22
0
23
0
0
σ
σ
σ
σ −σ
0
31
32
33
0
0418
,
102
0
0
− (
6
,
1
)
6
0
0
7085
,
103
0
0
σ ij =
0
,
18 2126
0
=
0
− (
6
,
1
)
6
0
+
0
7085
,
19
0
0
0
−
,
125 2544
0
0
− (
6
,
1
)
6
0
0
−
5878
,
123
σ
σ
σ
ij = [
( d )
ij
]+[ ( a)
ij
]
[ ( d)
σ ij ]
7085
,
103
0
0
0
0
0
=
0
−
7085
,
103
0 + 0
5878
,
123
0
0
0
0
0
0
−
5878
,
123
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 5
Adam
Łodygowski
12. Naprężenia zredukowanie (HMH i Treski): 1
2
2
2
σ
=
σ −σ
+ σ −σ
+ σ −σ
+ 6
2
2
2
⋅ σ
+ σ
+ σ
=
0904
,
199
red
( 11
22 )
( 22
33 )
( 33 11)
( 12 23 31 )
[ MPa]
2
σ
= σ −σ
=
,
227 2962
red
I
IIII
[ MPa]
CZĘŚĆ II
1. Obliczenie odkształceń liniowych: ε +
−
11
ε22 ε11 ε
ε
22
R =
+
⋅cos α
2 + ε ⋅sin
12
α
2
1
2
2
3
ε R = ,
0 4 ⋅10−
α = 0
ε +
−
1
1
11
ε22 ε11 ε
ε
22
−3
ε
α = 80
R
= 0 ⋅10
R =
+
⋅cos α
2 + ε ⋅sin
12
α
2
2
2
2
2
2
ε +
−
−3
ε
α = 130
R = − ,
0 2 ⋅10
3
11
ε22 ε11 ε
ε
22
3
R =
+
⋅cos α
2 + ε ⋅sin
12
α
2
3
2
2
• po obliczeniach:
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 6
Adam
Łodygowski
0 4 ⋅ −3
10
11
= ε x
ε = 3003
,
0
⋅ −3
10
12
ε = − 1183
,
0
⋅ −3
10
22
= ε y
E
1
σ =
ε +
ε + ε + ε
⇒ σ = 0
33
33
( 11 22 33)
33
1+ν
1− 2ν
−3
ε = − ,
0 2012 ⋅10
33
2. Tensor odkształcenia:
,
0 4
3003
,
0
0
−3
ε = 3003
,
0
− 1183
,
0
0
⋅10
0
0
− ,
0 2012
3. Niezmienniki stanu odkształcenia: 3
I I = 0805
,
0
⋅10−
−6
I
II = − 193
,
0
⋅10
12
I III =
665
,
27
⋅10−
4. Wyznaczenie tensora naprężeń i niezmienników:
σ
ν
11
ε =
−
σ +σ
11
( 22
33 )
E
E
σ
ν
22
ε =
−
σ +σ
11
( 11
33 )
E
E
σ12
ε =
12
2 G
σ = 112
,
80
MPa
11
[
]
σ = 3736
,
0
MPa
22
[
]
σ =
1
,
23 MPa
12
[
]
112
,
80
1
,
23
0
σ =
1
,
23
3736
,
0
0 [ MPa]
0
0
0
I =
,
80
I
[
4856 MPa]
I = −
II
[ 2
68
,
503
MPa ]
I
=
III
[ 3
0 MPa ]
5. Obliczenie naprężeń głównych według hipotez HMH i Treski: 2
2
2
σ
= σ + σ
+ σ
− σ σ − σ σ − σ σ =
3149
,
149
red
I
II
III
I
II
II
III
III
I
[ MPa]
σ
= σ − σ =
034
,
166
red
I
III
[ MPa]
2
σ σ
σ
σ
σ
I
+
−
11
22
11
22
2
±
+ σ
σ
2
2
12
II
σ =
,
123 2598
I
[ MPa]
σ = − 7742
,
42
II
[ MPa]
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 7
Adam
Łodygowski