Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
1
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia.
CZĘŚĆ I
1. Tensor naprężenia:
[
]
MPa
105
40
30
40
30
48
30
48
70
−
−
−
=
σ
2. Elementarny sześcian:
3. Niezmienniki:
[
]
[
]
[
]
3
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
2
33
32
23
22
33
31
13
11
22
21
12
11
2
33
22
11
1
232780
det
13204
det
det
det
5
MPa
I
MPa
I
MPa
I
−
=
=
−
=
+
+
=
−
=
+
+
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
4. Obliczyć składowe wektora naprężenia działającego na płaszczyźnie o normalnej:
[
]
MPa
n
ij
105
40
30
40
30
48
30
48
70
2
2
;
2
1
;
2
1
−
−
−
=
=
σ
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
2
Wektor naprężeń:
1
)
3
,
2
,
1
(
2
3
2
2
2
1
=
+
+
=
→
=
n
n
n
i
n
f
j
ji
i
σ
Obliczenia składowych
3172
,
76
3
2842
,
67
2
7867
,
37
1
3
33
2
23
1
13
3
32
2
22
1
12
3
31
2
21
1
11
−
=
+
+
=
=
=
=
+
+
=
=
=
=
+
+
=
=
=
n
n
n
n
f
i
n
n
n
n
f
i
n
n
n
n
f
i
j
ji
i
j
ji
i
j
ji
i
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
5. Składowa normalna i styczna:
[
]
[
]
MPa
f
MPa
n
f
n
f
n
f
n
f
n
n
5419
,
108
4289
,
1
2
)
(
3
3
2
2
1
1
)
(
=
−
=
−
=
+
+
=
=
σ
τ
σ
6. Wyznaczenie
'
2
'
1
σ
za pomocą prawa transformacji:
[
]
[
]
[
]
MPa
MPa
MPa
ki
i
k
ij
245
,
0
05
,
0
9682
,
0
8789
,
0
433
,
0
2
,
0
4093
,
0
9
,
0
15
,
0
245
,
0
8789
,
0
4093
,
0
05
,
0
433
,
0
9
,
0
9682
,
0
2
,
0
15
,
0
105
40
30
40
30
48
30
48
70
'
'
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
α
α
σ
Korzystam ze wzoru:
[
]
MPa
j
j
j
j
j
j
j
ij
i
jp
ij
i
k
p
k
3345
,
2
)
05
,
0
(
)
105
(
9682
,
0
)
05
,
0
(
40
)
2
,
0
(
)
05
,
0
(
)
30
(
15
,
0
433
,
0
40
9682
,
0
433
,
0
30
)
2
,
0
(
433
,
0
48
15
,
0
9
,
0
)
30
(
9682
,
0
9
,
0
48
)
2
,
0
(
9
,
0
70
15
,
0
'
32
33
3
'
1
'
32
23
2
'
1
'
32
13
1
'
1
'
22
32
3
'
1
'
22
22
2
'
1
'
22
12
1
'
1
'
12
31
3
'
1
'
12
21
2
'
1
'
12
11
1
'
1
'
2
3
3
'
1
'
2
2
2
'
1
'
2
1
1
'
1
'
2
'
1
'
2
'
1
'
'
'
'
−
=
=
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
⋅
−
+
−
⋅
−
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
=
=
=
=
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
α
σ
α
σ
α
σ
α
σ
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
3
7. Naprężenia i kierunki główne:
[
]
[
]
[
]
0
232780
13204
5
3
2
2
1
3
3
3
2
2
1
=
−
+
−
−
=
−
=
−
=
I
I
I
MPa
I
MPa
I
MPa
I
σ
σ
σ
Z równania charakterystycznego otrzymujemy:
[
]
[
]
[
]
MPa
MPa
MPa
III
II
I
2544
,
125
2126
,
18
0418
,
102
−
=
=
=
σ
σ
σ
•
Naprężenia główne przedstawia macierz diagonalna:
[
]
MPa
2544
,
125
0
0
0
2126
,
18
0
0
0
0418
,
102
−
=
σ
•
Obliczenie kierunków, czyli cosinusów kierunkowych:
=
+
+
=
⋅
−
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
⋅
−
−
−
1
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
2
3
2
3
2
1
3
33
2
32
1
31
3
23
2
22
1
21
3
13
2
12
1
11
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Po obliczeniach wyniki przedstawiam w tabelce:
[
]
MPa
σ
n
1
n
2
n
3
I 102,0418
0,8359
0,5485
-0,01516
II 18,2126
0,5038
-0,778
-0,3751
III -125,2544
0,2217 -0,3279 0,9182
•
Sprawdzenie ortogonalności:
0
02
,
0
0
008
,
0
0
02
,
0
≈
=
≈
−
=
≈
=
II
II
III
I
II
I
n
n
n
n
n
n
o
o
o
8. Naprężenia ekstremalne:
[
]
[
]
MPa
MPa
III
I
III
I
6063
,
11
2
6481
,
113
2
)
(
max
max
−
=
+
=
=
−
=
σ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
4
9. Kostka naprężeń obrócona do kierunku osi głównych:
10. Sprawdzenie niezmienników i koło Mohra:
[
]
[
]
[
]
[
]
3
3
2
2
1
232780
5996
,
232778
13204
9462
,
13203
5
2544
,
125
0
0
0
2126
,
18
0
0
0
0418
,
102
MPa
I
MPa
I
MPa
I
MPa
−
≈
−
=
−
≈
−
=
−
=
−
=
σ
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
5
11. Rozkład na aksjator i dewiator:
[
]
[ ] [ ]
[ ]
5878
,
123
0
0
0
5878
,
123
0
0
0
0
0
0
0
0
7085
,
103
0
0
0
7085
,
103
5878
,
123
0
0
0
7085
,
19
0
0
0
7085
,
103
)
6
(
6
,
1
0
0
0
)
6
(
6
,
1
0
0
0
)
6
(
6
,
1
2544
,
125
0
0
0
2126
,
18
0
0
0
0418
,
102
0
0
0
0
0
0
3
5
3
105
40
30
40
30
48
30
48
70
)
(
)
(
)
(
0
33
32
31
23
0
22
21
13
12
0
11
0
0
0
0
−
+
−
=
+
=
−
+
−
−
−
=
−
=
−
−
−
+
=
−
=
=
⇒
−
−
−
=
d
ij
a
ij
d
ij
ij
ij
ij
I
ij
I
MPa
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
6
12. Naprężenia zredukowanie (HMH i Treski):
(
) (
) (
)
(
)
[
]
[
]
MPa
MPa
IIII
I
red
red
2962
,
227
0904
,
199
6
2
1
2
31
2
23
2
12
2
11
33
2
33
22
2
22
11
=
−
=
=
+
+
⋅
+
−
+
−
+
−
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
CZĘŚĆ II
1. Obliczenie odkształceń liniowych:
α
ε
α
ε
ε
ε
ε
ε
α
ε
α
ε
ε
ε
ε
ε
α
ε
α
ε
ε
ε
ε
ε
2
sin
2
cos
2
2
2
sin
2
cos
2
2
2
sin
2
cos
2
2
12
22
11
22
11
12
22
11
22
11
12
22
11
22
11
3
2
1
⋅
+
⋅
−
+
+
=
⋅
+
⋅
−
+
+
=
⋅
+
⋅
−
+
+
=
R
R
R
3
3
3
10
2
,
0
10
0
10
4
,
0
3
2
1
−
−
−
⋅
−
=
⋅
=
⋅
=
R
R
R
ε
ε
ε
130
80
0
3
2
1
=
=
=
α
α
α
•
po obliczeniach:
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
Adam
Łodygowski
7
y
x
ε
ε
ε
ε
ε
=
⋅
−
=
⋅
=
=
⋅
=
−
−
−
3
22
3
12
3
11
10
1183
,
0
10
3003
,
0
10
4
,
0
(
)
3
33
33
33
22
11
33
33
10
2012
,
0
0
2
1
1
1
−
⋅
−
=
=
⇒
+
+
−
+
+
=
ε
σ
ε
ε
ε
ν
ε
ν
σ
E
2. Tensor odkształcenia:
3
10
2012
,
0
0
0
0
1183
,
0
3003
,
0
0
3003
,
0
4
,
0
−
⋅
−
−
=
ε
3. Niezmienniki stanu odkształcenia:
12
6
3
10
665
,
27
10
193
,
0
10
0805
,
0
−
−
−
⋅
=
⋅
−
=
⋅
=
III
II
I
I
I
I
4. Wyznaczenie tensora naprężeń i niezmienników:
(
)
(
)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
3
2
12
22
11
12
12
33
11
22
11
33
22
11
11
0
68
,
503
4856
,
80
0
0
0
0
3736
,
0
1
,
23
0
1
,
23
112
,
80
1
,
23
3736
,
0
112
,
80
2
MPa
I
MPa
I
MPa
I
MPa
MPa
MPa
MPa
G
E
E
E
E
III
II
I
=
−
=
=
=
=
=
=
=
+
−
=
+
−
=
σ
σ
σ
σ
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
5. Obliczenie naprężeń głównych według hipotez HMH i Treski:
[
]
[
]
MPa
MPa
III
I
red
I
III
III
II
II
I
III
II
I
red
034
,
166
3149
,
149
2
2
2
=
−
=
=
−
−
−
+
+
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
[
]
[
]
MPa
MPa
II
I
II
I
7742
,
42
2598
,
123
2
2
2
12
2
22
11
22
11
−
=
=
+
−
±
+
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
analiza stanu napr
6 1 dokumentacja rejestry, BHP dokumenty, ANALIZA STANU BHP
Rejestry - do analizy stanu bhp
Analiza stanu naprężenia metodą elastooptyczną, Wytrzymałość materiałów(1)
Analiza stanu BHP, BHP
Analiza stanu polaryzacji światła, CER 7SC, TERMISTORY
Analiza stanu polaryzacji światła, FIZYK7, Drgania mechaniczne zachodz˙ zawsze w jakim˙ o˙rodku. Cia
Ocena roczna Analiza stanu BHP w placówce oświatowej
Analiza stanu BHP przykład, bhp zachomikowane, Ocena ANALIZA BHP
2 Analiza stanu naprezenia i odksztalcenia w punkcie
ANALIZA STANU BHP id 61423 Nieznany (2)
Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
szkol Analiza stanu BHP
Analiza stanu i dobór profilaktyki zagrożeń naturalnych
więcej podobnych podstron