Matu

t ra

r 2

0

2 05

0

ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATURĄ

Arkusz II ( dla poziomu rozszerzonego) Czas pracy: 150 minut

Zadanie 11.

Dany jest układ równań:

 x + y −1 = 0



 y − x −1 = 0

a) Rozwiąż dany układ.

b) Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zilustruj dany układ i zbiór jego rozwiązań.

Zadanie 12.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n liczba 3

n − n +12 jest podzielna przez 6.

Zadanie 13.

Dziedziną funkcji f jest przedział − 1 , 0 0 i jest ona określona następująco:

f ( x)  2

x + 6 x +

5 d

l

a −

3 ≤ x ≤

=

0



− 2 x −1

0 d

l

a −

10 ≤ x < −3

Naszkicuj wykres funkcji f i następnie uzasadnij, że: a) Funkcja f jest ciągła w przedziale (−1 , 0 0) ,

b) Zbiorem wartości funkcji f jest przedział − , 4 10 ,

c) Funkcja f nie jest różnowartościowa.

Zadanie 14.

Na początku roku kalendarzowego lokujemy w banku kapitał a zł. Umowa z bankiem przewiduje, że oprocentowanie lokaty będzie stałe i wyniesie 3% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek będzie coroczna. Bank odprowadza po każdej kapitalizacji 20% naliczonych odsetek do Urzędu Skarbowego.

a) Na ile co najmniej lat powinniśmy zawrzeć umowę z bankiem, aby po upływie tego okresu naliczone odsetki stanowiły nie mniej niż 12,5% ulokowanego kapitału?

b) Ile najmniej złotych powinniśmy ulokować w banku, jeśli chcemy by przy spełnieniu wa-runków powyższej umowy i po upływie okresu obliczonego w punkcie a) zysk z lokaty wy-niósł co najmniej 2000 zł?

Zadanie 15.

Samochód przebył w pewnym czasie drogę 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 0,5 godziny. Jaka była średnia prędkość samochodu?

Zadanie 16.

W trójkącie prostokątnym stosunek sumy przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy 6 . Oblicz miary kątów tego trójkąta.

2

Zadanie 17.

Wyznacz zbiór tych wszystkich x , dla których funkcja f ( x) = log x −

−

x +

1 (

5) log1 (

3) przyjmuje

2

2

wartości dodatnie.

Matu

t ra

r 2

0

2 05

0

Zadanie18.

Poniższy diagram przedstawia wyniki testu z matematyki składającego się z 14 zadań, przeprowa-dzonego w trzeciej klasie pewnego liceum, przy 100% obecności uczniów. Zadania testu były punktowane w skali 0 – 1, a nauczyciel matematyki zali-czał uczniowi test, jeśli zdobył on co najmniej 50% moż-

W yniki te stu z mate matyki

liwych do zdobycia punktów. Oblicz:

a) median

7

ę liczb punktów zdobytych przez poszcze-

6

gólnych uczniów;

w 5

ió

b) średnią liczbę punktów przypadających na jedne-nz 4

c

go ucznia;

u 3

ab

c) prawdopodobieństwo tego, że losując z listy z 2

lic 1

uczniów tej klasy kolejno dwie osoby, jako drugą 0

wylosujemy osobę, która zaliczyła test, pod wa-1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

runkiem, że pierwsza z wylosowanych osób też

licz ba punktów

zaliczyła test.

Zadanie 19.

r r

Kąt między dwoma wektorami u v

,

jest równy

o

120 , a długości tych wektorów są równe odpo-wiednio 1 i 2. Oblicz:

r

r

r

a) długość wektora w = u + v , r

r

b) kosinus kąta między wektorami w i v .

Zadanie 20.

Z drutu długości 72 dm chcemy sporządzić szkieletowy model prostopadłościanu, który będzie miał

możliwie największą objętość i w którym jedna z krawędzi będzie dwa razy dłuższa od innej jego krawędzi. Jakie wymiary będzie miał ten prostopadłościan?

Matu

t ra

r 2

0

2 05

0

Odpowiedzi do ARKUSZA II

11. a) Dany układ spełniają współrzędne każdego punktu, który należy do domkniętego odcinka o końcach (− ,

1 0) i ( ,

0 )

1 .

12. Teza wynika z tego, że wśród liczb n −1, n i n +1 jest co najmniej jedna liczba parzysta i jedna liczba podzielna przez 3.

13. a) Wskazówka. Uzasadnij, że funkcja jest ciągła w punkcie x = 3

− .

b) Teza wynika z tego, że funkcja jest ciągła i jej największą wartością jest 10, a najmniej-szą −4.

c) np. f (− )

1 = f (− )

5 = 0 , pomimo tego, że −1 ≠ 5

− .

14. a) Co najmniej na 5 lat; b) 15886 zł.

15. 60 km/h

16. 75

° i 1 5°

17. x > 5

29

18. a) Mediana jest równa 9; b) średnia jest równa ok. 9,36; c) 32

5 7

19. a) w = 7 b) cosα =

14

20. Prostopadłościan będzie miał wymiary 4 dm, 8 dm i 6 dm.