Matu
t ra
r 2
0
2 05
0
ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATURĄ
Arkusz II ( dla poziomu rozszerzonego) Czas pracy: 150 minut
Zadanie 11.
Dany jest układ równań:
x + y −1 = 0
y − x −1 = 0
a) RozwiąŜ dany układ.
b) Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zilustruj dany układ i zbiór jego rozwiązań.
Zadanie 12.
WykaŜ, Ŝe dla kaŜdej dodatniej liczby naturalnej n liczba 3
n − n +12 jest podzielna przez 6.
Zadanie 13.
Dziedziną funkcji f jest przedział − 1 , 0 0 i jest ona określona następująco:
f ( x) 2
x + 6 x +
5 d
l
a −
3 ≤ x ≤
=
0
− 2 x −1
0 d
l
a −
10 ≤ x < −3
Naszkicuj wykres funkcji f i następnie uzasadnij, Ŝe: a) Funkcja f jest ciągła w przedziale (−1 , 0 0) ,
b) Zbiorem wartości funkcji f jest przedział − , 4 10 ,
c) Funkcja f nie jest róŜnowartościowa.
Zadanie 14.
Na początku roku kalendarzowego lokujemy w banku kapitał a zł. Umowa z bankiem przewiduje, Ŝe oprocentowanie lokaty będzie stałe i wyniesie 3% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek będzie coroczna. Bank odprowadza po kaŜdej kapitalizacji 20% naliczonych odsetek do Urzędu Skarbowego.
a) Na ile co najmniej lat powinniśmy zawrzeć umowę z bankiem, aby po upływie tego okresu naliczone odsetki stanowiły nie mniej niŜ 12,5% ulokowanego kapitału?
b) Ile najmniej złotych powinniśmy ulokować w banku, jeśli chcemy by przy spełnieniu wa-runków powyŜszej umowy i po upływie okresu obliczonego w punkcie a) zysk z lokaty wy-niósł co najmniej 2000 zł?
Zadanie 15.
Samochód przebył w pewnym czasie drogę 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 0,5 godziny. Jaka była średnia prędkość samochodu?
Zadanie 16.
W trójkącie prostokątnym stosunek sumy przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy 6 . Oblicz miary kątów tego trójkąta.
2
Zadanie 17.
Wyznacz zbiór tych wszystkich x , dla których funkcja f ( x) = log x −
−
x +
1 (
5) log1 (
3) przyjmuje
2
2
wartości dodatnie.
Matu
t ra
r 2
0
2 05
0
Zadanie18.
PoniŜszy diagram przedstawia wyniki testu z matematyki składającego się z 14 zadań, przeprowa-dzonego w trzeciej klasie pewnego liceum, przy 100% obecności uczniów. Zadania testu były punktowane w skali 0 – 1, a nauczyciel matematyki zali-czał uczniowi test, jeśli zdobył on co najmniej 50% moŜ-
W yniki te stu z mate matyki
liwych do zdobycia punktów. Oblicz:
a) median
7
ę liczb punktów zdobytych przez poszcze-
6
gólnych uczniów;
w 5
ió
b) średnią liczbę punktów przypadających na jedne-nz 4
c
go ucznia;
u 3
ab
c) prawdopodobieństwo tego, Ŝe losując z listy z 2
lic 1
uczniów tej klasy kolejno dwie osoby, jako drugą 0
wylosujemy osobę, która zaliczyła test, pod wa-1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
runkiem, Ŝe pierwsza z wylosowanych osób teŜ
licz ba punktów
zaliczyła test.
Zadanie 19.
r r
Kąt między dwoma wektorami u v
,
jest równy
o
120 , a długości tych wektorów są równe odpo-wiednio 1 i 2. Oblicz:
r
r
r
a) długość wektora w = u + v , r
r
b) kosinus kąta między wektorami w i v .
Zadanie 20.
Z drutu długości 72 dm chcemy sporządzić szkieletowy model prostopadłościanu, który będzie miał
moŜliwie największą objętość i w którym jedna z krawędzi będzie dwa razy dłuŜsza od innej jego krawędzi. Jakie wymiary będzie miał ten prostopadłościan?
Matu
t ra
r 2
0
2 05
0
Odpowiedzi do ARKUSZA II
11. a) Dany układ spełniają współrzędne kaŜdego punktu, który naleŜy do domkniętego odcinka o końcach (− ,
1 0) i ( ,
0 )
1 .
12. Teza wynika z tego, Ŝe wśród liczb n −1, n i n +1 jest co najmniej jedna liczba parzysta i jedna liczba podzielna przez 3.
13. a) Wskazówka. Uzasadnij, Ŝe funkcja jest ciągła w punkcie x = 3
− .
b) Teza wynika z tego, Ŝe funkcja jest ciągła i jej największą wartością jest 10, a najmniej-szą −4.
c) np. f (− )
1 = f (− )
5 = 0 , pomimo tego, Ŝe −1 ≠ 5
− .
14. a) Co najmniej na 5 lat; b) 15886 zł.
15. 60 km/h
16. 75
° i 1 5°
17. x > 5
29
18. a) Mediana jest równa 9; b) średnia jest równa ok. 9,36; c) 32
5 7
19. a) w = 7 b) cosα =
14
20. Prostopadłościan będzie miał wymiary 4 dm, 8 dm i 6 dm.