STATYSTYKA by AgAtA

Statystyka - zajmuje się zbieraniem i przetwarzaniem informacji

- nauka poświęcona metodom badania (analizowania) zjawisk masowych i polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych i jakościowych oraz przedstawieniu wyników w postaci zestawień tabelarycznych, wykresów itp. ; posługuje się rachunkiem prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna - dział matematyki stosowanej opartej na rachunku prawdopodobieństwa

- zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie znajomości własności ich części.

Populacja -

Wnioski o populacji

zjawisko

masowe

- pytania dotyczące

całej zbiorowości

Próba - część

Wnioski z próby

zbiorowości

(uogólnienie)

Populacja - zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami); określenie tej cechy jest bardzo istotne.

Próba - wybrana część populacji podlegająca pełnemu badaniu.

- statyczna

część, wybrana, ustalona część zbiorowości

-

z próby przenosimy wnioski na populację

Cecha - wielkość losowa charakteryzująca obiekty danej populacji

-

statystyka opisuje mechanizm losowy pewnej zbiorowości na podstawie cechy Rodzaje cech:

1) cecha jakościowa - cecha przyjmująca wartości nie będące liczbami (np. kolor, płeć) - opis struktury tych cech (% udział)

2) cecha (ilościowa) skokowa - cecha przyjmująca pewne wartości liczbowe i nie przyjmująca wartości pośrednich (np. ilość bakterii, ilość pracowników) →in. dyskretne 3) cecha (ilościowa) ciągła - cecha przyjmująca wartości z pewnego przedziału liczbowego (np. waga, zarobki) Opis przypadkowości cech:

Zmienna losowa = cecha - wielkość o wartościach rzeczywistych, określona na zbiorze zdarzeń elementarnych.

• rozkład zmiennej losowej skokowej:

X1

X2

X3 ...

p1

p2

p3 ...

Przykład: rzut kostką, ilość pracowników

- nie przyjmuje ona żadnych wartości między X1 a X2

Dystrybuanta - za jej pomocą opisuje się rozkład zmiennej losowej, ukazuje prawdopodobieństwo zdarzeń, że zmienna przyjmie wartość poniżej danej wartości

funkcja

gęstości

Rozkład zmiennej losowej: zbiór wartości zmiennej losowej oraz prawdopodobieństwa z jakim są te wartości przyjmowane.

• charakterystyki liczbowe zmiennych losowych:

Wartość oczekiwana (średnia) - EX zmiennej losowej X jest liczbą charakteryzującą położenie zbioru jej wartości.

Wariancja - D2X zmiennej losowej jest liczbą charakteryzującą rozrzut zbioru jej wartości wokół wartości średniej EX.

Odchylenie standardowe - DX zmiennej losowej X jest liczbą charakteryzującą rozrzut zbioru jej wartości wokół wartości średniej EX.

DX = D2X

Frakcja - in. wskaźnik struktury, udział wyróżnionych przez nas elementów w całości.

Jeżeli A jest danym podzbiorem zbioru wartości zmiennej losowej X, to frakcją nazywamy liczbę: p = {

P X ∈ }

A

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) B(n; p).

Zmienna losowa X ma rozkład B(n; p), jeżeli:

n - ilość wylosowanych obiektów

p - prawdopodobieństwo sukcesów

n

P n;k {X = k} = ( ) pk(1 - p)n-k

k∈<0; n)

k

EX = np

D2X = np(1 - p)

Porażka: q = 1 - p

q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie

Rozkład normalny N( µ,δ 2)

Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej µ i wariancji δ 2, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:

1

δ

x − µ )2

-

µ ,δ2(x) =

e -1/2(

∞ < x < ∞

δ

Π

2

δ

- służy do badania zjawisk ciągłych

Standaryzacja - sprowadzenie od pewnego standardu.

Jeżeli X ~ N (µ , δ2) to:

x − µ

Z =

~ N(0; 1)

δ

 a − µ b − µ 

 b − µ 

 a − µ 

P{x∈(a; b)} = P{Z∈ 

;

 } = F

 - F



 δ

δ 

 δ 

 δ 

δ - odchylenie standardowe

F - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

Prawo trzech sigm:

P{ | X - µ | < δ } = 0,68268 ≈ 0,68

- prawdopodobieństwo trafienia na wartość z przedziału <µ - δ ; µ + δ> wynosi około 68%

P { | X - µ | < 2δ } = 0,95550 ≈ 0,95

P { | X - µ | < 3δ } = 0,99730 ≈ 0,997

99,7%

95%

68%

δ

δ

δ

δ

δ

δ

µ - δ

µ

µ + δ

X

Rozkład Poissona: Po(λ)

Zmienna losowa X ma rozkład Po(λ ), gdy:

k

λ

P { X = k } =

-λ

e

k = 0, 1, 2, ...

k!

EX = λ

D2X = λ

- stosuje się go do opisu zjawisk rzadkich (liczba sukcesów jest niewielka, liczba powtórzeń jest nieskończona

Estymacja Parametrów Rozkładu Cech:

oszacowanie

przybliżenie

• Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X.

1. zebrane

informacje:

Próba: X1, X2, ..., Xn

Estymator (punktowy) jest funkcją próby:

∧

∧

θ = θ (X1; X2; ...; Xn)

w

"rozsądny" sposób przybliżający wartość parametru θ.

sposób "rozsądny" = wiarygodny

Przedział ufności (estymator przedziałowy) - jest podziałem o końcach zależnych od próby, który z pewnym z góry zadanym prawdopodobieństwem pokrywa nieznaną wartość parametru θ.

P { θ ∈ (θ ( X1; ...; Xn ) , θ ( X1; ...; Xn ) ) } = 1 - α

Poziom ufności - ustalone prawdopodobieństwo 1 - α

Żądanie: jak najkrótszy przedział

Na długość d przedziału ufności wpływają:

1) liczność próby ( n↑ ⇒ d↓ )

2) poziom

ufności ( 1 - α↑ ⇒ d↑ )

3) wariancja,

zróżnicowanie cechy ( δ2↓ ⇒ d↓ )

Estymacja parametrów cechy X o rozkładzie normalnym N(µ ; δ2) Próba (prosta): X1, X2, .., Xn

• Estymator (punktowy) średniej - średnia arytmetyczna n

1

X 1 + ... + X

X =

X

n

∑ =

n

i

i=1

n

X - średnia arytmetyczna

• Estymator (punktowy) wariancji - wariancja próbkowa: n

1

S 2 =

∑( X X 2)

i −

n −1 i=1

• Suma kwadratów odchyleń od średniej:

n

n

2

2

2

var X =

( X

∑ − X) = X

∑ − nX

i

i

i 1

=

i 1

=

• Estymator (punktowy) odchylenia standardowego:

2

S = S

Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym:

- wariancja

δ2 jest nieznana

-

wybieramy poziom ufności 1 - α

(

S

X − t

;

S

X

α

+ t

)

( , n− )

1

(α , n− )

1

n

n

t(α, ν) jest stablicowaną wartością krytyczną rozkładu t - Studenta z ν stopniami swobody.

------------------------------------

Przykład. Na podstawie próby 1.1; 1.2; 0.8; 0.9; 1.2; 1.0; 1.3; 0.7; 0.8 oszacować wartość średnią rozkładu obserwowanej cechy.

X = 1.0

var X =

1

.

1

(

−

)

0

.

1

2 + ... + 0

.

1

(

−

)

0

.

1

2 = 36

.

0

2

36

.

0

S =

= 04

.

0

2

S = S =

2

.

0

10 −1

Poziom ufności: 1- α = 0.95

α = 0.05

t(0.05;9) = 2.2622

S

2

.

0

t

=

(0.05;9)

2622

.

2

= 1

.

0 4

n

10

(1 - 0.14 ; 1+ 0.14) = ( 0.86 ; 1.14)

Wniosek: Średnia wartość cechy jest jakąś liczbą z przedziału (0.86 ; 1.14). Zaufanie do tego wniosku wynosi 95%.

-----------------------------------

• Estymacja prawdopodobieństwa sukcesu p:

p - frakcja, wskaźnik struktury

Próba: X1; X2; ...: Xn (Xi = 0 lub Xi = 1)

n

k = ∑ X - ilość sukcesów (jedynek) i

i=1

Wniosek: Frakcja obiektów jest około wartości k .

Dla dużej ilości badanych n:

∧

∧

∧

p 1

( −

p + U

*

p )

α

- przedział ufności

1−

n

2

∧

k

Estymator punktowy: p =

n

U α - kwantyl standardowego rozkładu normalnego N(0; 1) 1− 2

Weryfikacja Hipotez Statystycznych:

--------------------------

Przykład. Producent detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca chce sprawdzić czy może wierzyć producentowi. Jak ma to zrobić?

1. zakładamy, że partia ma wadliwość 2%

2. pobierana jest próba elementów z partii towaru (np. 100 szt.) k

P{X = k}

P{X > k}

0

0,135335

1,0000

1 0,270671 0,864665

2

0,270670

0,593994

3

0,180447 0,323324

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3. wnioskowanie: zaobserwowano k = 7 wadliwych (na 100 szt.)

• przypuszczenie jest słuszne i próba "pechowa"

• próba jest "dobra", a przypuszczenie złe Uznać twierdzenie producenta za nieprawdziwe!

Zaobserwowano co najmniej siedem wadliwych.

Ostatecznie: Po zaobserwowaniu więcej niż sześciu wadliwych elementów raczej uznać twierdzenie producenta za nieprawdziwe. W przeciwnym przypadku można uznać twierdzenie producenta za uzasadnione.

---------------------------

Hipoteza statystyczna - to dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa cechy (ozn. Ho) Test hipotezy statystycznej - to postępowanie mające na celu odrzucenie lub nie odrzucenie hipotezy statystycznej.

Statystyka testowa - funkcja próby na podstawie której wnioskuje się o odrzuceniu lub nie hipotezy statystycznej.

Rzeczywistość

Wnioskowanie o hipotezie Ho:

Hipoteza

Ho

nie odrzucać

odrzucić

Prawdziwa prawidłowy

nieprawidłowy

Nieprawdziwa

nieprawidłowy

prawidłowy

Błąd I rodzaju - błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa.

Błąd II rodzaju - błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa.

Poziom istotności - ryzyko popełnienia błędu związane z hipotezą. Dowolna liczba z przedziału (0; 1) określająca prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju.

----------------------------

Przykład. Cecha X ma rozkład normalny N(µ ; δ2). Średnia µ oraz wariancja δ2 są nieznane.

Ho: µ = µo

Test Studenta (poziom istotności α)

Próba: X1; ..; Xn

X ; S2

Statystyka testowa:

X − µ

t

o

=

n

emp

s

Wartość krytyczna: t α; n-1

-----------------------------

• Jeżeli | temp | > t α; n-1 to hipotezę Ho: µ = µo odrzucamy.

• Jeżeli | temp | ≤ t α; n-1 to hipotezy Ho: µ = µo nie odrzucamy, czyli hipoteza może być prawdziwa (brak dowodów na to, że jest fałszywa)

-----------------------------

Przykład. Przypuszczenie: maszyna pakująca masło nastawiona na 250 g ulega po pewnym czasie rozregulowaniu.

Cecha X: masa kostki masła ( X ~ N(µ ; δ2 ))

Ho: µ = 250

t - Studenta; poziom istotności α = 0,05

Próba: 254, 269, 254, 248, 263, 256, 258, 261, 264, 258.

Obliczenia:

X = 258,5

S2 = 36,05

temp = 4,47

Wnioskowanie:

wartość krytyczna: t 0.05;9 = 2,2622

4,47 > 2,2622 : hipotezę odrzucamy.

Stwierdzamy, że maszyna rozregulowała się.

-------------------------------

Przedział ufności a test hipotezy Ho: µ = µo

Cecha: X ~ N(µ ; δ2)

Ho : µ = µo

Ho nie odrzucamy na poziomie istotności α.

| temp | < t α; n-1

X − µ

- t

o

α; n -1 <

n < t α; n - 1

s

µ ∈ (

s

X − t

;

s

X

α

+ t

)

o

; n 1

−

α; n 1

−

n

n

µo należy do przedziału ufności na poziomie ufności 1 - α.

Copyright © AgAtA. All rights reserved.