Ci ¾
agi
Gertruda Gwóźdź- ×ukawska, Marek Ma÷olepszy 9.1.
Oblicz wyrazy a15; a23 i a315 ci ¾
agu arytmetycznego (an) o ró·
znicy r, gdy:
a) a1 = 7 i r = 1 ;
f ) a
i a
;
3
4 = 2
3
5 = 11
12
p
p
b) a3 =
15 i r = 2;
g) a4 = 8 2 i a8 = 4 2;
c) a5 = 29 i r =
2;
h) a1 = 1 i a
8
5 = 4a1;
d) a1 =
420 i a2 =
390;
i) a2 =
3 i a6 = a1+a3 ;
2
e) a1 = 1 i a
;
j) a
15
3 = 1
45
314 = 314
2a2 i a24 = 21 + a3.
9.2.
Wyznacz ró·
znic ¾
e r ci ¾
agu arytmetycznego (an), gdy:
a) a1 =
1 1 i a
;
f ) a
13
2 = 12
13
8
a6 =
6;
b) a1 = 764 i a3 = 123;
g) a15 = 5a3 i a28 + 2a4 = 36;
c) a6 = 15 i a7 = 45;
h) a15 = 8a1 i a50 = 50 + r;
d) a5 = 18 i a9 = 39;
i) a2 2a4 = 4 i a
3
5 =
9;
e) a1 =
2 i a2 = 3a1;
j) a4 r = 5 i a
2
1
r = 1.
9.3.
Dla podanych liczb A i B, dobierz takie liczby x i y; by ci ¾
ag (A; x; y; B) by÷arytmetyczny.
p
p
a) A = 15 i B =
327;
d) A =
1
p
p
i B =
2(2 2 +
3);
2+ 3
b) A = 1 i B = 1;
13
e) A = log2 16 i B = 2log8 27;
c) A = 1 i B =
4 2 ;
f ) A = log
1
p .
3
3
2 7 i B = log2
7
9.4.
Zbadaj, czy ci ¾
ag (an) jest arytmetyczny, gdy:
a) an = 5n
1;
d) an = 1 + 2 + ::: + n;
b) an = n2
(n
1)2;
e) an = 1 2 ::: n;
c) an =
1;
f ) an = 2 + 2n.
Gertruda Gwóźdź- ×ukawska, Marek Ma÷olepszy 9.5.
Sprawdź, czy liczby a; b; c (w podanej kolejności) tworz ¾
a ci ¾
ag arytmetyczny:
p
p
a) a = 8 ; b = 1 9 ; c = 2 1 ;
c) a =
3 ; b =
1
; c = 3+ 12 ;
7
14
7
p
p
2
3 1
12
p
p
b) a =
5; b = 12; c = 20;
d) a = sin 47 ; b = 2 3 tg ; c =
8.
4
3
3
9.6.
Oblicz sum ¾
e pierwszych dziesi ¾
eciu wyrazów ci ¾
agu arytmetycznego (an), gdy:
a) a1 =
3 i r = 2;
f ) a5 a8 = 124 i a2 + a4 + a6 + a8 = 16; b) a5 = 2 i r = 1 ;
g) a
5
3
3 =
1 i S6 = 9;
c) a10 = 248 i r =
4;
h) S5
S6 =
2 i S3 = 2S6;
d) a2 = log2 8 i a8 = 3 log3 27;
i) 2a90 = 1 i S18 = 2S9;
e) a15 = 5 i a30 = 140;
j) a11 =
27(r
3) i S61 =
610.
9.7.
Wiedz ¾
ac, ·
ze ci ¾
ag (an) jest arytmetyczny, oblicz sum ¾
e a21 + a22 + ::: + a30, gdy:
p
p
a) a1 =
2 i a2 = 1;
e) a32 = 47 2 i a40 = 59 2;
b) a3 = 511 i r =
12;
f ) a10 = 17 i S12 = 120;
c) a11 = 5 i r = 3 ;
g) a
11
22
19
a32 = 13 i S19
S32 = 13;
d) a12 = 8 1 i a
;
h) S
3
28 = 13 2
3
35
S15 = 245 i S15 + S35 = 350.
9.8.
Wiedz ¾
ac, ·
ze ci ¾
ag (an) jest arytmetyczny, oblicz sum ¾
e pierwszych 45 jego wyrazów o numerach parzystych, gdy:
a) a1 = 9 i a1 = 1 a
c) a
3 163;
45 = 89 i S45 = 2025.
b) a46 = 7;
9.9.
Oblicz liczb ¾
e n wyrazów skończonego ci ¾
agu arytmetycznego (an), gdy:
a) a2 = 2 1 ; a
i S
4
3 = 2 3
4
n = 118; 75;
b) a7 =
14; a10
a12 =
1 i Sn = 154;
c) a1 = 13; a7 = 1 i suma ostatnich pi ¾
eciu wyrazów wynosi
115;
d) a14 = 3a3; r = 4 i a
5
n
a10 = 36;
e) a3 = 3 ; a
a
3
a1 = 6 i Sn = 57;
1
2
f ) ci ¾
ag ten ma nieparzyst ¾
a liczb ¾
e wyrazów, Sn = 444; a suma wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 224.
9.10.
Oblicz sum ¾
e S wszystkich wyrazów skończonego ci ¾
agu arytmetycznego (an), gdy:
a) ci ¾
ag określony jest wzorem an = 2n + 2 i suma czterech końcowych wyrazów tego ci ¾
agu wynosi
380;
b) a13 =
284, ci ¾
ag ma parzyst ¾
a liczb ¾
e wyrazów, suma wyrazów o numerach parzystych wynosi 2880 i suma pierwszych czterech wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 1568.
agi
3
9.11.
Pan Abalski zacz ¾
a÷chodzić na si÷
owni ¾
e i zauwa·
zy÷
, ·
ze z ka·
zdym tygodniem mo·
ze na atlasie ćwiczyć
bez wysi÷
ku o 2 minuty d÷
u·
zej ni·
z w tygodniu poprzednim. Jak d÷
ugo ćwiczy÷w pierwszym tygodniu,
je·
zeli w dziesi ¾
atym tygodniu móg÷ju·
z ćwiczyć bez przerwy przez 33 minuty?
9.12.
Oblicz wyrazy a12; i a100 ci ¾
agu geometrycznego (an) o ilorazie q, gdy: p
a) a1 = 1 i q = 2;
e) a
a
25
1 + a3 = 109 i 4
8 = 50;
p
b) a
2
1 =
1
p
i a
f )
a
= 1
;
3
2 = 1;
2 + a8 = 16 i a2
a8
4
c) a1 = 1000000 i a5 = 10000;
g) q = 1 i S
;
2
5 = 3 7
8
d) a7 = a
+ 1 = 90;
h) q =
1 i a
a
1 i 1
2 + a3 + ::: + a6 =
3131.
8
a4
a6
2
9.13.
Wyznacz iloraz q ci ¾
agu geometrycznego (an), gdy:
a) a1 = 1 48 i a
;
e) a
52
2 = 1
13
7
a8 a9 = 125 i a1 + a8 = 5; 125;
b) a1 = 45 i a3 = 1125;
f ) a1 + a2 = 550 i a3 + q = 27; 75;
c) a12 = 64 i a7 =
2;
g) S4 = 1 S
4
8;
d) a1+a3 = 2;
h) S
a
10 = 2S5 i a1 = q.
2+a4
9.14.
Dla podanych liczb A i B, dobierz takie liczby x i y; by ci ¾
ag (A; x; y; B) by÷geometryczny.
p
p
p
a) A =
1 i B = 1;
d) A =
0; 5 +
3; 5 i B = 2 + 2 7;
p
p
b) A = 1 i B = 5 5;
e) A =
1
p
i B = 3
2 2;
2 1
p
2 log 1 16
c) A =
3 i B = 1 ;
f ) A = log 1 27 i B =
12 2
2
.
3
3
9.15.
Wyznacz wzór na ogólny wyraz ci ¾
agu geometrycznego (an), gdy:
a) a1 = 2 i a5 = 1 ;
c) 1
a
a
1 = 2 i (1
q) S4 = q
a5;
3
2
q
p
b) a2 =
2, a6 = 2 i a
d) a
i a
a
4 > a5;
1 + a2 = 3
1 + S6 = q(1 + S5).
4
8
9.16.
Zbadaj, czy ci ¾
ag (an) jest geometryczny, je·
zeli:
a) an = ( 7)n;
d) an = 1 + 2 + ::: + n;
b) an = 5n;
e) an = n2
1;
c) an = 0; 1;
f ) an+1 = 2.
an
9.17.
Sprawdź, czy liczby a; b; c (w podanej kolejności) tworz ¾
a ci ¾
ag geometryczny:
p
p
p
p
a) a = 5; b = 2; 5; c =
1; 5625;
c) a = 1 +
7; b = 3 + 3
7; c = 2 + 2 7;
2
2
p
p
p
p
q
b) a =
3
1; b = 3
3; c = 3 3
3;
d) a = 1
p
; b =
5 ; c =
5 .
10
5
2
9.18.
Oblicz sum ¾
e pierwszych dziesi ¾
eciu wyrazów ci ¾
agu geometrycznego (an) o ilorazie q, gdy:
Gertruda Gwóźdź- ×ukawska, Marek Ma÷olepszy a) a1 = 4 i q = 1 ;
d) a
5
2
n = 3n + 3n+1;
p
b) a
2
e) S
a
5 = 1 i q =
;
2
6 = 24 i a6 = 1
2 1;
c) a3 = 2n+1
2n;
f ) S2 = 1 S
3
4 i a1 = 1
q.
9.19.
Oblicz liczb ¾
e n wyrazów skończonego ci ¾
agu geometrycznego (an), gdy:
a) a7
a1 = 1456, a8
a2 = 4368 i Sn = 728;
b) ci ¾
ag ma parzyst ¾
a liczb ¾
e wyrazów, a5 = 1312500; suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych wynosi
13996582; 03125 i jest równa
Sn.
9.20.
Oblicz sum ¾
e S wszystkich wyrazów ci ¾
agu geometrycznego (an), gdy:
a) a1 = 6 i q = 4 ;
c) a
14
2 = 200 i a5 = 1120;
b) a1 =
1 i a3 =
2 ;
d) a
.
5
2 = 4 i S5 = 31
2
9.21.
Zamień u÷
amek dziesi ¾
etny nieskończony okresowy na u÷
amek zwyk÷
y:
a) 0; 00(14);
c) 0; (721);
b) 3; 12(15);
d) 1; (09).
9.22.
Jaś Babalski przygl ¾
ada÷si ¾
e paj ¾
akowi tkaj ¾
acemu ośmiok ¾
atn ¾
a sieć paj ¾
ecz ¾
a mi ¾
edzy drzewami w sadzie i
zauwa·
zy÷
, ·
ze ka·
zde kolejne okr ¾
a·
zenie zajmuje mu dwa razy wi ¾
ecej czasu ni·
z poprzednie. Gdy mama
zawo÷
a÷
a go na obiad, paj ¾
ak skończy÷w÷
aśnie pi ¾
ate okr ¾
a·
zenie, które zaj ¾
e÷
o mu 1 minut ¾
e i 4 sekundy.
W jakim czasie musi Jaś zjeść obiad i wrócić do drzewa, by zobaczyć ca÷
e dziesi ¾
ate okr ¾
a·
zenie paj ¾
aka?
9.23.
Paj ¾
ak tka swoj ¾
a sieć rozpi ¾
et ¾
a na ośmiu promieniście rozchodz ¾
acych si ¾
e niciach (k ¾
aty mi ¾
edzy kolejnymi
promieniami s ¾
a jednakowe). Ka·
zdy segment sieci tworzy z promieniem k ¾
at 75 . Paj ¾
ak zaczepi÷pier-
wszy segment sieci w odleg÷
ości 1 cm od środka sieci. Oblicz, w jakiej odleg÷
ości od środka b ¾
edzie
po÷
o·
zony koniec ósmego segmentu tej sieci.
9.24.
W celu zebrania 100000 podpisów na potencjalnego kandydata na prezydenta postanowiono, ·
ze ka·
zda
osoba sk÷
adaj ¾
aca podpis na liście w danym dniu ma w nast ¾
epnym dniu zebrać 2 kolejne podpisy. Ile osób musi si ¾
e podpisać pierwszego dnia, by zbieranie podpisów zakończyć w czternastym dniu?
9.25.
Dane s ¾
a ci ¾
agi: (an) - arytmetyczny i (bn) - geometryczny o pierwszych wyrazach równych 3 i takie,
·
ze czwarte ich wyrazy s ¾
a takie same, zaś dwudziesty pi ¾
aty wyraz ci ¾
agu arytmetycznego jest równy
dziesi ¾
atemu wyrazowi ci ¾
agu geometrycznego. Oblicz ró·
znic ¾
e r ci ¾
agu (an) i iloraz q ci ¾
agu (bn).
9.26.
Liczby a; b; c s ¾
a kolejnymi wyrazami ci ¾
agu arytmetycznego, zaś liczby b; c; d - kolejnymi wyrazami ci ¾
agu geometrycznego. Wiedz ¾
ac, ·
ze a + b + c = b + c + d =
9 oraz b
d =
(b + c + d), wyznacz
liczby a; b; c; d.
9.27.
Dane s ¾
a trzy liczby ca÷
kowite, które tworz ¾
a ci ¾
ag arytmetyczny, przy czym trzecia jest 16 razy wi ¾
eksza
od pierwszej. Je·
zeli drug ¾
a zmniejszymy o 9, to otrzymamy ci ¾
ag geometryczny. Znajdź te liczby.
agi
5
Odpowiedzi
9.1.
a) a15 = 11 2 ;
f ) a
;
3
15 = 3 5
12
a23 = 14 1 ;
a
;
3
23 = 5 5
12
a315 = 111 2
a
3
315 = 78 2
3
p
b) a15 = 9;
g) a15 =
3 2;
p
a23 = 25;
a23 =
11 2;
p
a315 = 609
a315 =
303 2
c) a15 = 492;
h) a15 = 1 7 ;
16
a23 = 476;
a23 = 2 3 ;
16
a315 =
108
a315 = 29 9
16
d) a15 = 0;
i) a15 =
3;
a23 = 240;
a23 =
3;
a315 = 9000
a315 =
3
e) a15 =
11 ;
j) a
;
45
15 = 13 2
3
a23 =
19 ;
a
;
45
23 = 21 2
3
a315 =
6 41
a
45
315 = 313 2
3
9.2.
a) r = 2
f ) r =
3
b) r =
320 1
g) r = 1
2
c) r = 30
h) r = 1
d) r = 5 1
i) r =
3
4
p
p
e) r =
4
j) r =
2 lub r =
2
2
2
p
p
p
9.3.
a) x =
99; y =
213
d) x =
2 2; y =
3 2
3
b) x = 5 ; y = 9
e) x = 3 2 ; y = 3 1
13
13
3
3
p
c) x =
4 ; y = 3
f ) x = log
7; y = 0
3
2
9.4.
a) Tak
d) Nie
b) Tak
e) Nie
c) Tak
f ) Nie
9.5.
a) Tak
c) Tak
b) Nie
d) Nie
9.6.
Gertruda Gwóźdź- ×ukawska, Marek Ma÷olepszy a) S10 = 60
f ) S10 = 85
b) S10 = 5 2
g) S
3
10 = 115
c) S10 = 2660
h) S10 = 15
d) S10 = 65
i) S10 = 5
e) S10 =
805
j) S10 =
3415
p
9.7.
a) a21 + ::: + a30 = 715
e) a21 + ::: + a30 = 372; 5 2
b) a21 + ::: + a30 = 2410
f ) a21 + ::: + a30 = 480
c) a21 + ::: + a30 = 24 7
g) a
22
21 + ::: + a30 =
5
d) a21 + ::: + a30 = 128 1
h) a
3
21 + ::: + a30 = 122; 5
9.8.
a) a2 + a4 + ::: + a90 = 630
c) a2 + a4 + ::: + a90 = 4095
b) a2 + a4 + ::: + a90 = 315
9.9.
a) n = 19
d) n = 55
b) n = 77
e) n = 12
c) n = 21
f ) n = 111
9.10.
a) S = S48 = 2448
b) S = S18 =
5868
9.11.
W pierwszym tygodniu Pan Abalski ćwiczy÷bez przerwy przez 15 minut.
p
9.12.
a) a12 = 64;
f ) a12 = 1024 3 4;
p
a100 = 294
a100 = 436 3 4
b) a12 = 243;
lub
a
p
100 = 349
p
a12 =
1024 3 4;
c) a
p
12 =
10;
a
4
87
100 =
436 3
a100 = 10 2
g) a
;
d) a
12 =
1
210
12 = 3 10;
a
a100 = 1
100 = 3 98
298
e) a12 =
58;
h) a12 = 1 ;
26
a100 =
58
a
288
100 =
1
294
9.13.
a) q = 1
f ) q =
111 lub q = 1
25
551
4
b) q =
5 lub q = 5
p
g) q = 1 lub q =
1, lub q =
4 3, lub
c) q =
2
p
q =
4 3
d) q = 12p
e) q = 7 40
h) q = 1 lub q = 0
agi
7
p
p
p
9.14.
a) x = 1; y =
1
d) x = 1 +
7; y =
2 +
14
p
p
b) x =
5; y = 5
e) x = 1; y =
2
1
p
c) x = 1; y =
3
f ) x =
3 ; y =
3
3
4
16
n+3
3
n
p n
p
n
9.15.
a) an = 2 2
lub an = ( 1)n 12 2
c) an = ( 1)n 1 +
2
lub an =
2
1
n
1
b) an = ( 1)n2 2
d) an = ( 1)n 3n lub a
2n+1
n =
1
2n+1
9.16.
a) Tak
d) Nie
b) Nie
e) Nie
c) Tak
f ) Tak
9.17.
a) Tak
c) Nie
b) Tak
d) Nie
9.18.
a) S10 = 1 383
d) S
640
10 = 354288
p
b) S10 = 3 2
2
e) S
8
10 = 36
c) S10 = 2046
f ) S10 = 0 lub S10 =
31
9.19.
a) n = 6
b) n = 12
q
9.20.
a) S = 8 2
28
5
c) S = +1, gdy·
z q =
> 1
q
q
5
b) S =
5
1 +
2
lub S = 5 1
2
3
5
3
5
d) S = 16
9.21.
a) 0; 00(14) = 14
c) 0; (721) = 721
9900
999
b) 3; 12(15) = 30903
d) 1; (09) = 12
9900
11
9.22.
Jaś musi zjeść i wrócić do drzewa w ci ¾
agu 32 minut.
p
9.23.
Koniec ósmego segmentu sieci b ¾
edzie po÷
o·
zony w odleg÷
ości 97+56 3 cm od środka sieci.
81
9.24.
Pierwszego dnia na liście musi podpisać si ¾
e 7 osób.
9.25.
r = 2 , q = 7
5
15
9.26.
a =
12, b =
3, c = 6, d =
12
9.27.
Szukane liczby to: 2, 17, 32.