Egzamin z Algebry liniowej i geometrii sesja zimowa 2009/10

Zadanie 1.

࣊

Naszkicować zbiór { z: 1 ≤ Re z ≤ 3 ^ 0 ≤ Arg z ≤ }

૝

Wierzchołki otrzymanej figury zapisać jako liczby zespolone.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: z3 = 8i

Zadanie 3.

Korzystając z metody Gaussa rozwiązać układ:

࢞૚ + ࢞૛ + ૞࢞૜ = −ૠ

൞ ૛࢞૚ + ࢞૛ + ࢞૜ = ૛

࢞

૚ + ૜࢞૛ + ࢞૜ = ૞

૛࢞૚ + ૜࢞૛ − ૜࢞૜ = ૚૝

Zadanie 4.

Zbadać istnienie i liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k

૛࢞ + ࢟ + ૛ࢠ = ૛

൝

࢑࢞ + ࢟ + ࢠ = ૚

૛࢑࢞ + ࢟ + ૛ࢠ = ࢑ + ૚

Zadanie 5.

Dane jest przekształcenie liniowe: f(x, y, z, t) = (-2x + y – t, x + z, -3y – z) Wyznaczyć: Ker f, Im f oraz ich bazy.

Zadanie 6.

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego danego w bazie standardowej przez macierz.

ૠ −૚૛ ૟

൥૚૙ −૚ૢ ૚૙൩

૚૛ −૛૝ ૚૜