Temat 2
Szukanie miejsc zerowych
Tomasz Walocha
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kierunek Metalurgia
Wydział odlewnictwa
Rok I
Grupa VI
Spis treści
1. Cel ćwiczenia
2. Trzy wymienione metody
poszukiwania miejsc zerowych
przedstawione w teorii
3. Badania przeprowadzone na
programie Turbo Delphi
4. Wnioski
1.Cel ćwiczenia
Cel dwiczenia: Celem dwiczenia jest porównanie trzech metod poszukiwania
miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
·ð Metody Bisekcji
·ð Metody siecznych
·ð Metody stycznych
Celem tego dwiczenia jest również porównanie tych trzech metod i wybranie
najdokÅ‚adniejszej przez porównanie otrzymanych wyników do liczby 5Øß.
Wybieramy przedziaÅ‚ w którym znajduje siÄ™ liczba 5Øß i wyliczami dla niego
miejsce zerowe potem porównujemy przybliżenia i wybieramy to które daje
najbliższe przybliżenie z wartoÅ›ci liczby 5Øß które wynosi:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399&
2.Trzy wyminione metody poszukiwania miejsc
zerowych przedstawione w teorii
Metoda Bisekcji- Metoda ta pozwala w prosty sposób wyznaczyd z zadaną dokładnością
pierwiastki równania nieliniowego. Przed przystąpieniem do obliczania należy poznad
najpierw przebieg funkcji by w przybliżeniu określid granice przedziału, w którym znajduje się
szukany pierwiastek (można je oszacowad z większym lub mniejszym przybliżeniem). Metoda
ta może byd stosowana w każdym przypadku, w którym funkcja w granicach podanego
przedziału zmienia znak (po przejściu przez miejsce zerowe). Metoda ta zawsze jest zbieżna
(zbieżnośd liniowa tej procedury gwarantuje odnalezienia pierwiastka równania jednak
kosztem ilości iteracji). Poniższy rysunek obrazuje proces poszukiwania pierwiastków.
Niżej procedura poszukująca pierwiastki zadanego równania.
Metoda Siecznych- W języku łacioskim regula falsi oznacza fałszywą prostą. Ideą tej metody jest
założenie, iż funkcja w coraz mniejszych przedziałach wokół pierwiastka zaczyna przypominad funkcję
liniową. Skoro tak, to przybliżenie pierwiastka otrzymujemy prowadząc linię prostą (sieczną) z
punktów kraocowych przedziału. Sieczna przecina oś OX w punkcie xo, który przyjmujemy za
przybliżenie pierwiastka - gdyby funkcja faktycznie była liniowa, otrzymany punkt xo byłby
rzeczywistym pierwiastkiem.
Poniższy wykres przedstawia metodę graficzna rozwiązania problemu:
Metoda Stycznych- Metoda ta należy do jednych z najszybciej zbieżnych metod służących do
wyznaczania pierwiastków równao nieliniowych. Stopieo zbieżności tej metody wynosi 2.
Zbieżnośd tej metody została osiągnięta dzięki dodatkowemu nakładowi pracy jakim jest
wyznaczenie pochodnej badanego równania. W niektórych przypadkach wyznaczenie
pochodnej jest sprawą bardziej złożoną i zastosowanie tej metody nie jest opłacalne.
Na poniższym rysunku pokazany jest sposób w jaki dążymy do wyznaczenia pierwiastka
równania.
3.Badania przeprowadzone na programie
Turbo Delphi
Badanie nr 1
Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych
Wzór Sin(x) Sin(x) Sin(x)
Przedział [2,4] [2,4] [2,4]
Liczba 1000 1000 1000
Tolerancja: 0.1 0.1 0.1
X0 3.1 3.1 3.1
Dodatkowe informacje: Wsp. Podziału: 0.5 Punk startu:
Badanie nr 2
Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych
Wzór Sin(x) Sin(x) Sin(x)
Przedział [2,4] [2,4] [2,4]
Liczba 1000 1000 1000
Tolerancja: 0.01 0.01 0.01
X0 3,14 3,15 3,14
Dodatkowe informacje: Wsp. Podziału: 0.5 Punk startu: 2
Badanie nr 3
Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych
Wzór Sin(x) Sin(x) Sin(x)
Przedział [2,4] [2,4] [2,4]
Liczba 1000 1000 1000
Tolerancja: 0.001 0.001 0.001
X0 3.141 3.142 3.141
Dodatkowe informacje: Wsp. Podziału: 0.5 Punk startu: 2
Badanie nr 4
Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych
Wzór Sin(x) Sin(x) Sin(x)
Przedział [2,4] [2,4] [2,4]
Liczba 1000 1000 1000
Tolerancja: 0.0001 0.0001 0.0001
X0 3.1416 3.1416 3.1416
3.1416 3.1416 3.1416
Dodatkowe informacje: Wsp. Podziału: 0.5 Punk startu: 2
Badanie nr 5
Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych
Wzór Sin(x) Sin(x) Sin(x)
Przedział [2,4] [2,4] [2,4]
Liczba 1000 1000 1000
Tolerancja: 0.00001 0.00001 0.00001
X0 3.14160 3.14159 3.14159
Dodatkowe informacje: Wsp. Podziału: 0.5 Punk startu: 2
Badanie nr 6
Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych
Wzór Sin(x) Sin(x) Sin(x)
Przedział [2,4] [2,4] [2,4]
Liczba 1000 1000 1000
Tolerancja: 0.000001 0.000001 0.000001
X0 3.141592 3.141593 3.141593
Dodatkowe informacje: Wsp. Podziału: 0.5 Punk startu: 2
4.Wnioski