Zadania z RP1 - 11
1. Zmienna losowa X ma rozk normalny w Rd, o Å›redniej m i macierzy kowariancji ›.
lad
Niech T bedzie przekszta lad
lceniem afinicznym Rd na Rk, k d" d. Udowodnić, że T X ma rozk

normalny w Rk. Wyznaczyć jego średnia oraz macierz kowariancji.
2. . Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk z gestościa
lad


1 x2 - 2xy + 3y2
"
g(x, y) = exp - .
2
2Ä„
Wyznaczyć macierz kowariancji wektora (X, Y ) oraz rozstrzygna ć, czy zmienne X + Y , X - Y
sa niezależne.
3. Niech (&!, F, P) = ([0, 1], B([0, 1]), |·|), X(É) = É2 dla É " [0, 1] i niech G bedzie Ã-cia
lem

generowanym przez zbiory [0, 1/3] i [0, 1/2]. Wyznaczyć E(X|G).
4. Zmienne losowe µ1, µ2 sa niezależne i maja ten sam rozk P(µ1 = -1) = P(µ1 = 1) =
lad
1/2. Wyznaczyć E(µ1|µ1 + µ2).
5. Zmienna losowa X ma rozklad wyk
ladniczy z parametrem 1. Wyznaczyć E(X|[X]).

6. W urnie znajduja sie cztery kule ponumerowane od 1 do 4. Rzucamy kostka, a nastepnie

losujemy ze zwracaniem tyle razy po jednej kuli z urny, ile oczek wypad na kostce. Niech X-
lo
liczba wyrzuconych oczek, Y - liczba wyciagnietych kul z numerem 3. Obliczyć E(Y |X) oraz

E(X|Y ).
7. Zmienna losowa X ma rozk Poissona z parametrem 1. Wyznaczyć E(X| max(X, 2)).
lad
8. Zmienne X1, X2, . . ., Xn sa niezależne i maja ten sam rozk o skończonym pierwszym
lad
momencie. Wyznaczyć
E(X1|X1 + X2 + . . . + Xn).