Zadania z RP1 - 13
1. Zmienne losowe N, X1, X2, . . . sa niezależne, N ma rozk Poissona z parametrem 2,
lad
a Xi maja rozk wyk
lad ladniczy z parametrem 3. Wyznaczyć
E(X1 + X2 + . . . + XN).
2. Zmienne (Xn) sa niezależnymi zmiennymi Rademachera. Udowodnić, że (Xn) nie jest
zbieżny p.n.. Czy (Xn) jest zbieżny wed prawdopodobieństwa?
lug
"
3. Dany jest ciag (Xn) jak poprzednio. Udowodnić, że szereg 2-nXn jest zbieżny p.n.
n=1
i wyznaczyć rozk graniczny.
lad
4. Dane sa ciagi (Xn), (Yn) zbieżne wed prawdopodobieństwa do X, Y , odpowiednio.
lug

Udowodnić, że
a) (Xn + Yn) zbiega do X + Y wed prawdopodobieństwa.
lug
b) (XnYn) zbiega wed prawdopodobieństwa do (XY ).
lug
5. Dany jest ciag (Xn) scentrowanych zmiennych normalnych zbieżny w Lp do X. Udo-

wodnić, że X ma rozk normalny lub jest sta p.n.
lad la
6. Podać przyk ciagu (Xn) zbieżnego p.n. ale nie w L1.
lad

7. Dana jest ca
lkowalna zmienna losowa X. Niech dla n e" 1,
Å„Å‚
ôÅ‚-n jeÅ›li X(É) < -n,
òÅ‚
Xn(É) = X(É) jeÅ›li |X(É)| d" n,
ôÅ‚
ółn jeÅ›li X(É) > n.
Czy (Xn) zbiega do X p.n.? Czy zbiega w L1?
8. Dane sa ciagi (Xn), (Yn) zbieżne p.n. do zmiennych X, Y . Udowodnić, że jeśli dla

każdego n zmienne Xn oraz Yn maja ten sam rozk to X i Y też maja ten sam rozk
lad, lad.