Zadania z RP1 - 12
1. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk jednostajny na [0, 1]2.
lad
a) Wyznaczyć rozk (min(X, Y ), max(X, Y )).
lad
b) Obliczyć E(min(X, Y )| max(X, Y )) oraz E(sin(min(X, Y ))| max(X, Y )).
2. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk z gestościa
lad

x3
g(x, y) = e-x(y+1)1{x,ye"0}.
2
Wyznaczyć E(Y |X).
3. Zmienne losowe X, Y sa niezależne i maja rozk N (0, 1). Wyznaczyć E(X + Y |X -Y )
lad
oraz E(XY |X + Y ).
4. Rzucamy kostka aż do momentu, gdy wyrzucimy szóstke. Wyznaczyć wartość oczeki-

wana sumy wyrzuconych liczb oczek.
5. W urnie znajduje sie 5 bia 6 czarnych i 7 niebieskich kul. Losujemy po jednej kuli ze
lych,

zwracaniem aż do momentu, gdy wyciagniemy kule niebieska. Wyznaczyć wartość oczekiwana

liczby wyciagnietych kul czarnych.

6. Zmienne losowe X, Y sa ca lem.
lkowalne z kwadratem, a G jest Ã-cia Udowodnić, że
E[XE(Y |G)] = E[E(X|G)Y ].
7. Dane sa zmienne losowe X, Y oraz Ã-cia G takie, że X jest mierzalna wzgledem G, a
lo

Y jest niezależna wzgledem G. Udowodnić, że jeśli Ć jest taka funkcja borelowska, że Ć(X, Y )

jest ca
lkowalne, to
E(Ć(X, Y )|G) = f(X),
gdzie f(x) = EĆ(x, Y ).