Zadania 1-8 (z odpowiedziami) powinny Państwu ułatwić opanowanie pierwszej części materiału z
zakresu budowy modelu ekonometrycznego.
Osoby które nie miały ekonometrii na zaliczenie ćwiczeń mogą rozwiązać (i potem omówić ze
mną) zadania Z1-Z6. Zagadnienia te nie będą już przedmiotem egzaminu.
Przedmiotem egzaminu będą zagadnienia z zakresu zastosowań modeli ekonometrycznych (funkcja pro-
dukcji i modele kosztów). Przygotowanie do egzaminu powinny ułatwić zadania 9-13 (z odpowiedziami).
Osoby które miały ekonometrię powinny rozwiązać zadania Z5, Z6, Z7, Z8, Z9, Z10. Liczę
także na udokumentowanie obecności na zajęciach (większości zajęć, o którą prosiłam) notatkami z nich.
1. xt yt
yi  0,5 15,0
i
w tys. sztuk). Zebrane dane przedstawiono w tabeli:
1,5 16,0
a) ą0 + ą1X + �t 2,0 18,0
Yt =
t
2,5 18,0
b)
w
t = yt
" "
2,5 19,5
resztowe su resztowej Ve i wspó -
3,5 20,0
czynnik determinacji R2
Ł 12,5 106,5
Ł
=2,776)
ą
e)
=4 tys. sztuk.
*
2
w
t = + xt se = 0,707 � = 0,1060 3,98%
14 1,8 Ve =
1
�ł - 0,4 106,5 14,0
łł �ł łł �ł łł
a = =
(0,71) (0,31)
�ł- 0,4 0,192śł �" �ł231,25śł �ł
1,8śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1
�ł łł
y* =
19,8 5,8 Prognoza : 21,2 x* = Vp = 0,97 (4,56%)
�ł
�ł4śł
�ł
o
2. W oparciu o podane w tabeli dane o jednostkowym koszcie produkcji cukru (yt yt xt1 xt2
produkcji (x1 o- 16 1 87
2
�ł- 0,985 1
łł �ł - 0,538
łł
14 2 86
R0 = R =
�ł śł �ł- 0,538 1 śł
0,456
�ł �ł �ł �ł 13 4 83
a) jednostkowego
10 5 83
b)
9 6 84
obserwacji c)
6 8 85
Hmax=H1 =xt i szacujemy parame-
1 t1
w
t = 17,4 -1,4xt
try modelu ą0 + ą1X + �t
Yt = otrzymujemy (0,60) (0,12) s2=0,5 Ve=6,24% R2=0,970 Parametry
t
t 28,8 -11,43
=2,776). Wzrost produkcji o 1 tys. ton powoduje spadek kosztu jed-
ą
nost
3.
yt
x1 odzie w latach
x2 =0 gdy akwizytor nie ma dodat-
2 2
=0 dla kobiet)
3 3 3
a- Akwizytor yt xt1 xt2 xt3
cji liniowej zestawione w macierzy R i wektorze R0.:
1 20 1 1 1
0,98 1
�ł łł �ł - 0,79 - 0,55
łł 2 22 2 1 1
�ł- �ł
3 25 3 1 1
R0 = 0,89śł R = 1 0,25śł
�ł śł �ł śł
4 27 4 1 0
�ł- 0,52�ł 1
śł �ł śł
�ł �ł �ł
5 32 5 0 1
6 33 5 0 0
j-
i doko
Hmax=H4=0,976 y=f(x1, x2)
5,5 łł 159
�ł 6 20 4 łł �ł -1,0 - 3,0 �ł łł
T T
�ł20 �ł �ł572śł
w
t = 20,5 + 2,4xt1 - 3,0xt 2
X X = 80 10śł (XT X)-1 = -1,0 0,2 0,5śł X y =
�ł śł �ł śł �ł śł
(1,13) (0,22) (0,68)
4 10 4
�ł śł �ł- 3,0 0,5 2,0�ł 94
śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł
t 18,1 11,1 - 4,4
y*=37,3 Vp=0,73 = 1,96% prognozy.
2 2
se = 0,233 R = 0,995 Ve = 1,82%
4 Za yt xt1 xt2
yi  war- 1 19 1 2
onego) od:
2 17 1 1
xt1 - liczby zatrudnionych (setki osób)
3 21 1 3
xt2
4 19 2 3
1 zatrudnionego)
5 23 2 5
a) Yt = ą0 +ą1Xt1 +ą2 Xt 2 + �t
6 21 3
6
6 10 20 1
�ł łł �ł - 0,5 0,0
łł
T
�ł30 �ł- śł
X X = 20 40śł (XTX)-1 = 0,5 1,3 - 0,5
�ł śł �ł śł
0,0
�ł20 40 84śł �ł - 0,5 0,25śł
�ł �ł �ł �ł
b)
ego.
2
w
t = 18,0 - 2,8xt1 + 2,0xt 2 se = 0,40 Ve = 3,16% R2 = 0,9455
120 1
�ł łł �ł łł
(0,63) (0,72) (0,32) �ł4śł
XTy = 204
�ł śł
x" = y* = 14,8 Vp = 1,65 (11,1%)
�ł śł
�ł
t 28,5 - 3,88 6,33
�ł416śł
�ł
�ł4śł
�ł �ł
5. Pra-
yt xt1 xt2
cownik
liniowego Yt = ą0 + ą1 X + ą2 X + �t a-
t1 t 2
1 21 0 1
yt
2 20 1 1
przy x1
3 15 3 1
x2 =0 dla kobiet)
2 2
4 15 4 1
20,0 4
�ł łł �ł - 0,3 - 3
łł
Otrzymano:
5 13 5 1
�ł-1,6 (XTX)-1 = 0,3 0,03 0,2
śł �ł-
śł
a =
�ł śł �ł- 3 0,2 2,5śł
6 10 7 1
1,0
�ł �ł �ł �ł
7 4 10 0
a) =2.776)
ą
98 30 6
Ł
Ł
b)
a
2
a) t0=14,1 t1=  13,1 t2 a2 jest statystycznie nieistotna
se = 0,5
b) Dopasowanie do obserwacji empirycznych dobre (V=5,05% R2=0,99) ale mimo dobrego dopasowania modelu do danych, ze
6. o- xt 0,20 0,25 0,40 0,50 1,00 2,00
wego koszu produkcji nowego wyrobu (yt xt yt 65 61 48 37 35 24
1
=
Yt ą0 +ą1 + �t
xt
1
2 2
w
t = 22,50 + 9,00 se = 13,75 � = 0,0433 V = 8,24%
xt
(2,83) (0,96)
x y ln x ln y
7. W tabeli podano dane o dochodach (xt yt
1,000 2,718 0,0 1,0
1,221 3,320 0,2 1,2
ą1 t 1,822 4,482 0,6 1,5
Yt = ą0 �" xt �" e� o-
2,226 6,686 0,8 1,9
dów w badanych rodzinach 2,718 9,974 1,0 2,3
4,055 13,464 1,4 2,6
4,0 10,5
Ł
2
ln w
t = 0,95 +1,20 ln xt se = 0,0138 � = 0,0278 V = 6,7% w
t = 2,586 x1,2 (e0,95=2,586)
(0,08) (0,10)
t-
 8. y- x y ln x ln y
o- 3,669 1,65 1,3 0,5
ą1 t
3,004 1,82 1,1 0,6
wego Yt = ą0 �" xt �" e�
2,718 2,23 1,0 0,8
2,460 2,72 0,9 1,0
2,014 3,00 0,7 1,1
2
ln w
t = 1,90 -1,10 ln xt se = 0,0775 � = 0,0692 V = 9,68% w
t = 6,686 x-1,1 (e1,9=6,686)
(0,18) (0,17)
Zadania do samodzielnego rozwiązania (i omówienia) na zaliczenie ćwiczeń
Z1.
yt
 w
1
2
ymano:
�ł- 0,98 1 - 0,90
łł �ł łł
R0 = R =
�ł śł �ł- 0,90 1
śł
0,86
�ł �ł �ł �ł
yt xt1 xt2
15 9 20
16 8 20
19 7 30
22 6 31
23 5 35
25 5 30
Hellwiga
d.
Z2. W pewnej firmie produkcyjnych wydaj-
ci pracy (yi y-
ce:
x1
x2
x3
tabela
otrzymano:
r01= - 0,95 r02 = 0,92 r03 = 0,89 r12 = - 0,77 r13 = - 0,90 r23 = 0,77
yt xt1 xt2 xt3
1 10 10 1 20
2 14 7 1 30
3 16 4 1 30
4 19 5 2 30
5 21 3 2 30
6 25 1 3 40
a. M
b. cymi
c. weryfikacja)
d. wyników
 Z3. W pewnej firmie ubezpieczeniowej postanowiono zale - Agent yt xt1 xt2
ci  1 14 1 1
yt)
2 17 3 1
x1 w zawodzie (lata)
3 17 4 1
x2 =0 dla kobiet)
2 2
4 19 5 1
5 20 7 1
6 26 10 0
30 5
Ł 113
Ł
6
łł
6 30 5 �ł - 0,5 - 4
�ł łł
�ł-
śł
XTX = 30 200 20 (XT X)-1 = 0,5 0,05 0,3
�ł śł
�ł- 4 0,3 3 śł
�ł 5 20 5 śł
�ł �ł
�ł �ł
a) ego Yt = ą0 + ą1Xt1 + ą2 Xt 2 + �t
b) etrów strukturalnych (tą=2,447)
c) odelu do obserwacji empirycznych.
d a-
w zawodzie 8 lat,
Z4. Pra-
yt xt1 xt2
yt  w tys. sztuk mie cownik
xt1  17 0 1
1
xt2 =0 gdy nie ma wy-
t2 2
19 1 1
2
enia zawodowego)
21 3 1
3
Yt = ą0 +ą1Xt1 +ą2Xt 2 + �t
i otrzymano:
23 4 1
4
14,0 4
�ł łł �ł - 0,3 - 3 26 5 1
łł 5
�ł �ł-
28 7 1
a = 1,6śł (XTX)-1 = 0,3 0,03 0,2śł 6
�ł śł �ł śł
30 10 0
7
3,0�ł
�ł śł �ł - 3 0,2 2,5�ł
śł
�ł �ł
a) resztowe se
Ł
164 30 6
2
b) resztowej Ve i w oparciu o
nie oce
=2,776)
ą
d) nego modelu.
e)
edykcji
Z5.
wyrobu (yt w tys. sztuk) od testowanej jego ceny (xt
1
Yi = ą0 + ą1 + �i
X
i
od jego ceny.
xi 2,00 1,00 1,00 0,50 0,40 0,25
yi 32 23 19 16 15 14
Z6. W tabeli podano informacje o cenie pewnego wyrobu (xt yt w tys. sztuk).
ą1 t
Yt = ą0 �" xt �"e� opisuj -
yrobu od jego ceny.
=2,776).
ą
xt yt ln yt ln xt
1,000 60,340 4,1 0,0
1,222 44,700 3,8 0,2
1,822 33,120 3,5 0,6
2,226 22,200 3,1 0,8
2,718 20,090 3,0 1,0
4,057 18,170 2,9 1,4
9. i 30 l-
Kt ( Lt (osoby) opisuje funkcja:
Ć
Qt = 1,6Kt 0,5Lt 0,7e0,005t
opisany funk
o
a)
Taka sama
(ze 150) odejdzie na renty
zdrowotne ? e) Jak y
g) O
"Q
b) �=0,5+0,7=1,2; c) ł d)
= 0,5�" 0,07 + 0,7 �" (-0,04) = 0,007
Q
"L "L
e) f) (ob-
"W /W = 0,5�" 0,7 - 0,3�" (-0,04) = 0,047
0,065 = 0,5 �" 0,07 - 0,3 = -0,10
L L
g) Przy K=30 L=150, RLK=0,28
RLK = 1,4K / L
10. u-
szt): C(Q) = 0,8 Q2 + 216Q + 9680
a) imum.
b) e-
c)
dku.
d)
a) Qopt
b) Q=137,5 tys. szt. Z(137,5)=5445 z(137,5)=39,6. c) Q1=55 tys. szt. Q2=220 tys. sztuk.
11.
Kt ( Lt (osoby) opi-
Ć
Qt = 1,8Kt 0,5Lt 0,4e0,003t .
suje funkcja:
a) odukcji
b) Taka
sama
c
d ego ?
e o-
dukcji (K=10
b) ł=
a) EQ / K = 0,5 EQ / L = 0,4 � = 0,9
"Q "L
c) e) RKL=10 (wycofany 1
= 0,05
= 0,015 = 1,5% d)
Q L
12. l-
C(Q) =1,3 Q2 + 630 Q +18 720
a)
b)
nie ma problemów ze zbytem swych wyrobów) c) i-
nimalizacja kosztu jednostkowego. Ile w tym przypadku wy
a) Q=150 tys. szt. Z(150)=10 530 z(150)=70,2, b) Q1=60 tys. szt. Q2 w-
azane zmniejszenie produkcji, c) Qopt
1
13.

(Q) = 120 + 99 200
Q
szt)
n-
d
o-
a) kowitego Z=152Q-(120Q+99 200) Z=0 przy Q=3100, a
400 jest rentowna. Z(4400)=41
Zadania z zastosowań do rozwiązania dla osób, które miały ekonometrię
Z7.
Qt Kt (
0,6 - 0,002 t
Ć
Qt = 2,1Kt 0,5Lt e
Lt (osoby) opisuje funkcja : ,
a)
b)
" taka sama " " "
d)
e) Jak zatem zmienić zatrudnienie aby przy 6% spadku wartości majątku trwałego utrzymać zespołową wy-
dajność na niezmienionym poziomie ?
f) Obliczyć i zinterpretować krańcową stopę substytucji majątku trwałego przez zatrudnienie przy aktualnych
nakładach czynników produkcji Jaką ilością zatrudnionych należałoby zrekompensować zmniejszenie
wartości majątku trwałego o 1,2 mln zł aby utrzymać produkcję na niezmienionym poziomie ?
Z8 Qt Kt (
Ć
Qt = 0,8Kt 0,6Lt 0,3e0,003t
Lt (osoby) opisuje funkcja
a)
6% 12 % 5,4 % 6,6 %
c) Czy w przyszłym roku  jeżeli nie zmienią się nakłady czynników produkcji  produkcja będzie:
o Taka sama
f)
aby utrzy
Z9.
o
C(Q) = 0,8Q2 + 400 Q +11520
a)
b)
c)
Z10. Dla pewnego wyrobu oszacowano funkcję kosztów jednostkowych i otrzymano:
1

(Q) = 20 + 29 700
Q
gdzie: c(Q)  jednostkowe koszty produkcji (zł)
Q  wielkość produkcji (szt)
a. Czy produkcja na aktualnym poziomie 4400 sztuk jest rentowna? Ile wynosi zysk jednostkowy i zysk
całkowity przy cenie wynoszącej 29 zł za sztukę.
b. Ze względu na trudności ze zbytem wyrobu rozważana jest obniżka ceny, Do jakiego poziomu można
obniżyć cenę aby produkcja na poziomie 4400 sztuk nie przynosiła strat?