Propozycje zadań na kolokwium II IL, semestr 1, 2008/09
Oprócz poniższych zadań, należy umieć rozwiązać wszystkie zadania z ćwiczeń do ruchu
drgającego włącznie, przykłady z wykładów i wyprowadzenia wzorów
Energia potencjalna. Zasada zachowania energii mechanicznej.
1. Nieważka sprężyna może byd ściśnięta o pod wpływem siły . Ta sama sprężyna została umieszczona przy
podstawie doskonale gÅ‚adkiej równi pochyÅ‚ej, o kÄ…cie nachylenia bð. CiaÅ‚o o masie M, pozostajÄ…ce poczÄ…tkowo w
spoczynku na szczycie równi, zaczyna ześlizgiwad się w dół. Ciało to zatrzymuje się natychmiast po ściśnięciu
sprężyny o . (a) Jaką odległośd przebywa ciało do chwili zatrzymania się? (b) Jaką prędkośd ma to ciało
bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną?
Odp. (a) . (b) .
2. Dwa satelity, każdy o masie m, mają byd wysłane na kołowe orbity dokoła środka Ziemi. Satelita A ma krążyd na
wysokości R, a satelita B na wysokości 3R nad powierzchnią Ziemi. Jaki jest stosunek energii potencjalnych
satelitów A i B na orbitach (wyprowadz
wzór na energię potencjalną!)? Jaki jest stosunek ich energii kinetycznych?
Który z nich ma większą energię całkowitą? Czy energia mechaniczna satelity na orbicie jest zachowana i dlacze-
go? R  promieo Ziemi, M- masa Ziemi dane.
Wskazówka: Siła grawitacji jest siłą centralną (co to znaczy?), zatem zachowawczą (co to znaczy?) i w polu takiej
siły energia mechaniczna jest zachowana. Ruch satelity na orbicie kołowej odbywa się pod wpływem siły
grawitacji: , . Stąd można obliczyd energię kinetyczną
Energia mechaniczna i siły niezachowawcze
1. Ciało o masie m pchnięto w górę po równi pochyłej, nachylonej do poziomu pod kątem , z szybkością
początkową . Okazało się, ze ciało przebyło drogę s, zatrzymało się i ześliznęło w dół. Obliczyd współczynnik
tarcia f oraz szybkośd ciała przy podstawie równi.
Wskazówka: energia mechaniczna nie jest zachowana  należy uwzględnid pracę wykonaną przez siłę tarcia.
, , bo
Dla ruchu w dół równi:
2. Sprężyna o współczynniku sprężystości k, której masę pomijamy, umocowana jest poziomo. Ze sprężyną tą
zderza się ciało o masie m powodując jej ściśnięcie o , licząc od położenia równowagi. Obliczyd prędkośd ciała w
chwili zderzenia, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego między ciałem a poziomą powierzchnią, równy jest f.
Wskazówka: energia mechaniczna nie jest zachowana  należy uwzględnid pracę
wykonaną przez siłę tarcia: .
Zasada zachowania pędu
1. Cząsteczka gazu mająca prędkośd zderza się sprężyście z drugą taką samą cząsteczką, która początkowo
spoczywa. Po zderzeniu pierwsza czÄ…steczka porusza siÄ™ pod kÄ…tem 300 do pierwotnego kierunku ruchu. Znalez
d
prędkośd każdej cząsteczki po zderzeniu i kąt, i kąt, jaki tworzy odrzucona cząsteczka z kierunkiem.
Wskazówka: pęd i energia kinetyczna w zderzeniu są zachowane, patrz: równania z wykładu 6.
2. W spoczywającą kulę bilardową uderza sprężyście identyczna kula poruszająca się z szybkością m/s.
Po zderzeniu szybkośd jednej kuli wynosi 1,1m/s, a jej kierunek tworzy z pierwotnym kierunkiem kąt równy
600. (a) obliczyd wartośd prędkości drugiej kuli . (b) Jak zmieniłyby się wartości prędkości i kąt dla zderzenia
niesprężystego?
1
Zasada zachowania pędu, energii mechanicznej
1. Kula drewniana o masie M ułożona została na metalowym pierścieniu zamocowanym w statywie. Z dołu w kulę
trafia pocisk o masie m lecący pionowo do góry i przebija ją. W wyniku tego zderzenia kula podnosi się na
wysokośd h. Na jaką wysokośd H podniesie się pocisk, jeśli jego szybkośd przed zderzeniem wynosiła .
Wskazówka: korzystamy z zasady zachowania energii i obliczamy szybkośd kuli po zderzeniu: ,
podobnie pocisku: . Podstawiając te wyrażenia do zasady zachowania pędu w czasie zderzenia
dostajemy: .
2. Rakieta o masie M zostaÅ‚a wystrzelona z ziemi z prÄ™dkoÅ›ciÄ… pod kÄ…tem að do poziomu. W najwyższym
punkcie toru rakiety został wyrzucony w kierunku przeciwnym do jej ruchu gaz o masie m z prędkością u
względem rakiety. Znalez
d wysokośd, na jaką wzniesie się rakieta oraz zasięg rakiety.
Wskazówka: z zasady zachowania energii: . Korzystamy ze wzorów na prędkośd i zasięg w
rzucie ukośnym oraz z zasady zachowania pędu: aby znalez
d prędkośd rakiety
po wyrzuceniu gazu. Zasięg: .
Zasada zachowania momentu pędu
1. Kulkę przywiązano do linki, która przechodzi przez pustą rurkę i wprawiono w ruch. Kulka obracała się w
płaszczyz
nie poziomej po okręgu o promieniu z szybkością . Pociągając za linkę w dół skrócono promieo do
wartości . Znalez
d wartośd prękości liniowej oraz kątowej . Z jakiego prawa korzystamy? Uzasadnid, że jest
ono spełnione w tych warunkach.
Wskazówka: Siła działająca na kulkę jest siłą radialną, można wykazad, że moment siły jest równy zeru.
Moment pędu jest zatem zachowany i korzystamy z zasady jego zachowania.
2. Człowiek stoi na stoliku, który może się obracad wokół pionowej osi. w swoich rękach trzyma koło rowerowe.
Koło obraca się dokoła pionowej osi z szybkością kątową . Człowiek będąc sam w spoczynku stara się zmienid
kierunek obrotu koła odchylając jego oś obrotu od pionu o kąt 900 i 1800. Wytłumacz jak i dlaczego zmieni się ruch
tego układu.
3. Dziewczyna o masie m stoi na brzegu karuzeli (o masie 10m, promieniu R i momencie bezwładności ), która się
nie porusza. Dziewczyna rzuca kamieo o masie M w kierunku poziomym, stycznie do zewnętrznego promienia
karuzeli z szybkością względem podłoża. Jaka jest szybkośd kątowa karuzeli po wyrzuceniu kamienia? A szybkośd
liniowa dziewczyny?
Odp: ,
Ruch harmoniczny prosty
1. Przyczepiony do sprężyny klocek może ślizgad się bez tarcia po poziomej płaszczyz
nie. Jedyną siłą decydującą o
drganiach klocka jest w tym przypadku siła działająca ze strony sprężyny. Jeśli układ sprężyna -klocek zostanie
zawieszony, to o ruchu klocka będzie również decydowad siłą ciężkości. (a) Czy w związku z tym częstości drgao
klocka będą różne? (b) Pokazad, że kiedy masa spada z położenia odpowiadającego nierozciągniętej sprężynie do
położenia odpowiadającego równowadze statycznej, połowa straty grawitacyjnej energii potencjalnej idzie na
wzrost energii potencjalnej sprężyny, a połowa na wzrost energii kinetycznej układu. (c) Rozważyd ruch wokół
położenia równowagi. Wyliczyd oddzielnie zmiany grawitacyjnej energii potencjalnej i sprężystej energii
potencjalnej, gdy masa porusza się w górę.
Wskazówka: Napisz równanie ruchu dla każdego przypadku, warunki początkowe i rozwiązania równao, czyli
zależnośd wychylenia z położenia równowagi od czasu. Jak zmieni się położenie równowagi statycznej w drugim
przypadku?
2
 2. Napisad równanie ruchu i obliczyd okres drgao klocka o masie m zawieszonego na dwóch
nieważkich sprężynach w sposób pokazany na rys. Jedna sprężyna ma współczynnik sprężystości k1,
druga k2. Znalez
d wyrażenia na energię kinetyczną i potencjalną klocka.
0dp. , , przy warunkach
poczÄ…tkowych: t=0, .
3. Zaniedbując lepkośd wyznaczyd okres małych drgao słupa wody znajdującej się w szklanej rurce
wygiętej w kształcie litery U. Długośd części rurki wypełnionej wodą wynosi l. Jak zmieni się okres
drgao, gdy rurka zostanie umieszczona w windzie poruszajÄ…cej siÄ™ z przyspieszeniem a?
Wskazówka: Napisz równanie ruchu  po wychyleniu cieczy z położenia równowagi niezrównoważony słup cieczy
ma wysokośd 2x, a na ciecz działa pochodząca od niego siła (wyprowadz
ten wzór!), .
W windzie na wodę działa siła (uzasadnij dlaczego!) i .
4. Pozioma sprężyna pod wpływem siły F0 rozciągnęła się o w porównaniu z jej stanem swobodnym
(równowagi). Następnie do jej kooca przyczepiono klocek o ciężarze Q i rozciągnięto ją o x1 względem położenia
równowagi. Ciało to leży na doskonale gładkiej powierzchni. Jaki ruch będzie wykonywało, po puszczeniu go?
(a) Znajdz
współczynnik sprężystości sprężyny. (b) Napisz równanie ruchu i znajdz
zależnośd wychylenia od czasu
okres drgao. (c) Oblicz amplitudę ruchu A i maksymalną prędkośd klocka. (d) Jakie jest maksymalne
przyspieszenie ciała i kiedy występuje? (e) Znajdz
prędkośd, przyspieszenie i energię kinetyczną i potencjalną
klocka, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym a położeniem równowagi.
Wskazówka do (e): w punkcie tym . Z zasady zachowania energii mech.
, .
5. Klocek o ciężarze Q zawieszono na sprężynie o współczynniku sprężystości k. Z dołu w kierunku klocka
wystrzelono z prędkością pocisk ważący Qp. Pocisk ten utkwił w klocku. (a) znalez
d amplitudę powstałego ruchu
harmonicznego prostego. (b) Jaka częśd początkowej energii kinetycznej została zmagazynowana w oscylatorze
harmonicznym? Czy mamy tu do czynienia ze stratą energii  wyjaśnij!
Wskazówka: Najpierw skorzystaj z zasady zachowania pędu i znajdz
prędkośd klocka z pociskiem. Potem skorzystaj
z zasady zachowania energii i znajdz
amplitudÄ™.
Drgania tłumione
1. Kuleczka na rysunku posiada masę m, a współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k. Za łóżmy, że
ciało wychylono o w dół, a następnie puszczono. Przy założeniu, że opór ośrodka dany jest
wyrażeniem  , (b - dane) znalez
d liczbę oscylacji wykonanych przez ciało w przedziale czasu
potrzebnym na to, by amplituda spadła do wartości początkowej.
Wskazówka: wychylenie (t=0, ), .
.
Literatura
D.Haliday, R.Resnick: Fizyka, t.1
W.Dziurda, T.Stępieo,& : Zbiór zadao z fizyki z rozwiązaniami, cz.1
B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK.
A.Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.1.
3