K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
VIII.
Śą
�ą
VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU,
(VIII.1.1)
Śą
L= r� p
Śą Śą
(VIII.1.2)
p=m v
Śą Śą
Z (VIII.1.1) i (VIII.1.2) wynika (VIII.1.1a):
Śą
L=| L |=mvr (VIII.1.1a)
Śą Ą"Śą
r v
�ą r=v (VIII.1.3)
Z zależności (VIII.1.1a) oraz (VIII.1.3) wynika, że kręt elektronu jest równy:
L=mr2�ą (VIII.1.1b)
Elektron jest to cząstka obdarzona masą, ale równocześnie jest ładunkiem poruszającym
się. Jest on równoważny bezprzewodowemu przepływowi prądu. Elektron orbitalny ma
|�ą|
Śą
własności magnetyczne (jest dipolem magnetycznym ).
#"�ą#"=�ą=i S (VIII.1.4)
Śą
 1 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
S  powierzchnia obwodu,
i  natężenie prądu w obwodzie, wyraża się ono wzorami (VIII.1.5a)  w układzie Gaussa
oraz (VIII.1.5b)  w układzie SI:
e
i=
(VIII.1.5a)
c �ą
e
i=
(VIII.1.5b)
�ą
�  okres obiegi elektronu po orbicie
Rys.VIII.1. Schematyczne przedstawienie orbity atomu.
1
dS = rdl
(VIII.1.6)
2
dl = rd �ą (VIII.1.7)
 2 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
1
dS = r2 d �ą
(VIII.1.8)
2
2 Ćą
1
(VIII.1.9)
S = dS = r2 d �ą
+" +"
2
0
La" p�ą , gdzie p�ą oznacza pęd uogólniony ze względu na współrzędną Ć.
Z wzoru (VIII.1.1b) wynika:
p�ą p�ą dt
r2 = = (VIII.1.10)
m �ą m d �ą
Ł
Z wzorów (VIII.1.9) i (VIII.1.10) otrzymujemy, że powierzchnia S obwodu wynosi:
2Ćą
p�ą dt p�ą � p�ą
1
(VIII.1.11)
S= d �ą= dt= �ą
+" +"
2 m 2m 2m
d �ą
0 0
Wyrażenie (VIII.1.11) otrzymaliśmy przechodząc z całkowania po kącie na całkowanie po
czasie, przy czym: jeżeli �ąT [0, 2 Ćą ), to t T [0,�ą]
Z wzorów: (VIII.1.4), (VIII.1.5) oraz (VIII.1.11) otrzymujemy wzór na moment magnetyczny
elektronu:
p�ą
e e
�ą = iS = �ą = p�ą (VIII.1.12)
c �ą 2m 2mc
�ą
e
= = const
(VIII.1.13)
p�ą 2mc
Stosunek momentu magnetycznego dipolowego do momentu pędu (krętu) jest wielkością
stałą.
Wektorowo:
e
�ą= p�ą
Śą Śą (VIII.1.14)
2mc
La" p�ą:
A ponieważ
 3 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
e
Śą
�ą= L
Śą (VIII.1.15)
2mc
Z teorii Wilsona  Sommerfelda wynika, że
p�ą = L = n�ą!
(VIII.1.16)
Z wzorów (VIII.1.13) oraz (VIII.1.16) otrzymujemy:
eh df
�ą = n�ą = �ąBn�ą
(VIII.1.17)
4 Ćąmc
n�ą=1,2 ,3 ,...
gdzie
Magneton Bohra:
 w układzie Gaussa
eh e '

�ąB = =
(VIII.1.18)
4 Ćą mc 2mc
n�ą = 1
Z (17) i (18) wynika, że dla :
�ąB = �ą
Jest to wówczas moment magnetyczny atomu wodoru w stanie podstawowym.
 w układzie SI:
e !
�ąB=
(VIII.1.18a)
2m
Wartość liczbowa magnetonu Borha wynosi:
ź = 0,927�10-20 erg /Oe = 9,274�10-24 J /T
B
VIII.2. PRECESJA LARMORA
Jest to częstość wirowania momentu magnetycznego, który ustawiony pod kątem ą do
pola magnetycznego precesuje wokół pola.
 4 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
a) częstość kołowa
eB
(VIII.2.1a)
�ąL=
2mc
b) częstość liniowa
eB
(VIII.2.1b)
f =
L
4Ćą mc
�L~B
�ąL`" f śą�ąźą
Z (VIII.2.1a) wynika, że: oraz że
Śą
L , ź
VIII.3. KWANTOWANIE PRZESTRZENNE Śą
Jeśli zbiór wartości danej wielkości nie jest ciągły  to jest skwantowany. Orientacja
przestrzenna wektorów również jest skwantowana, co nazywa się kwantyzacją
przestrzenną.
Jeżeli normalna do powierzchni jest skwantowana, to orientacja powierzchni jest
skwantowana.
Kwantyzacja orbity
Śą
Założenie 1: B=const (pole jednorodne).
Założenie 2: pole magnetyczne nie zaburza kształtu orbit (teoria Wilsona  Sommerfelda).
Współrzędne sferyczne:
P: (r,Ń,�)
x = r sin Ń cos �
y = r cos Ń sin �
z = r cos �
pĆ = const Śą ą = const
Śą
 5 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
(VIII.3.1)
p�ą = p�ą�"cosśą�ąźą
(VIII.3.2a)
r Śą pr : pr dr = nr h
."
(VIII.3.2b)
� Śą p� : p� d� = n� h
."
(VIII.3.2c)
�ąŚą p�ą: p�ąd �ą = n�ąh
."
nr , n�ą , n�-liczby kwantowe
m
Ł
Ek = rŁ2�ąr2�Ł2�ąr2sin2śą� źą�"�ą2
śą źą (VIII.3.3)
2
" Ek
pr = = m Y (VIII.3.4a)
" Y
" Ek
Ł
p� = = mr2� (VIII.3.4b)
Ł
"�
" Ek
p�ą = = mr2sin2��"�ą (VIII.3.4c)
Ł
"�ą
Ł
p�ą=const
Z wzoru (VIII.3.1) wynika, że , więc:
2
p�ąd� = p�ą �ą = p�ą�"2Ćą (VIII.3.5)
." +"Ćąd
0
Z zależności (VIII.3.5) oraz (VIII.3.2c) wynika:
2 Ćą p�ą = n�ą h
(VIII.3.6)
p�ą = n�ą!
(VIII.3.7)
LZ=m !  rzut wektora L
m  magnetyczna liczba kwantowa  rzut na kierunek pola magnetycznego
 6 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
p�ą=n�ą!
(VIII.3.8)
n�ą=l
 orbitalna liczba kwantowa
p�ą n�ą
=
(VIII.3.9a)
p�ą n�ą
Z wzoru (VIII.3.1) otrzymujemy:
p�ą
=cos�ą
(VIII.3.9b)
p�ą
Z wzorów (VIII.3.9a) i (VIII.3.9b):
n�ą
cos�ą=
(VIII.3.10)
n�ą
Wzór (VIII.3.10)  skwantowanie ą
#"cos �ą#"ąą1
n�ą=m=0,ą1, ą2,....n�ąa"l
Przykłady kwantyzacji przestrzennej:
a)
n�ą=1
m=0,ą1
 trzy możliwe orbity
 7 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
b)
n�ą=2
m=0, ą1, ą2
5 możliwych orbit
VIII.4. ENERGIA ELEKTRONU NA ORBICIE ZORIENTOWANEJ.
W 2D (dwóch wymiarach): Energia E = E(r, �)
W 3D (trzech wymiarach): Energia E = E(r,Ń,�)
E(r, �) = E(r,Ń,�)
pr Y�ą p�ą�ą= prY �ą p�ą�ą�ą p�ą�ą
Ł Ł
(VIII.4.1)
Ł
p�ą�ą= p�ą�ą�ą p�ą�ą
Ł Ł
(VIII.4.2)
p�ą d �ą= p�ąd �ą�ą p�ą d �ą
(VIII.4.3)
p�ąd �ą= p�ą �ą�ą p�ąd �ą (VIII.4.4)
." ." ."
Z reguł Wilsona  Sommerfelda otrzymujemy:
n�ą = n�ą�ąn�ą
(VIII.4.5)
2
2Ćą2me4 Z 2 Ćą2e4 Z2 m 2 Ćą3 me4 Z2 (VIII.4.6)
En = - = - = -
h2n2 h2śąnr�ąn�ąźą2 h2śąnr�ąn�ą�ąn�ąźą2
 8 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Wniosek:
Energia zależy od sumy wszystkich liczb kwantowych.
Śą
�ą na B
VIII.5. KWANTYZACJA RZUTU Śą .
�ą'=�ą�"cos �ą
�ą'
cos�ą=
(VIII.5.1)
�ą
e
�ą= p�ą
2mc
�ą'
m
=
(VIII.5.2)
n�ą
�ą
m
�ą' =�ą�"
(VIII.5.3)
n�ą
�ą
=�ąB
n�ą
�ą'=m�ąB
(VIII.5.4)
m=0, ą1, ą2, .... ,ąn�ąśą lźą
Śą
Kwantyzacja przestrzenna obejmuje oba wektory: L i �ą
Śą
 9