KONSTRUKCJE SPR
ŻONE
" Obliczeniowe wartości siły sprężającej w stanie granicznym nośności
Wg PN-02 [1]:
Pd = ł �" Pm,t (1)
p
W przypadku obliczeń nośności na docisk oraz określenia zbrojenia pod zakotwieniami należy obliczać, że:
Pd = Fpk (2)
gdzie:
ł - częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla siły sprężającej równy:
p
0,9 lub 1,0 dla efektów korzystnych
1,2 lub 1,0 dla efektów niekorzystnych (początkowa sytuacja obliczeniowa)
Fpk - charakterystyczna siła zrywająca cięgno.
Wg EN 2 [2]:
Pd = ł �" Pm,t (3)
p, fav
Pd = ł �" Pm,t (4)
p,unfav
" Sprężenie w większości przypadków jest uważane za efekt korzystny i dlatego w stanie granicznym nośności należy zastosować
współczynnik ł równy 1,0 dla stałej i przejściowej kombinacji obciążeń.
p, fav
" Przy obliczaniu stateczności w stanie granicznym nośności w konstrukcjach ze sprężeniem zewnętrznym, w których zwiększenie
siły sprężającej jest efektem niekorzystnym, należy stosować współczynnik ł . Zalecana wartość tego współczynnika wynosi
p,unfav
1,3.
" Przy obliczaniu efektów lokalnych należy także stosować ł o zalecanej wartości 1,2. Dotyczy to również sprawdzania
p,unfav
nośności przekroju w sytuacji początkowej.
W analizie elementów sprężonych cięgnami bezprzyczepnościowymi należy uwzględnić odkształcenie całego elementu podczas
obliczenia przyrostu naprężeń w cięgnach. Jeśli nie przeprowadza się dokładnych obliczeń, można założyć, że przyrost naprężeń od
efektywnego sprężenia do naprężeń w stanie granicznym użytkowalności wynosi "� = 100MPa .
p,uls
Jeśli przyrost naprężeń jest obliczany w stanie odkształceń całego elementu, stosować należy średnie wartości własności materiałowych.
Wartości obliczeniowe przyrostu naprężeń "� = "� �"ł powinny być wyznaczane przy użyciu częściowych współczynników
pd p "p
bezpieczeństwa ł i ł . Zalecane wartości ł =1,2 i ł = 0,8.
"p,sup "p,inf "p,sup "p,inf
Jeśli stosuje się liniową analizę przekroju niezarysowanego, można przyjąć dolną granicę odkształceń i wówczas: ł = ł =1,0 .
"p,sup "p,inf
" Charakterystyczne wartości siły sprężającej w stanie granicznym użytkowalności
Wielkości sił Pk ,sup i Pk ,inf są granicami przedziału tolerancji i uwzględniają niedokładność wprowadzenia sił sprężających do
konstrukcji oraz oszacowania ich wartości końcowych.
Wg PN-02:
Pk ,sup = rsup �" Pm,t (5)
Pk ,inf = rinf �" Pm,t (6)
gdzie: rsup = 1,1- współczynnik wyznaczający górną wartość siły sprężającej w stanie
granicznym użytkowalności.
rinf = 0,9 - współczynnik wyznaczający dolną wartość siły sprężającej w stanie
granicznym użytkowalności.
Wartości rsup = 1,1 i rinf = 0,9 przyjmuje się wtedy, jeśli dokładniejsze ich określenie nie jest możliwe. Dodatkowo, wstępnie szacuje
się, iż suma strat doraz
nych i reologicznych jest nie większa niż 30% początkowej siły sprężającej.
Wielkości Pk ,sup i Pk ,inf można wyrazić w postaci:
Pk ,sup(x,t)= (1+ )�" Pm(x,t) (7)
Pk ,inf (x,t)= (1- )�" Pm(x,t) (8)
Zakładając, że z uwagi na precyzję manometrów zmienność siły P0 wynosi ą2% zaś niedokładność oceny wszystkich strat wynosi
ą20%, wówczas:
Pk ,sup =1,02�" P0 - 0,8�" "P(x,t) (9)
Pk ,inf = 0,98�" P0 -1,2�" "P(x,t) (10)
przy Pm(x,t)= P0 - "P(x,t) (11)
"P(x,t)
0,02 + 0,2�"
Pk ,sup(x,t)- Pm(x,t)
1,02�" P0 - 0,8�""P(x,t)- P0 + "P(x,t) P0
 = = =
"P(x,t)
Pm(x,t) P0 - "P(x,t)
1-
P0
"P(x,t) "P(x,t)
Dla = 0,30, wartość  = 0,11, zaś dla = 0,15 wartość  = 0,05 .
P0 P0
Wg EN-2:
Najwyższa wartość charakterystyczna:
Pk ,sup = rsup �" Pm,t ( x ) (12)
Najniższa wartość charakterystyczna:
Pk ,inf = rinf �" Pm,t ( x ) (13)
gdzie wartości rsup i rinf mogą być przyjmowane:
" dla strunobetonu i cięgien bez przyczepności rsup =1,05 i rinf = 0,95 ,
" dla kablobetonu i cięgien związanych z przekrojem poprzez iniekcję rsup =1,10 i rinf = 0,90 .
" jeśli poczynione zostały odpowiednie pomiary (np. bezpośredni pomiar siły sprężającej w warunkach użytkowalności) można
przyjąć, że rsup = rinf = 1,0 .
" Częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla materiałów
Przyjęte przez PN-02 i EC 2 częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla materiałów w stanach granicznych nośności ł i ł podano
c s
w tablicy 1.
Tablica 1. Częściowe współczynniki dla materiałów w stanach granicznych nośności
ł dla stali ł dla stali
ł dla
Sytuacje
c s p
obliczeniowe
betonu zbrojeniowej
sprężającej
Trwała i
1,5 1,15 1,25*
Wg PN- przejściowa
02
1,3 1,0 1,0
Wyjątkowa
Trwała i
Wg EC 2 przejściowa 1,5 1,15 1,15
Spowodowana 1,2 1,0 1,0
wypadkiem
0,9�" f
pk
*Prowadzi to do zbyt dużej redukcji wytrzymałości obliczeniowej � = = 0,72�" f
p pk
1,25
Częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla weryfikacji stanów granicznych użytkowalności przyjmuje się równe 1,0.
" Wytrzymałość i naprężenia w betonie w chwili sprężenia t0
Minimalna klasa betonu przyjmowana przez PN-02 wynosi C30 dla kablobetonu i C37 dla strunobetonu. Równocześnie naprężenia
ściskające w betonie, w początkowej sytuacji obliczeniowej pod działaniem siły sprężającej Pk ,sup nie powinny przekraczać podanych
wartości:
" w elementach strunobetonowych:
przy sprężeniu osiowym - 0,6 fcm( t0 )
przy sprężeniu mimośrodowym - 0,7 fcm( t0 )
" w elementach kablobetonowych:
przy sprężeniu osiowym - 0,5 fcm( t0 )
przy sprężeniu mimośrodowym - 0,6 fcm( t0 )
Średnią wytrzymałość betonu w chwili sprężenia fcm( t0 )można przyjmować równą 0,85 założonej 28  dniowej gwarantowanej
wytrzymałości betonu fc,cube.
Wytyczne EC 2 nie precyzują minimalnych klas betonu dla konstrukcji sprężonych. Przyjmuje się tylko dodatkowe wytyczne:
" wytrzymałość betonu w chwili sprężenia nie może być niższa od wartości minimalnej, definiowanej przez European Technical
Approval,
" w elementach strunobetonowych naprężenia ściskające w betonie w czasie zabiegu sprężania mogą dochodzić do wartości 0,7 fck ,
" naprężenia ściskające betonu w konstrukcji wywołane siłą sprężającą i pozostałymi obciążeniami w czasie, powinny zostać
ograniczone do wartości � d" 0,6 fck ( t ),
c
" jeżeli naprężenia ściskające w betonie stale przekraczają wartość 0,45 fck ( t ), to powinno się uwzględnić nieliniowość pełzania
betonu,
" lokalne rozłupanie lub rozszczepienie betonu pod zakotwieniami musi być ograniczone według zaleceń European Technical
Approval,
" jeśli sprężenie jest realizowane etapami, wówczas wymagana wytrzymałość betonu może być zredukowana.
Obowiązuje zasada, iż minimalna wytrzymałość fcm(t) w chwili rozpoczęcia sprężenia siłą sprężającą nieprzekraczającą 30% pełnego
sprężenia, musi wynosić co najmniej 50% wytrzymałości końcowej, wymaganej przy pełnym sprężeniu. Pomiędzy tą wytrzymałością
minimalną a wytrzymałością końcową przy pełnym sprężeniu, sprężenie może być kolejno proporcjonalnie uzupełniane.
2. Siła sprężająca
" Początkowa siła sprężająca i jej zmiany po sprężeniu
Oznaczenia oraz wielkości sił sprężających początkowych, po stratach doraz
nych i stratach całkowitych przedstawiono w tablicy 2.
Tablica 2. Oznaczenia sił sprężających
Siła sprężająca po
Oznaczenia Początkowa siła Siła sprężająca po
uwzględnieniu
według sprężająca stratach doraz
nych
strat całkowitych
P0 = Ap �"� Pm0 = Ap �"� Pm,t = Ap �"�
PN-02 [1]
0,max pm0 pm,t
Pmax = Ap �"� Pm0( x ) = Ap �"� ( x ) Pm,t
EC 2 [2]
p,max pm0
gdzie:
�
�ł
0,max �ł d" 0,80 f
pk
żł
�
�ł
p ,max d" 0,90 f
�ł
p0.1k
�
�ł d" 0,75 f
pm ,0
�ł pk
żł
� ( x )�ł d" 0,85 f
pm ,0 p0.1k
�ł
� d" 0,65 f
pm,t pk
Straty siły sprężającej obejmują:
1) doraz
ne straty siły sprężającej zachodzące w procesie sprężania konstrukcji, obejmują:
" straty doraz
ne spowodowane tarciem cięgna w kanale (kablobeton) "P� ( x ),
" straty doraz
ne od poślizgu cięgna w zakotwieniu "Psl (kablobeton) lub w uchwytach technologicznych (strunobeton), określone na
podstawie wielkości poślizgu podanej w aprobacie technicznej systemu sprężania, obliczone przy uwzględnieniu możliwości
zmiany tej straty na długości cięgna,
" straty sprężenia spowodowane sprężystym odkształceniem betonu "Pc , obliczone przy założeniu siecznego współczynnika
sprężystości Ecm dla betonu o klasie odpowiadającej wytrzymałości charakterystycznej betonu w chwili sprężenia t, oraz
rzeczywistego współczynnika sprężystości stali, z uwzględnieniem kolejności (w kablobetonie) naciągu cięgien,
" straty doraz
ne od częściowej relaksacji stali (w strunobetonie) "Pir obliczone na podstawie świadectw producenta stali,
2) opóz
nione (reologiczne) straty siły sprężającej zachodzące w czasie t, tj.:
" straty opóz
nione wywołane skurczem i pełzaniem betonu oraz relaksacją stali sprężającej "Pt ( t ) , określone przy założeniu
równoczesnego występowania odkształceń opóz
nionych w betonie i relaksacji stali.
Siła sprężająca po stratach doraz
nych, tj. siła przekazywana na beton bezpośrednio po zakotwieniu cięgien wyznaczana jest ze
wzorów:
" w strunobetonie:
Pm0 = P0 - "Psl - "Pir - "Pc (14)
" w kablobetonie (w odległości x od zakotwienia czynnego):
Pm0 = P0 - "P� ( x ) - "Psl - "Pc (15)
Siła sprężająca (wartość średnia) w strunobetonie, po czasie t od sprężenia określana jest ze wzoru:
Pm,t = P0 - "Psl - "Pir - "Pc - "Pt * ( t ) (16)
Graficzne przedstawienie strat siły sprężającej w strunobetonie podano na rys 1.
d" 0,80 fpk
Siła sprężająca P
�p0,max
d" 0,90 fp0,1k
P0
"Psl
"Pir relaksacja stali na torze naciągowym
"P0
Przekazanie sprężenia na beton
"Pc
Pm,0
"P*t(t1)
d" 0,75 fpk
"Pt(t)
�pm0
d" 0,85 fpk0,1k
Pm,t
Wykonanie Betonowanie Przekazanie sprężenia
Dowolny czas
naciągu cięgien elementów w na beton
t1
formach
t1 Czas t
t0
Straty siły sprężającej w kablobetonie przedstawiono graficznie na rys. 2.
�p0,max d" 0,80 fpk
Siła sprężająca P
d" 0,90 fp0,1k
Straty własne urządzeń naciągowych
P0
naciągowych
"P�(x)
d" 0,75 fpk
�pm0
"Psl
"P0 d" 0,85 fpk0,1k
"Pc
"Pt(t1)
"Pt(t)
Pm,t
Kotwienie cięgna
Betonowanie Naciąg cięgna Wybrany czas t1
sprężającego
elementu sprężającego
t1 Czas t
gdzie:
Ap = poprzeczne pole przekroju cięgna,
f = wytrzymałość charakterystyczna stali sprężającej na rozciąganie,
pk
f = charakterystyczna granica plastyczności stali sprężającej,
p0.1k
� ( x )= naprężenia w cięgnie sprężającym bezpośrednio po sprężeniu,
pm0
Pm,t ( x )= średnia wartość siły sprężającej w przekroju x po uwzględnieniu wszystkich strat,
Pm,t ( x ) = Pm0( x ) - "Pc+s+r ( x )
"Pc = strata siły na skutek odkształceń sprężystych elementu po przekazaniu siły,
"Psl = strata siły na skutek poślizgu w zakotwieniach (lub w uchwytach technologicznych w strunobetonie). Nie występuje w przypadku
zakotwień bezpoślizgowych,
"Pir = strata siły od częściowej relaksacji stali sprężającej na torze naciągowym,
"P� = strata siły na skutek tarcia,
"Pt ( t )= strata siły na skutek pełzania, skurczu i relaksacji stali sprężającej po czasie t. W przypadku strunobetonu bierze się pod uwagę
tylko relaksację pozostałą po odjęciu częściowej relaksacji na torze naciągowym. Stąd straty opóz
nione w strunobetonie
oznaczono jako "Pt * ( t ).
W zestawieniu strat doraz
nych nie wymieniono strat własnych urządzeń naciągowych w strunobetonie i strat własnych zespołu prasa
naciągowa-agregat pompowy w kablobetonie. Muszą one być każdorazowo uwzględnione przy realizacji projektowanej siły sprężającej.
Przy projektowaniu konstrukcji sprężonych niezbędnym staje się oszacowanie efektywnego sprężenia w różnych sytuacjach i
obliczenie strat sprężenia spowodowanych działaniem wielu czynników. Jeśli to możliwe, obliczenia powinny być oparte na danych z
praktyki lub na podstawie danych doświadczalnych.
Siłę sprężającą w kablobetonie, po czasie t od sprężenia wyznacza się ze wzoru:
Pm,t = P0 - "P� ( x ) - "Psl - "Pc - "Pt ( t ) (17)
Straty reologiczne (opóz
nione) są wynikiem relaksacji stali sprężającej, skurczem i pełzaniem betonu.
Siła sprężająca P
d" 0,80 fpk
d" 0,90 fp0,1 k
�p0 max =
P0
"Pc
P0-"Pc
(P0-"Pc)e-�(�+kx)
"P�(x)
"Pt(t)
Pm,0
Pm,t
Pm,t (x1)
Odległość od zakotwienia czynnego
x1
x
Zasięg poślizgu x0
Rys. 3 Straty sprężenia w kablobetonie na długości cięgna
Obliczenie strat doraz
nych siły sprężającej
" Straty siły sprężającej spowodowane tarciem cięgna w kanale:
"P� ( x ) = P0[1- e-�(Ś +kx)] (18)
gdzie:
x = odległość rozpatrywanego przekroju od punktu przyłożenia prasy naciągowej [m],
� = współczynnik tarcia cięgna w kanale (zależny od charakterystyk powierzchni cięgien i kanałów, obecności rdzy i kształtu
przekroju cięgna),
Ś = suma kątów zakrzywienia trasy cięgna na długości od 0 do x (niezależnie od kierunku i znaku) [rad],
k = niezamierzony kąt falowania trasy cięgna (na jednostkę długości). Wielkość k zależy od: jakości cięgna, odległości pomiędzy
punktami jego podparcia, rodzaju osłonki lub kanału kablowego. Dla cięgien zewnętrznych, składających się z równoległych
drutów lub splotów wielkość k można zaniedbać.
Wartości � i k mają szczególne znaczenie przy długich kablach wewnętrznych, jak i silnie zakrzywionych kablach wewnętrznych i
zewnętrznych.
Zalecane średnie wartości � i k proponowane przez PN-02 wynoszą:
Współczynnik k należy określić doświadczalnie. Przy braku dokładniejszych danych można przyjąć 0,005 d" k d" 0,01rad / m .
Wartość współczynnika � można przyjmować:
0,17 - przy tarciu drutów po stali osłonki,
0,19 - przy tarciu splotów po stali osłonki,
0,35 - przy tarciu prętów gładkich po stali,
0,65 - przy tarciu prętów żebrowanych po stali.
Współczynniki tarcia � dla kabli z przyczepnością i zewnętrznych kabli bez przyczepności przyjęte przez EC-2 [2] podano w tablicy 3.
Tablica 3 Współczynnik tarcia � dla kabli z przyczepnością i bez przyczepności [2].
Zewnętrzne cięgna bez przyczepności
Kable z
Osłonki Osłonki Osłonki ze Osłonki
przyczepnością1)
stalowe bez HDPE bez smarem HDPE ze
smaru smaru smarem
Druty ciągnione na zimno 0,17 0,25 0,14 0,18 0,12
Sploty 0,19 0,24 0,12 0,16 0,10
Pręty żebrowane 0,65 - - - -
Gładkie pręty okrągłe 0,33 - - - -
1)
dla kabli wypełniających około połowy przekroju poprzecznego kanału
W tablicy 4 przedstawiono przedziały współczynników tarcia na odcinku prostym �k oraz na krzywiz
nie � według zaleceń normy
amerykańskiej ACI 318:2002 [4].
Tablica 4 współczynniki tarcia na odcinku prostym �k i na krzywiz
nie � .
�
�k
Charakterystyka powierzchni Rodzaj cięgna
Kable w osłonach metalowych Wielodrutowe 0,0010�0,0015 0,15�0,25
(przewidziane do iniekcji zaczynem Pręty 0,0001�0,0006 0,08�0,30
cementowym) Sploty 7-drutowe 0,0005�0,0020 0,15�0,25
Kable bez przyczepności Wielodrutowe 0,0010�0,0020 0,05�0,15
powlekane żywicą Sploty 7-drutowe 0,0010�0,0020 0,05�0,15
Kable bez przyczepności Wielodrutowe 0,0003�0,0020 0,05�0,15
powlekane smarem Sploty 7-drutowe 0,0003�0,0020 0,05�0,15
" Straty sprężenia spowodowane sprężystym odkształceniem betonu "Pc :
a) w elementach strunobetonowych:
�ł �ł
Acs
�ł
"Pc = ąe� zcp2 �łP0 (19)
p
�ł1+ Ics �ł
�ł łł
b) w elementach kablobetonowych (straty te należy uwzględniać tylko w przypadku
kolejnego naciągu kabli):
�ł �ł
n -1 Acs
�ł
"Pc = ąe� zcp2 �łP0 (20)
p
�ł1+ Ics �ł
2 n
�ł łł
gdzie:
Ap Ep
� = , ąe =
p
Acs Ecm
n = liczba kabli.
" Straty wywołane poślizgiem cięgna w zakotwieniach "Psl.
Wartość poślizgu cięgien w zakotwieniach ap należy przyjmować na podstawie doświadczeń w zależności od typu i rodzaju
zakotwienia. Straty wywołane poślizgiem cięgna na odcinku poślizgu xp0 należy obliczać wg wzoru:
x0 - x
"Psl = 2ap Ep Ap (21)
x02
gdzie:
ap = wartość poślizgu przyjmowana dla odpowiednich rodzajów zakotwień,
x0 =zasięg pośllizgu w [m],
x = odległość rozpatrywanego przekroju elementu od zakotwienia sprężanego cięgna.
Gdy x > x0 , wówczas "Psl = 0 .
Wartość odległości zasięgu poślizgu x0 należy obliczać:
- dla kabli prostych:
apE Ap
p
x0 = (22)
� k P0
- dla kabli zakrzywionych:
r 1
x0 = ln (23)
�
ap�Ep Ap
1-
P0 r
Dla belek przyjmuje się, jako miarodajną, wartość bardziej niekorzystną obliczoną wg (22) i (23).
" Straty spowodowane częściową relaksacją stali
W elementach strunobetonowych straty te oblicza się ze wzoru:
"Pir = "� �" Ap (24)
pir
w którym:
"� = strata naprężenia w cięgnach sprężających spowodowana relaksacją stali w czasie
pir
od naciągu cięgien do przekazania siły na beton, dla początkowego poziomu naprężeń � = � .
p pm0
" Straty wywołane wpływem różnic temperatury w strunobetonie "P0T .
W produkcji elementów strunobetonowych stosowana jest zwykle obróbka cieplna betonu celem przyśpieszenia jego dojrzewania.
Mogą wówczas występować różnice temperatur między cięgnami a konstrukcją oporową, w której cięgna są kotwione. Nagrzanie
mieszanki betonowej spowoduje pewien spadek naprężeń w cięgnach i w konsekwencji straty siły sprężającej "P0T wyrażone wzorem
[5]:
"P0T = 0,9�" Ep �" Ap �"ą �"(Tmax -T0) (25)
pT
gdzie:
ą = współczynnik rozszerzalności cieplnej stali na 1�C,
pT
Tmax -T0 = określona różnica temperatury w �C w czasie naparzania.
" Odkształcenia opóz
nione w betonie i relaksacja stali sprężającej w aspekcie strat reologicznych siły sprężającej
Na wielkość strat reologicznych siły sprężającej wpływają odkształcenia opóz
nione wywołane skurczem i pełzaniem betonu oraz
relaksacją stali sprężającej. Precyzja metod określających wpływy pełzania i skurczu betonu będzie funkcją prawdopodobieństwa
danych dotyczących opisu ich zjawisk i znaczenia ich wpływu na rozważane stany graniczne.
Wartości Ć( t,t0 ) należy obliczać zgodnie z załącznikiem A zawartym w PN-02. Współczynnik pełzania Ć( t,t0 )uzależnia się tam od:
- wilgotności względnej środowiska,
- stosunku przekroju rozpatrywanego elementu do jego obwodu,
- czasu trwania obciążenia,
- wytrzymałości betonu,
- zmian temperatury otoczenia betonu.
W załączniku A przedstawiono także wartości końcowego współczynnika pełzania betonu Ć( ",t0 )oraz funkcji �( t - t0 ) określającej
przyrost pełzania po przyłożeniu obciążenia obliczone dla cementów zwykłych i szybkotwardniejących.
W przypadku gdy � > 0.45 fcm( t0 ) wówczas współczynnik Ćk ( t,t0 ) oblicza się ze wzoru:
c
Ćk ( t,t0 ) = Ć( t,t0 )�"e1.5( k� -0.45 ) (26)
w którym k� jest stosunkiem naprężeń ściskających w betonie �c do średniej wytrzymałości betonu na ściskanie w chwili obciążenia
fcm(t0). Ten sam wzór na Ćk ( t,t0 ) zaleca także EC 2 z tą różnicą, że pełzanie nieliniowe przyjmuje się dla �c >0,45fck(t ).
Na wartość końcowego odkształcenia skurczowego �cs = �cd = �ca składają się :
�cd - odkształcenie skurczowe na skutek wysychania,
�cd - autogeniczny przyrost skurczu.
Wielkość odkształceń skurczowych uzależnia się od:
- wilgotności względnej,
- typu użytego cementu,
- wytrzymałości betonu na ściskanie w wieku 28 dni.
" Relaksacja stali sprężającej
Relaksacja stali sprężającej zależy od wytrzymałości charakterystycznej stali, od wielkości występujących w niej naprężeń oraz od
temperatury otoczenia w której pracuje konstrukcja. Wielkości relaksacji po 1000 godz. podaje zwykle producent stali sprężającej. PN02
�
p
przedstawia straty naprężeń w stali sprężającej wywołane jej relaksacją w zależności od stosunku zmieniającego się od 0,6 do 0,8,
f
pk
co pokazano na rys. 4. Przybliżoną wielkość strat w wyniku relaksacji w czasie od 0 do 1000 godz. przedstawiono w tablicy 5. Wartość
� przyjmuje się równą � , gdzie � = początkowe naprężenie w cięgnach wywołane naciągiem i obciążeniami stałymi.
p pgo pg0
Wartość strat po długim okresie czasu przyjmowana jest jako dwukrotnie większa niż po 1000 godz.
Tablica 5. Straty naprężeń w stali sprężającej w czasie od 0 do 1000 godz. w wyniku relaksacji stali
Czas w godzinach 1 2 20 100 200 500 1000
Straty na skutek relaksacji
15 25 35 55 65 85 100
w % strat po 1000 godz.
Przy temperaturze konstrukcji powyżej 600C straty spowodowane relaksacją po krótkim okresie czasu mogą być 2 do 3 razy większe
niż przy temperaturze 200C, krótkotrwała obróbka cieplna nie ma wpływu na relaksację po długim okresie czasu.
% od �p
12
12,0 Klasa 1 (druty i
sploty sprężające zwykłe)
R 10
e
l
8
a
8,0
7,0 Klasa 3 (pręty)
k
6
s
4,5 Klasa 2 (druty i
4,
a 4 4,0
sploty sprężające o
c
niskiej relaksacji)
j
2
�p
1,5
2,5
a
fpk
1,0
0,6
0,7 0,8
Rys. 4 Straty w stali sprężającej wywołane relaksacją po 1000 godz. przy �p/fpk od 0,6-0,8
przy temperaturze t = 200
Według EC 2 wyróżnia się 3 klasy relaksacji:
- klasa 1: druty i liny (typowe cięgna sprężające),
- klasa 2: druty i liny o niskiej relaksacji,
- klasa 3: pręty obrabiane i walcowane na gorąco.
Obliczenia strat od relaksacji stali sprężającej powinny opierać się na wartości �1000 , tj. strat spowodowanych relaksacją po 1000
godzinach po sprężeniu w średniej temperaturze 200C. Wartość �1000 jest wyrażona jako procentowy stosunek wstępnego naprężenia do
naprężenia równego 0,7fp, przy czym fp jest właściwą wytrzymałością na rozciąganie dla próbek sprężonych.
Wartości �1000 przyjmuje się jako równe: 8% dla klasy 1; 2,5% dla klasy 2 i 4% dla klasy 3, lub zgodnie z zaleceniami podanymi przez
producenta stali.
Straty naprężeń powstałe w wyniku relaksacji stali sprężającej w czasie określa się ze wzorów:
0,75(1-�)
"�
t
pr
klasa 1: = 5,39 �" �1000 �" e6,7� �"�ł �ł �"10-5 (27)
�ł �ł
�
�ł1000 łł
pi
0,75(1-�)
"�
t
pr
klasa 2: = 0,66 �" �1000 �" e9,1� �"�ł �ł �"10-5 (28)
�ł �ł
�
�ł1000 łł
pi
0,75(1-�)
"�
t
pr
klasa 3: = 1,98 �" �1000 �" e8� �"�ł �ł �"10-5 (29)
�ł �ł
�
�ł1000 łł
pi
gdzie dodatkowo oznaczono:
"� = wartość bezwzględna strat od relaksacji
pr
� = � (dla strunobetonu � stanowi naprężenie początkowe pomniejszone o straty natychmiastowe, występujące w procesie
pi pm0 pi
sprężania)
t = czas po sprężeniu (w godzinach)
�
pi
� =
f
pk
Końcową wartość relaksacji można określić ze wzorów (27), (28), (29) przyjmując czas t równy 500 000 godzin (około 57 lat).
W obliczeniach strat od relaksacji w strunobetonie, gdzie zastosowano przyśpieszenie dojrzewania betonu przez obróbkę termiczną,
należy uwzględnić przyśpieszoną relaksację poprzez wprowadzenie  zastępczego czasu teq , jaki powinien być dodany do czasu po
sprężeniu t w obliczeniu strat według wzorów (27), (28), (29).
Czas zastępczy można wyznaczyć z równania:
1,14Tmax-20 n
teq = �"
( "ti )
"(T - 20)�""ti (30)
Tmax - 20
i=1
gdzie:
T( "ti ) =temperatura [�C] w czasie "ti ,
Tmax = maksymalna temperatura [�C] w czasie procesu nagrzewania.
 Obliczeniowa analiza strat reologicznych siły sprężającej
Założenia obliczeniowe:
" straty reologiczne (opóz
nione) siły sprężającej oblicza się przy założeniu występowania równoczesnego skurczu i pełzania betonu
oraz relaksacji stali sprężającej,
" z uwagi na odkształcenia od skurczu i pełzania betonu elementu sprężonego i wynikającą stąd redukcję wydłużenia stali
sprężonej, w obliczeniach określa się t.zw.  relaksację złagodzoną t.j. wartość 0,80�" "� . Wartość "� oblicza się w zależności
pr pr
�
p
od klasy stali oraz względnego poziomu naprężeń ,
f
pk
" w obliczeniach strat reologicznych bierze się pod uwagę odkształcenia skurczowe �cs(t,t0) oraz odkształcenia betonu wywołane
pełzaniem od naprężeń (� +� ) występujących w poziomie stali sprężającej,
cg cpo
" przyjmuje się założenie, iż strata siły sprężającej działającej na betonowy przekrój sprowadzony jest równa stracie siły sprężającej
w stali "� ,
p,c+s+r
gdzie:
� =naprężenie w betonie na poziomie środka ciężkości cięgien od ciężaru własnego i innych obciążeń stałych (naprężenia
cg
rozciągające przyjmuje się ze znakiem minus)
� = początkowe naprężenie w betonie na poziomie środka ciężkości cięgien wywołane sprężeniem:
cpo
N N �" zcp �" y
pd pd
� = + (31)
cpo
Acs Jcs
N = Pm,t (przyjmowane przy obliczaniu strat),
pd
Acs = pole powierzchni przekroju sprowadzonego,
Jcs =moment bezwładności przekroju sprowadzonego,
zcp = odległość siły N od środka ciężkości przekroju sprowadzonego,
pd
y = odległość rozpatrywanego włókna od środka ciężkości przekroju sprowadzonego,
� = � = początkowe naprężenie w cięgnach, wywołane naciągiem i obciążeniami stałymi.
p pgo
Wychodząc z warunku równości zmian w czasie odkształceń stali sprężającej i odkształceń opóz
nionych betonu w osi cięgien
sprężających oddalonych od środka ciężkości przekroju o wartość zcp otrzymuje się:
2
"� (t,t0)- 0,8�" "� (t,t0) (� +� )�"Ć(t,t0) zcp �ł
"Pc(t,t0)�"�ł 1
p,c+s+r pr cg cpo
�ł �ł
= �cs(t,t0 )+ - + (32)
Ep Ecm Acs Jcs �ł
Ec �ł
�ł łł
Ecm
Wprowadzając do równania (32) skorygowany moduł sprężystości betonu Ec = gdzie �(t,t0)= 0,8 wówczas równanie (32)
1+ �(t,t0 )�"Ć(t,t0)
można zapisać w postaci:
"� (t,t0)- 0,8�" "� (t,t0) (�cg +�cpo)�"Ć(t,t0)
p,c+s+r pr
= �cs(t,t0)+ +
Ep Ecm
(33)
2
�ł
zcp �ł
"Pc(t,t0)�" 0,8�"Ć(t,t0)]�"�ł + �ł
1
- [1+
�ł
Ecm Acs Jcs �ł
�ł łł
Mnożąc równanie (33) przez Ap �" Ep otrzymuje się:
Ap �" Ep
["� (t,t0)- 0,8�" "� (t,t0)]�" Ap = �cs(t,t0)�" Ap �" Ep +(� +� )�"Ć(t,t0)�" +
p,c+s+r pr cg cpo
Ecm
(34)
2
�ł
zcp �ł Ap �" Ep
1
�ł�"
- "Pc(t,t0)�"[1+ 0,8�"Ć(t,t0)]�"�ł +
�ł
Acs Jcs �ł Ecm
�ł łł
Podstawiając, że: "� (t,t0)�" Ap = "Pc+s+r (t,t0)= "Pc(t,t0) otrzymuje się po przekształceniach:
p,c+s+r
�cs(t,t0)�" Ep + 0,8�" "� (t,t0)+ą �"Ć(t,t0)�"(� +� ) (35)
pr p cg cpo
"� =
p,c+s+r
�ł �ł
Acs 2
�ł �ł
1+ą �" � �"�ł1+ �" zcp �ł�"[1+ 0,8�"Ć(t,t0)]
p p
Jcs łł
�ł
Ep Ap
gdzie: ą = ; � = stopień zbrojenia
p
Ecm p Acs
As
W betonowych konstrukcjach sprężonych o dużym stopniu zbrojenia (mosty sprężone, żelbetowe zbiorniki lub silosy wzmocnione
Ac
przez sprężenie i inne) należy przy obliczeniu efektywnych sił sprężających beton uwzględnić oprócz strat wywołanych skurczem i
pełzaniem betonu i relaksacją stali także stratę siły sprężającej spowodowaną obecnością zbrojenia zwykłego w przekroju.
Wówczas w rozważaniach wykorzystuje się dodatkowo założenia:
" Strata siły w stali sprężającej:
"Pp(t,t0)= "� (t,t0)�" Ap (36)
p,c+s+r
" Siła sprężająca przejęta przez zbrojenie zwykłe w przekroju sprężonym:
"Pps(t,t0)= "� (t,t0)�" As (37)
s
" Straty siły sprężającej w betonie:
"Pc(t,t0)= Ap �" "� (t,t0)+ As �" "� (t,t0) (38)
p,c+s+r s
Po wykonanych podstawieniach i przekształceniach uzyskuje się ostatecznie:
Es �" As + E �" Ap ąe �" As +ą �" Ap
p p
�cs(t,t0 )�" + 0,8�" "� (t,t0 )+ Ć(t,t0 )�"(� + � )�"
pr cg cpo
Ap Ap
"� (t,t0 ) = +
p,c+s+r
ąe �" As + ą �" Ap Acs 2
�ł �ł
p
(39)
�ł �ł
1+ �"�ł1+ �" zcp �ł �"[1+ 0,8�"Ć(t,t0 )]
Ac Jcs łł
�ł
As
- "� (t,t0 )�"
s
Ap
Ep
Es
gdzie: ąe = i ą =
Ecm p Ecm
3. Stan graniczny użytkowalności
Sprawdzenie SGU obejmuje:
1) weryfikację ograniczenia naprężeń w betonie i w zbrojeniu,
2) kontrolę zarysowania przekrojów i weryfikację ograniczenia szerokości rys,
3) weryfikację ograniczenia ugięć.
Weryfikację ograniczenia naprężeń w przekroju w stanie granicznym użytkowalności oraz analizę zarysowania przekroju
przeprowadza się oddzielnie. W obliczeniach naprężeń w przekroju sprężonym przyjmuje się następujące założenia:
" naprężenia obliczone są dla charakterystyki przekroju bez rys, bądz
dla przekrojów zarysowanych w zależności od przypadku,
" przekrój uznaje się za zarysowany jeśli naprężenia rozciągające w betonie przekroczą wartość fctm,
Es
" wpływ obciążeń długotrwałych uwzględnia się poprzez przyjęcie ą = =15 jeśli naprężenia od obciążeń stałych są większe niż
Ecm
50% naprężeń całkowitych,
" przy rozpatrywaniu przekroju niezarysowanego przyjmować należy, że cały przekrój betonu bierze udział w przenoszeniu
naprężeń, oraz że zarówno beton jak i stal zachowują się sprężyście przy ściskaniu i rozciąganiu,
" przy rozpatrywaniu przekroju zarysowanego należy przyjąć, że beton zachowuje się sprężyście przy ściskaniu, natomiast
niezdolny jest do przenoszenia jakichkolwiek naprężeń rozciągających.
" Weryfikacja ograniczonych naprężeń w betonie i w zbrojeniu
Naprężenia w materiałach w przekroju niezarysowanym obliczać należy przyjmując model liniowo sprężysty, przy wykorzystaniu
superpozycji naprężeń od obciążeń zewnętrznych w sytuacji użytkowej i od sprężenia miarodajną siłą sprężającą:
�x = �c + �cp,
w którym wg PN-02:
NSd ( NSd �" eo - M )y
Sd
� = + , (40)
c
Acs Jcs
N N �" zcp �" y
pd pd
� = + (41)
cp
Acs Jcs
gdzie:
N = Pk ,sup lub Pk ,inf w stanach granicznych użytkowalności
pd
Tablica 6. Ograniczenie naprężeń w zbrojeniu i betonie
Wg PN-02 Wg EC2
Naprężęni
Naprężenie Kombinacja Kombinacja
a
graniczne obciążeń obciążeń
graniczne
Pasywne Pasywne charakterystycz
0,8fyk
�s przy obliczaniu �s na
fyk minimalnego pod
zbrojenia fyk obciążeniami
wymuszonymi
przy 0,80 fpk
chwilowym 0,90 fp0,1k
przeciążeniu
przy
0,80 fpk celem
chwilowym
�o,max �p,max
0,90 fp0,1k zmniejszenia
przeciążeniu w
0,95 fp0,1k
strat od tarcia i
przypadku
poślizgu w
wysokiego
zakotwieniach
tarcia
po po
0,75 fpk �pmo(x 0,75 fpk
�pmo uwzględnieniu uwzględnieniu
0,85 fp0,1k ) 0,85 fp0,1k
strat doraz
nych strat doraz
nych
po średnia wartość
uwzględnieniu naprężeń w
0,65 fpk 
�pmt
całkowitych cięgnach �pd" 0,75
strat fpk
od 0,5
w początkowej charakterystycz
fcm (to) do 0,6 fck
sytuacji na
ściskanie 0,7 fcm (to)
ściskanie �c
�c dla zachowania
0,45 fcm (to) pełzania 0,45 fck prawie stała
liniowego
Zbrojenie
Spr
ęż
aj
ą
ce
Spr
ęż
aj
ą
ce
Beton
�ct = 0 kombinacja �ct = 0
na podstawowa na
kombinacja
głębokość dla klas głębokość
stała dla klas
25mm od ekspozycji 25mm od
ekspozycji
dolnej konstrukcji dolnej
rozciąganie rozciąganie konstrukcji
krawędzi XD1, XD2, krawędzi
XC2, XC3,
�ct �ct
osłonki XD3, XS1, osłonki
XC4, XD1,
najniższeg XS2, XS3, najniższeg
XD2, XS1,
o kabla w XF2, XF4, o kabla w
XS2, XS3
przekroju XA1, XA2, przekroju
sprężonym XA3 sprężonym
" Kontrola zarysowania przekrojów
Możliwość pojawienia się rys prostopadłych do osi elementu można sprawdzić z podanych warunków:
" w elementach zginanych:
MSd < Mcr = Wcs(�cp + fctm) (42)
" w elementach osiowo rozciąganych:
NSd < Ncr = Acs(�cp + fctm), (43)
" w elementach mimośrodowo rozciąganych:
(� + fctm )
cp
NSd < Ncr = (44)
eo 1
+
Wcs Acs
�cp = naprężenia w skrajnych włóknach przekroju wywołane siłą sprężającą po uwzględnieniu strat.
Według PN-02 sprawdzenie szerokości rys prostopadłych do osi elementu nie jest wymagane, jeśli warunki pojawienia się rys
przedstawione wzorami (42), (43), (44) są spełnione, a równocześnie w strefie rozciąganej przekroju istnieje zbrojenie wyrażone
wzorem:
fct ,eff
As,min = kc �" k �" �" Act (45)
�
s,lim
Pole przekroju strefy rozciąganej Act w elemencie sprężonym w chwili poprzedzającej zarysowanie, określa się odpowiednio do
rozpatrywanego przypadku obciążenia na podstawie liniowego rozkładu naprężeń.
Wartość � oznacza tu przyrost naprężenia w stali zwykłej i sprężającej od stanu, w którym naprężenie w betonie na poziomie środka
s,lim
ciężkości zbrojenia w efektywnym polu Act,eff jest równa zeru do pojawienia się rysy. Wartość � = "� przyjmuje się odpowiednio do
s,lim p
średnicy pręta lub cięgna sprężającego wg tablicy 7.
Tablica 7. Zależność naprężeń � od maksymalnej średnicy prętów o dużej przyczepności przy rysach wk d" 0,2mm .
s,lim
Przyrost naprężeń w stali � [MPa]
Maksymalna średnica pręta
s,lim
160 25
200 16
240 12
280 8
320 6
360 5
400 4
Możliwość pojawienia się rys ukośnych w elementach sprężonych należy sprawdzać w miejscach występowania maksymalnych
wartości głównych naprężeń rozciągających na podstawie warunku:
%�t,max% d" fctm (46)
Wartości naprężeń głównych rozciągających oblicza się ze wzoru:
2
� + � � -�
�ł �ł
x y x y
2
�t ,max = - �ł �ł
+� (47)
xy
�ł �ł
2 2
�ł łł
gdzie:
�x = naprężenie normalne od siły sprężającej i obciążeń zewnętrznych w kierunku osi x,
�y = naprężenie normalne w kierunku osi y,
�xy = naprężenia styczne obliczone ze wzoru:
VSd �" Sc0
� = (48)
xy
Jcs �" bw
VSd = siła poprzeczna zredukowana w przypadku zastosowania cięgien sprężających odgiętych,
VSd = Vod  Vpd,
Vod = siła poprzeczna w rozważanym przekroju od obciążeń zewnętrznych,
Vpd = rinf �"ł �"� �" Ap �" sinąo ,
p pm,t
gdzie:
rinf = 0,9,
łp = 1,0,
Sc0 = moment statyczny części przekroju położonej powyżej rozpatrywanego włókna, obliczony względem środka ciężkości
przekroju.
" Normowe ograniczenia rozwartości rys
Przyjęte w PN-02 i EC 2 ograniczenia szerokości rozwarcia rys (tab. 8 i tab. 9) wynikają z uwagi na:
" ochronę zbrojenia przed korozją,
" wymagania związane z przeznaczeniem konstrukcji,
" uniknięcie wyraz
nych rys ze względów estetycznych.
Tablica 8. Graniczne szerokości rys w konstrukcjach strunobetonowych i kablobetonowych z przyczepnością wg PN-02
wlim [mm] dla podstawowej
Wymagania użytkowe Klasa ekspozycji
kombinacji obciążeń
X0, XC1 0,2
XC2, XC3, XC4,
0,2 1)
XF1, XF3
ochrona przed korozją XD1, XD2, XD3,
XS1, XS2, XS3,
brak rozciągania 2)
XF2, XF4,
XA1, XA2, XA3
1) dodatkowo  brak rozciągania dla kombinacji obciążeń długotrwałych
2) dotyczy warstwy betonu wokół cięgien o grubości nie mniejszej niż 25mm
Dla konstrukcji sprężonych cięgnami bez przyczepności rozwartość rys przyjmuje się jak w konstrukcjach żelbetowych.
Tablica 9. Zakres wartości wmax [mm] wg EC 2
Konstrukcje sprężone z Konstrukcje strunobetonowe
cięgnami i kablobetonowe z
Klasa środowiska bezprzyczepnościowymi przyczepnością
Prawie stała kombinacja
Częsta kombinacja obciążeń
obciążeń
X0, XC1 0,4 1) 0,2
XC2, XC3, XC4 0,2 2)
XD1, XD2, XS1, XS2, 0,3
dekompresja
XS3
1) Dla klas X0 i XC1 szerokość rozwarcia rys nie ma wpływu na trwałość konstrukcji i jej
ograniczenie wynika ze względów estetycznych. W przypadku braku wymogów
estetycznych wartość graniczna może być zwiększona
2) Dla tych klas środowiska należy dodatkowo sprawdzić warunek dekompresji pod prawie
stałą kombinacją obciążeń
" Weryfikacja obliczeniowa rozwartości rys
" Według PN-02
Do określenia obliczeniowej szerokości rozwarcia rys w konstrukcjach sprężonych przyjmuje się podstawową kombinację obciążeń.
Podstawowa formuła wzoru jest podobna jak w konstrukcjach żelbetowych:
wk = � �" srm �"�sm (49)
gdzie:
wk = obliczeniowa szerokość rozwarcia rys [mm],
srm = średni końcowy rozstaw rys,
� = średnie odkształcenie zbrojenia rozciąganego,
sm
� = współczynnik wyrażający stosunek obliczeniowej szerokości rysy do
szerokości średniej, równy 1,7 lub 1,3.
Średni, końcowy rozstaw rys srm w sprężonych elementach zginanych lub rozciąganych, po uwzględnieniu cięgien
sprężających znajdujących się w efektywnej strefie rozciąganej przedstawia wyrażenie:
np
ns
i,si j ,pj
"k �"Ćsi +"k �"Ćpj
i=1 j=1
srm = 50 + 0,25�" k2 �" Act,eff �" (50)
n(As + Ap)
w którym:
k2 = współczynnik zależny od rozkładu odkształceń w strefie rozciąganej,
Ćsi = średnica zbrojenia pasywnego,
Ćpj = średnica cięgien sprężających równa 1,6(Apj )0,5 ,
As = przekrój zbrojenia zawartego wewnątrz efektywnej strefy rozciąganej Act,eff,
Ap = przekrój cięgien sprężających wewnątrz efektywnej strefy rozciąganej,
ki,si = współczynnik przyczepności dla prętów żebrowanych, splotów i drutów nagniatanych równy 0,8,
kj.pj = współczynnik przyczepności przyjmowany dla cięgien sprężających równy 2,0,
n = suma prętów zbrojenia i cięgien sprężających znajdujących się w efektywnej
strefie rozciąganej.
Act,eff = efektywne pole rozciąganej strefy przekroju.
Średnie odkształcenie zbrojenia � podobnie jak w konstrukcjach żelbetowych oblicza się z wyrażenia:
sm
2
�ł łł
�ł �ł
� �
s
�ł �ł �ł śł
� = �" 1- �1 �" �2�ł sr �ł (51)
sm
Es �ł �
śł
�ł s łł
�ł �ł
gdzie:
�1 =1,0dla prętów żebrowanych,
�1 = 0,5dla prętów gładkich,
�2 =1,0 przy jednokrotnym obciążeniu krótkotrwałym,
�2 = 0,5 przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie zmiennym.
Wartości naprężeń � i "� , odpowiadających naprężeniom w zbrojeniu sprowadzonym (zbrojenie zwykłe plus stal sprężająca) w
s p
przekroju rysy, wywołanych obciążeniem, dla którego sprawdza się rozwartość rys (podstawowa kombinacja obciążeń) można wyliczyć
ze wzoru:
1 M
�ł �ł
s
� = "� =
�ł - rinf �" Pm,t (52)
�ł
s p
As + Ap �ł z
łł
gdzie:
Ms = moment zginający z uwagi na sprowadzony środek ciężkości zbrojenia i stali sprężającej cięgien znajdujących się w efektywnej
strefie rozciąganej.
M = -M + rinf �" Pm,t �" zcp - rinf �" Pm,t (v - d1) (53)
s Sd
przy czym:
� = odległość środka ciężkości przekroju od dolnej krawędzi,
d1 = odległość środka ciężkości sprowadzonego zbrojenia (zwykłego plus sprężającego) w efektywnej strefie rozciąganej od dolnej
krawędzi przekroju,
M = moment zginający w rozważanym przekroju od obciążeń kombinacji podstawowej.
Sd
Wartości naprężeń � i "� odpowiadają naprężeniom w zbrojeniu sprowadzonym, obliczonym w przekroju przez rysę od
sr pr
o
momentu rysującego Mcr wynoszą:
o
Mcr 1
� = "� = �" (54)
sr pr
z As + Ap
gdzie:
Jcs Jcs
o
Mcr = (� + fctm)�" -� �" (55)
cp cp1
v v - d1
Naprężenie od sprężenia na dolnej rozciąganej krawędzi wynosi:
rinf �" Pm,t rinf �" Pm,t �" zcp
� = + �"v
cp
Acs Jcs
Naprężenie w betonie od sprężenia na poziomie d1 od dolnej krawędzi wynosi:
rinf �" Pm,t rinf �" Pm,t �" zcp
� = + �"(v - d1) (56)
cp1
Acs Jcs
"� = przyrost naprężeń w stali sprężającej pod obciążeniem powodującym zarysowanie.
pr
" Obliczenia rozwartości rys według EC-2.
Obliczeniową rozwartość rys według EC-2 wyznacza się z zależności:
Wk = Sr,max �"(� - �cm ) (57)
sm
gdzie:
Sr ,max = maksymalny rozstaw rys,
� = średnie odkształcenie w zbrojeniu pod odpowiednią kombinacją obciążeń (częsta dla przekrojów sprężonych cięgnami z
sm
przyczepnością, prawie stała dla cięgien bez przyczepności) z wyłączeniem efektów odkształceń narzuconych i uwzględnieniem
współdziałania betonu rozciąganego,
�cm = średnie odkształcenie betonu między rysami.
Wielkość różnicy odkształceń określa się ze wzoru:
fct ,eff
� - kt �" �"(1+ąe �" � )
s p,eff
�
�
p,eff
s
� - �cm = e" 0,6�" (58)
sm
Es Es
gdzie:
� = naprężenie w zbrojeniu rozciąganym w przekroju zarysowanym. W elementach strunobetonowych � może być zastąpione
s s
przez "� określające przyrost naprężeń w cięgnach sprężających od stanu zerowych odkształceń w betonie na poziomie cięgien
p
sprężających,
Es
ąe =
Ecm
As +�1 �" Ap
� = (59)
p,eff
Ac,eff
Ac,eff = efektywna powierzchnia betonu o wysokości hc,eff wokół armatury rozciąganej (zbrojenia zwykłego i cięgien sprężających).
�1 = stosunek przyczepności stali sprężającej do przyczepności zbrojenia zwykłego, uwzględniający stosunek ich średnic.
Ćs
�1 = � �" (60)
Ćp
� = stosunek przyczepności stali sprężającej do przyczepności zbrojenia zwykłego wg tablicy 10
Ćs = średnica najgrubszego zbrojenia pasywnego,
Ćp = ekwiwalentna średnica zbrojenia sprężającego, a mianowicie:
Ćp =1,6�" Ap dla wiązki drutów,
Ćp =1,75�"Ćdrutu dla splotów 7-drutowych,
Ćp =1,20�"Ćdrutu dla splotów 3-drutowych,
Tablica 10. Stosunek � przyczepności stali sprężającej do przyczepności zbrojenia zwykłego.
�
Stal sprężająca
Kablobeton o cięgnach z przyczepnością
Strunobeton
d" C 50/60 e" C 55/67
Gładkie pręty i druty nie stosowane 0,3 0,15
Sploty 0,6 0,5 0,25
Druty żebrowane 0,7 0,6 0,3
Pręty o dużej
0,8 0,7 0,35
przyczepności
Rozstaw rys Sr
W przypadku, kiedy armatura z przyczepnością jest rozmieszczana w niewielkich odstępach w strefie rozciąganej [o rozstawie
Ć
�ł
d" 5�"�łc + ] maksymalny rozstaw rys może być obliczony ze wzoru:
�ł �ł
2
�ł łł
0,425�" k1 �" k2 �"Ć
Sr ,max = 3,4�"c + (61)
�
p,eff
gdzie:
Ć = średnica pręta. Jeśli w przekroju występują pręty o różnych średnicach t.j. n1 prętów o średnicy Ć1 i n2 prętów o średnicy Ć2,
wówczas należy przyjąć:
2
n1 �"Ć12 + n2 �"Ć2
Ćeq =
(62)
n1 �"Ć1 + n2 �"Ć2
c = otulenie prętów,
k1 = współczynniki przyczepności:
=0,8 dla prętów wysokiej przyczepności,
=1,6 dla prętów gładkich (np. armatura sprężająca)
k2 =współczynnik zależny od rozkładu odkształceń:
=0,5 dla zginania,
=1,0 dla rozciągania czystego.
Dla przypadku rozciągania mimośrodowego należy przyjmować:
(�1 + �2) (63)
k2 =
2�"�1
przy czym:
�1 = największe zaś �2 = najmniejsze odkształcenie włókien skrajnych przy założeniu przekroju zarysowanego.
Ć
�ł
Jeżeli rozstaw armatury posiadającej przyczepność przekracza 5�"�łc + lub jeśli wewnątrz strefy rozciąganej nie ma armatury z
�ł �ł
2
�ł łł
przyczepnością, wówczas górna granica rozwartości rys może być wyznaczona przy założeniu rozstawu rys:
Sr,max =1,3�"(h - x) (64)
" Minimalne zbrojenie w przekroju sprężonym wg EC-2
W wytycznych EC-2 przyjmuje się, iż w przypadkach występowania w przekrojach sprężonych naprężeń rozciągających większych
od fct ,eff , konieczna jest pewna minimalna ilość zbrojenia, gwarantująca ograniczone rozwartości rys. W przekrojach poprzecznych belek
teowych i dz
wigarów skrzynkowych, zbrojenie minimalne wyznacza się dla poszczególnych partii przekroju (półki, środnik). Przekrój
zbrojenia wewnątrz strefy rozciąganej oblicza się z podobnego wzoru wyjściowego jak w PN-02:
fct,eff
As,min = kc �" k �" �" Act
�
s
gdzie:
Act = powierzchnia strefy rozciąganej betonu. Jest ona wyznaczana tuż przed wystąpieniem pierwszej rysy
� = maksymalne naprężenie rozciągające w zbrojeniu tuż po wystąpieniu zarysowania. Można przyjąć, że jest ono równe fyk. Może
s
istnieć konieczność przyjęcia niższej wartości naprężeń � w celu spełnienia wymagań dotyczących szerokości rozwarcia rys zgodnie
s
z maksymalną średnicą prętów lub ich maksymalnym rozstawem,
fct,eff = średnia wartość wytrzymałości betonu na rozciąganie w momencie, w którym oczekiwać można pojawienia się pierwszej rysy.
fct,eff = fctm lub mniej t.zn. fctm(t) jeśli pojawienie się rys może nastąpić wcześniej niż po 28 dniach,
k = współczynnik uwzględniający wpływ nierównomiernych naprężeń samo- równoważących się w przekroju
k =1,0 dla środników o wysokości h d" 300mm lub półek o szerokości mniejszej niż 300mm,
k = 0,65 dla środników o wysokości h e" 800mm lub półek o szerokości e" 800mm.
kc = współczynnik uwzględniający rozkład naprężeń w przekroju bezpośrednio przed zarysowaniem jak również zmiany ramienia sił
wewnętrznych,
Dla czystego rozciągania kc = 1,0.
Dla zginania ze ściskaniem:
- dla przekrojów prostokątnych i środników przekrojów skrzynkowych i teowych:
�ł łł
�ł śł
�
c
kc = 0,4�ł1+ d"1,0 (65)
śł
h
�ł
k1 �" �" fct,eff śł
�ł
�ł h* śł
�ł
- dla półki przekroju teowego i skrzynkowego:
Fcr
kc = 0,9 e" 0,5 (66)
Act �" fct,eff
� = średnia wartość naprężeń w betonie istniejących w części przekroju rozważanego,
c
NEd
� =
c
bh
gdzie:
NEd = osiowa siła w stanie granicznym użytkowalności działająca na rozpatrywaną część przekroju (dodatnia dla siły ściskającej).
Wielkość tą określa się biorąc pod uwagę charakterystyczne wartości sprężenia i siły normalnej pod odpowiednią kombinacją
obciążeń,
k1 = współczynnik uwzględniający wpływ siły normalnej na rozkład naprężeń
k1 =1,5 jeśli NEd jest siłą ściskającą,
2�"h*
k1 = jeśli NEd jest siłą rozciągającą,
3�" h
h* = h dla h <1,0m
h* = 1,0 dla h e"1,0m
Fcr = absolutna wartość siły rozciągającej w półce przed zarysowaniem na skutek momentu rysującego, obliczonego przy fct,eff .
Można także założyć, że cięgna sprężające posiadające pełną przyczepność z betonem w strefie rozciąganej mają wpływ na
powstawanie zarysowania na odcinku d" 150mm od środka tych cięgien. Wówczas:
As,min �"� + �1 �" Ap �" "� = kc �" k �" fct,eff �" Act (67)
s p
gdzie:
Ap = pole powierzchni stali sprężającej (zarówno w przypadku kablobetonu jak i strunobetonu) wewnątrz efektywnej strefy
rozciąganej Act,eff ,
Act,eff = jest efektywnym polem betonu rozciąganego wokół zbrojenia zwykłego lub sprężającego,
�1 oblicza się wg (60)
" Ugięcie elementów sprężonych
Ugięcie elementów sprężonych pracujących bez rys w okresie t - t0 należy obliczać stosując zasadę superpozycji ugięć od obciążeń
zewnętrznych i sprężenia wg wzoru:
2
M �"leff N �" zcp �"leff 2
pd
a = ąk sd -ą (68)
Ec,eff �" Ics p Ec,eff �" Ics
gdzie:
Ec,eff �" Jcs = sztywność dla obliczenia ugięć pod obciążeniami długotrwałymi. Dla obliczenia ugięć od obciążeń doraz
nych
przyjmuje się sztywność B0 = Ecm �" Jcs ,
M = moment zginający wyznaczony zgodnie z 4.7.4 PN-02,
sd
N = Pk ,sup lub Pk ,inf ,
pd
zcp = mimośród siły sprężającej,
ąk = współczynnik zależny od układu obciążeń,
ą = współczynnik zależny od trasy cięgna.
p
leff = rozpiętość efektywna,
Ecm
Ec,eff = ; Jcs = sprowadzony moment bezwładności przekroju,
1+Ć(t,t0)
W analizie stanu granicznego ugięcia w ustrojach bez rys (68) konieczne jest zarówno obliczenie określonych składników
uwzględniających charakter obciążeń, jak i czas ich przyłożenia i związane z tym zmiany. Ugięcie w sprężonych ustrojach
zarysowanych można obliczyć według teorii podanej w pracy [8].
4. Stan graniczny nośności
Analiza dotyczy konstrukcji sprężonych, w których sprężenie realizuje się za pomocą cięgien wewnętrznych, posiadających pełną
przyczepność z przekrojem.
5.1 Analiza stanu granicznego nośności zginanego przekroju sprężonego
metodą dokładną [9]
Literatura podaje dwie metody analizy stanu granicznego nośności przekrojów sprężonych: metodę dokładną i metodę uproszczoną.
W analizie stanów granicznych metodą dokładną przyjmuje się następujące założenia obliczeniowe:
1) założenie zasady płaskich przekrojów,
2) pominięcie wytrzymałości betonu rozciąganego w analizie sił w przekroju,
3) przyjęcie pełnej przyczepności zbrojenia pasywnego i stali sprężającej do betonu,
4) przyjęcie zależności � -� dla materiałów składowych:
- dla betonu ściskanego - rys. 5
- dla stali zbrojeniowej - rys. 6
- dla stali sprężającej - rys. 7
5) przyjęcie odkształceń przekroju odpowiadających rozkładowi odkształceń granicznych w betonie i zbrojeniu (reguła trzech
punktów obrotu)  rys. 8a i b.
Do sprawdzania nośności przekrojów można przyjąć dla stali zbrojeniowej poziomą gałąz
wykresu � - � nie ograniczając przy tym
wydłużenia stali. Dla stali sprężającej również można przyjąć obliczeniowy wykres naprężenie  odkształcenie z poziomą gałęzią górną,
tj. ograniczyć naprężenia w stali sprężającej do 0.9 f / ł , nie ograniczając przy tym wydłużenia stali.
pk p
Kombinacje oddziaływań
Przy sprowadzeniu składowych oddziaływań do środka ciężkości przekroju betonu oznaczonego przez G  rys. 11a, można napisać, przy
braku dodatkowych sił podłużnych działających na przekrój, że:
ńł �ł
d p
�łN = NSd = ł �" Pm,t , �ł
Sd �ł , (69)
żł
�łM d = M Sd + ł p �" Pm,t �" zcp �ł
ół �ł
m n
�ł �ł
�ł
gdzie: M = M
Sd "ł �"Gkj +"� �"ł �"Qki �ł (70)
fj oi fi
�ł �ł
j=1 i=1
�ł łł
Jeśli przekrój cięgien sprężających może być rozważany jako skoncentrowany w środku ciężkości wszystkich cięgien (rys. 9b), wtedy
wygodniej jest sprowadzić składowe oddziaływań do tego punktu. Wówczas:
Nd = NSd = ł �" Pm,t (71)
p
m n
�ł �ł
�ł
M = M = M
d Sd "ł �"Gkj +"� �"ł �"Qki �ł (72)
fj oi fi
�ł �ł
j=1 i=1
�ł łł
Md=MSd
Md=MSd+łp�"Pm,t�"zcp
Nd=łp�"Pm,t
G
Ap
Nd=łp�"Pm,t
a) b)
Rys. 9 Sprowadzenie oddziaływań do środka ciężkości przekroju betonowego lub do środka ciężkości cięgna.
�c
Idealizowany
fck
fcd
Obliczeniowy
� = 1000�c (1- 250�c ) fcd
c
0,0020 0,0035
�c
Rys. 5 Paraboliczno-prostokątny wykres �-� dla betonu
�p
�s
A
A
fpk
ftk
f
ftk pk
fyk
fyp0.1k
ł
łs
s
f
p0.1k
fyk
f =
pd
fyd =
ł
s
łs
B
B
fpd/Es
�ud �p
fyd/Es
�ud �s
Rys. 7 Wykresy �-� dla stali sprężającej - idealizowany - obliczeniowy
A
B
A B
Rys. 6 Wykresy �-� dla stali zbrojeniowej - idealizowany - obliczeniowy
 20
As2 100 3.50
B
�s2
A  3
3/7h
h  1 C
 1
C  2
Ap
 2
�pm0
"�p �pm
3/7h
�s1
A  3
B
3,50 100 20
As1
a) sytuacja początkowa b) sytuacja trwała
Rys. 8 Zasada trzech punktów obrotu w obliczeniu stanu granicznego nośności zginanego przekroju sprężonego: a) w sytuacji
początkowej, b) w sytuacji użytkowej
gdzie:
łp = 1,0 ,
łfj�"Gkj = wartość obliczeniowa obciążeń stałych,
łfi�"Qki = wartość obliczeniowa obciążeń zmiennych,
�oi = wartość współczynnika jednoczesności obciążeń zmiennych,
przy czym: łfj�"Gkj, łfi�"Qki, �oi według PN-B/82-2000
Analiza nośności zginanego przekroju sprężonego w sytuacji trwałej
Przyjęte wykresy odkształceń i naprężeń w stanie granicznym nośności zginanego przekroju przedstawiono na rys. 10.
" Równania równowagi sił w przekroju:
siła normalna w przekroju:
fck
NRd = Ac �" - Ap �" "� - As1 �"� (73)
p s1
ł
b
moment zginający względem osi cięgna wypadkowego:
fck
M = Ac �" �" z + As1 �"(d - d )�"� (74)
Rd p p s1
ł
b
gdzie:
NRd = graniczna siła normalna w rozpatrywanym przekroju,
MRd = graniczny moment zginający przenoszony przez przekrój,
Ap�""�p = powiększenie siły sprężającej od działających obciążeń,
As1�"�s1 = siła przenoszona przez zbrojenie rozciągane,
zp = ramię wypadkowej siły ściskającej w betonie względem cięgna wypadkowego,
fck
Ac �" = siła przenoszona przez beton ściskany.
ł
b
Rys. 10 Wykresy odkształceń i naprężeń w stanie granicznym nośności przekroju
As2
fcd
�c
x 0,8x
Ac
dp
ds
h
Ap
"  �p
" �p �pm "�p �pm
�s1 �s1
As1
gdzie:
ł �" Pm,t
p
�pm = odkształcenie stali sprężającej odpowiadające naprężeniu � = ,
pm
Ap
ą �"�
p cpg
2
" � = - określa odkształcenie stali sprężającej przy likwidacji naprężenia w betonie powstałego od sprężenia i ciężaru własnego
p
Ep
na poziomie stali sprężającej,
"  �p = dalsze po " �p odkształcenie stali sprężającej aż do stanu granicznego nośności przekroju.
Wykorzystując równania:
- równania odkształceń przekroju wg rys. 10:
2 2
" � d - x
p p
= (75)
�c x
�s1 ds - x
= (76)
�c x
- równania określające zależność naprężenie  odkształcenie w zbrojeniu zwykłym -
rys. 6 :
� = g(�s1) (77)
s1
- równania określające zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami w stali
sprężającej - rys. 7 w postaci:
2 2 2
"� = f (� + " � + " � )- f1(� ) (78)
p pm p p pm
- przyjmując graniczne odkształcenia w betonie i w zbrojeniu:
�c = �cu (wartość ta zawarta jest pomiędzy 2 0 a 3,5 0 w zależności od typu obciążenia)
�s1 = �su = 10 0
Dla znalezienia siedmiu niewiadomych występujących w stanie granicznym nośności przekroju:
"�p, �s1, x, "  �p, �c, �s1, MRd
wykorzystuje się siedem równań (71-78).
Rozwiązanie zadania otrzymuje się poprzez aproksymację sukcesywną, przyjmując następującą kolejność postępowania:
1) zakładając graniczne odkształcenia �c = 3,5 0 i �s1 = 10 0 oblicza się z równania (77) wielkość �s1,
2) z równania (76) oblicza się wysokość strefy ściskanej x, a następnie powierzchnię tej strefy Ac,
ą �"�
p cpg
2
3) z równania (75) oblicza się wielkość przyrostu odkształceń "  �p. Przyjmując, iż " � =
oraz wykorzystując wykres �p
p
Ep
- �p podany na rys. 7 określa się z równania (78) wielkość "�p,
4) z równania (73) oblicza się graniczną siłę normalną przenoszoną przez przekrój,
5) porównanie pomiędzy siłami normalnymi w przekroju: siłą działającą Nd (71) i graniczną siła przenoszoną przez przekrój NRd
(73) pozwala na modyfikację wykresu odkształceń przekroju, który został wstępnie przyjęty jako �c = 3,5 0 i �s1 = 10 0 .
Dalej, tok postępowania jest następujący:
6) Jeśli NRd > Nd oznacza to, że przekrój strefy ściskanej jest zbyt duży i w celu jego zmniejszenia należy wykonać obrót wokół
punktu A,
7) Jeśli NRd < Nd wtedy przekrój strefy ściskanej jest zbyt mały i celem jego powiększenia należy wykonać obrót wokół punktu B,
8) Obliczenie iteracyjne pozwoli znalez
ć taki wykres odkształceń w przekroju , który zapewni równowagę sił podłużnych ( NRd E"
Nd ), a w dalszej kolejności należy określić MRd (74),
9) Sprawdzić, czy MSd (72) d" MRd (74).
Na rys. 11 przedstawiono schemat blokowy sprawdzenia nośności granicznej przekroju sprężonego w sytuacji użytkowania konstrukcji.
Dane: kształt i wymiary przekroju poprzecznego
Określenie Nd i Md z warunku kombinacji obciążeń
Beton (fck, Ec, ą, łc) ; wykres paraboliczno-
prostokątny lub uproszczony
Zbrojenie zwykłe: As1, fyk, Es, łs oraz �s1 = f(�s1)
Stal sprężająca Ap, fpk, Ep, łp oraz �p = f(�p.)
Przyjęcie wstępne: �s1 = �su = 10 0 oraz �c = �cu =
�c
x = d
�c + �s1
ponowna iteracja
�s1 = g(�s1)
ponowna iteracja
d - x x
d - x
p
�s1 = �c �c = �s1
2 2
" �p = �c
x d - x
x
x = f(Ac) x = f(Ac)
"� = f � + "' � + "' ' � - f �
( ) ( )
p pm p p pm
ł ł
c c
Ac = (Nd + Ap �" "�p + As1 �"�s1) Ac = (Nd + Ap �" "�p + As1 �"�s1)
Ac = 0,8 x b(x)
ą �"fck ą �"fck
"� = f � + "' � + "' ' � - f �
( ) ( )
p pm p p pm
d ą �"fck
p
N = Ac - A �" "�p - As1 �"�s1
"' ' � = �s1 + �c - �c
( ) Rd
p
łc p
d
�s1 = g(�s1)
NRd > Nsd
Obrót wokół A: �s1 = 10,0
0
tak
Przyjmuje się:
�
Obrót wokół B: �c = 3,5
0
nie
NRd < Nsd NRd = Nsd
tak
�ł ą �"fnie �"
�ł
�ł �ł
MRd = Ac �ł ck �ł zp + As1 �"�s1(d - d )
p
ł
�ł c łł
nie
MRd e" Msd
1) Dodanie zbrojenia
zwykłego;
tak
2) Zmiana przekroju poprze -
Koniec
cznego; ponowna
weryfikacja
Rys. 11 Weryfikacja stanu granicznego nośności w sytuacji trwałej
dane
Przyj
ę
te
1) Dodanie zbrojenia i ponowna
weryfikacja
2) Zmiana przekroju poprzecznego i ponowna
weryfikacja
Analiza stanu granicznego nośności zginanego przekroju sprężonego metodą uproszczoną wg PN-02.
Schemat do obliczenia nośności zginanych elementów sprężonych metodą uproszczoną przedstawiono na rys. 12.
fcd
As2
a2
�p2Ap2+fydAs2
xeff
fcdAcc,eff
=MRd d
h
Sd
Acc,eff
fpdAp1+fydAs1
a1 Ap1+As1
Rys. 12 Schemat do obliczania nośności metodą uproszczoną.
Przyjmuje się, iż obliczenie nośności elementów sprężonych wykonanych z betonu klasy nie większej niż B55 można wykonać,
przyjmując prostokątny wykres naprężeń ściskających w betonie z warunku:
M d" M = fcd �" Scc,eff +� �" Ap2 �"(d - a2)+ f �" As2 �"(d - a2) (79)
Sd Rd p2 yd
przy czym efektywną wysokość bryły naprężeń ściskających xeff określa się z równania:
f �" Ap1 + f �" As1 = fcd �" Acc,eff +� �" Ap2 + f �" As2 (80)
pd yd p2 yd
Sposób obliczenia nośności tą metodą wymaga poczynienia założeń, przedstawionych poniżej:
�ł �ł
f � xeff ,lim 0,8�cu
pd pmt
�ł
"� = �"�ł1- 0,9�" ,� = 400 -� ,�eff ,lim = = ,�cu = 0,0035
p p2 pmo
�ł
Ep �ł f d �cu - "�
pd p
�ł łł
Nośność przekrojów sprężonych na ścinanie.
Ujęcie ścinania w konstrukcjach żelbetowych przedstawiono w rozdziale 5 PN-02. W ramach tego podrozdziału tylko uszczegółowi się
punkty dotyczące obliczenia ścinania w konstrukcjach sprężonych.
Przyjmując, że:
Vsd ,red = VSd - Pd �" siną0 (81)
gdzie:
VSd = obliczeniowa siła poprzeczna w rozważanym przekroju,
Pd �" siną0 = składowa siły w cięgnach sprężających nachylonych, równoległa do siłyVSd
Pd = rinf �"ł �"� �" Ap
p pm,t
rinf = 0,9
ł =1,0
p
� = � - "�
pm,t pm0 p,c+s+r
sinąo = sinus kąta nachylenia trasy cięgna wypadkowego w rozważanym przekroju (dla małych kątów nachylenia można przyjąć, że
sinąo = tgąo )
" Obliczeniowa nośność przekroju sprężonego bez specjalnego zbrojenia (odcinek pierwszego rodzaju) wyrażona jest równaniem:
VRd1 = [0,35k �" fctd(1,2 + 40� )+ 0,15�cp]�" bw �" d (82)
L
przy czym:
k = 1,0 gdy do podpory doprowadzono mniej niż 50 % rozciąganego zbrojenia przęsłowego. W innych przypadkach k wyznacza się
ze wzoru:
k = 1,6 - d lecz nie mniej niż 1,0.
d= wysokość użyteczna przekroju w [m],
fctd = obliczeniowa wytrzymałość betonu na rozciąganie,
�L = stopień zbrojenia wyznaczany wg wzoru:
AsL
�L = d" 0,01
bw,nom �"d
bw
bw,nom = bw - 0,5 jeżeli w środniku znajdują się wypełnione kanały o śred. Ćd > ,
d
"Ć
8
bw,nom = bw -1,2 w przypadku kanałów nie wypełnionych i cięgien bez przyczepności.
d
"Ć
AsL = powierzchnia zbrojenia podłużnego w rozpatrywanym przekroju belki.
Nsd + N
pd
� = d" 0,2�" fcd
cp
Ac
gdzie dodatkowo oznaczono:
Nsd = siła podłużna w przekroju,
" Nośność obliczeniowa na ścinanie ze względu na ściskanie betonu powstające przy ścinaniu w elementach zginanych:
VRd 2 = 0,5 �"� �" fcd �" bw,nom �" z (83)
gdzie:
fck
�ł �ł
� = 0,6 1- �ł
, fck [MPa], z = 0,9d
�ł
250
�ł łł
Przy uwzględnianiu osiowego ściskania przekroju siłą sprężającą:
VRd 2,red = ąc �"VRd 2 (84) w którym:
�cp
�ł �ł
�ł
ąc = dla 0 < � d" 0,25 fcd
cp
�ł1+ fcd �ł
�ł
�ł łł
ąc =1,25 dla 0,25 fcd < � d" 0,5 fcd
cp
�
�ł �ł
cp
�ł
ąc = 2,5�ł1- �ł
dla 0,5 fcd < � <1,0 fcd
cp
fcd �ł
�ł łł
Jeśli spełniony jest warunek:
VRd 2,red d" Vsd (85)
to przyjmuje się rodzaj strzemion, ich średnicę oraz rozstaw zachowując warunki konstrukcyjne oraz zapewniając, że:
0,8�" fck
�w,min =
f
yk
W konstrukcjach sprężonych cięgnami z przyczepnością, w których VSd ,red > VRd1 (odcinek II-go rodzaju), należy obliczyć zbrojenie
poprzeczne wg schematu postępowania jak dla konstrukcji żelbetowych sprawdzając jednak warunki wymagane dla rozwartości rys jak
w konstrukcjach sprężonych.
W konstrukcjach sprężonych kablami bez przyczepności rozwartość rys odnosi się do wymagań konstrukcji żelbetowych.
Strefy zakotwień
Strefa zakotwienia w elementach strunobetonowych
Według PN-02 w strefie kotwienia w strunobetonie należy wyróżnić:
" długość zakotwienia lbp na której następuje pełne przekazanie początkowej siły sprężającej na beton:
lbp = � �"Ć (86)
gdzie:
� = współczynnik długości zakotwienia dla drutów, splotów i prętów żebrowanych zależny od wytrzymałości betonu fck ( t0 ) w
p
chwili przekazania siły sprężającej na beton i od rodzaju cięgien sprężających na beton i od rodzaju cięgien sprężających podano w
tablicy 11.
Wytrzymałość betonu fck w chwili
przekazywania siły sprężającej na beton 25 30 35 40 45 50
[MPa]
Sploty i druty gładkie lub wgniatane 30 70 65 60 55 50
Druty żebrowane 55 50 45 40 35 30
Tablica 11. Współczynnik długości zakotwienia � dla drutów, splotów i prętów żebrowanych
p
" Obliczeniową długość zakotwienia lbpd = 0,8lbp -1,2lbp
" Efektywną długość rozkładu, poza którą naprężenia w przekroju poprzecznym zmieniają się w sposób liniowy:
2
lp,eff = lbpd 2 + d (87)
�
�0,max
h
d
l lb b
� �"Ć
b =
l
p,eff
x
Rys. 13 Przekazywanie siły sprężającej w strunobetonie
Przy analizie kotwienia cięgien w strunobetonowych elementach zginanych, zachodzi konieczność sprawdzenia zarysowania betonu
w strefie zakotwienia.
Jeśli naprężenia rozciągające w betonie od zginania oraz naprężeń głównych określonych dla stanu granicznego nośności nie
przekraczają fctk, nie zachodzi obawa zarysowania strefy zakotwień. Jeśli natomiast istnieje zarysowanie tej strefy, to równocześnie
rozciągająca siła podłużna w zbrojeniu od obciążeń zewnętrznych z uwzględnieniem wpływu siły poprzecznej, nie może przekraczać
nośności cięgien i zbrojenia zwykłego w rozpatrywanych przekrojach. Obliczeniowy rozkład siły sprężającej w strefie kotwienia w
strunobetonie należy przyjmować wg rys. 14
rysa
nośność
A fpd
p
x
lbdp
x
Rys. 14 Obliczeniowy rozkład siły sprężającej w strefie zakotwienia w strunobetonie
Nośność cięgien sprężających w określonym przekroju strefy zakotwienia należy obliczać ze wzoru:
x
Fpx = P0 d" Ap �" f (88)
pd
lbpd
Na podstawie równań przedstawionych w [5] w strefie zakotwień w strunobetonie występują rozciągające siły poprzeczne przedstawione
schematycznie na rys. 15, w których można wyodrębnić:
2
1
4
3
Rys. 15 Rozciągające siły poprzeczne w strefie zakotwień w strunobetonie
0
px
P
F
rysa
" obwodowe siły rozsadzające strefę przyczepności beton-cięgno sprężające oznaczone przez 1. Siły te wynikają z powiększania się
przekroju kotwionego w betonie cięgna,
" siły rozciągające oznaczone przez 2, występujące w strefach przypowierzchniowych,
" siły rozciągające nachylone do cięgna oznaczone przez 3.
Zbrojenie poprzeczne w strefie zakotwienia cięgien sprężających należy określać stosownie do wartości i rozkładu poprzecznych sił
rozciągających ustalonych na podstawie analizy sprężystej. Jeżeli nie przeprowadza się dokładniejszych obliczeń, to przekrój Asw tego
zbrojenia należy wyznaczyć z warunku:
0,2Pd d" Asw �" f (89)
yd
W wytycznych EC 2 można zauważyć pewne różnice w stosunku do PN-02. Sprowadzają się one nie tylko do odmiennych oznaczeń,
ale i do bardziej poszerzonych ujęć, wynikających z nowych doświadczeń.
W strefie zakotwień w strunobetonie zdefiniowano:
" naprężenia przyczepności między betonem a stalą sprężającą:
fbpt =� �"�1 �" fctd (t) (90)
p1
gdzie:
�p1 = współczynnik uwzględniający rodzaj cięgna i warunki przyczepności:
= 2,7 dla drutów żebrowanych,
= 3,2 dla splotów 7-dmio drutowych,
�1 = współczynnik zależny od warunków przyczepności:
= 1,0 dla dobrych warunków przyczepności,
fctm(t)
fctd ( t ) = ąct �"0,7
ł
c
" podstawową długość przekazania lpt:
�
pm0
lpt = ą1 �"ą2 �"Ć �" (91)
fbpt
gdzie:
ą1 = 1,0 dla stopniowego zwolnienia naciągu,
ą1 = 1,25 dla gwałtownego zwolnienia naciągu,
 ą2 = 0,25 dla cięgien o przekroju kołowym,
ą2 = 0,19 dla splotów 7-dmio drutowych,
Ap = nominalna średnica cięgna,
�pm0 = naprężenia w cięgnach tuż po zwolnieniu naciągu,
" obliczeniową długość przekazania przyjmowaną jako mniej korzystną z dwóch wartości w zależności od sytuacji obliczeniowej:
lpt1 = 0,8l
pt
lpt2 = 1,2lpt
Zazwyczaj przyjmuje się niższą wartość przy weryfikacji miejscowych naprężeń przy zwalnianiu naciągu, a większą dla stanów
granicznych nośności,
" odległość mierzona od czoła elementu, na której rozkład naprężeń w betonie ma charakter liniowy:
2 2
ldisp = lpt + d (92)
Zalecenia dotyczące zakotwienia w stanie granicznym nośności są następujące:
1) Zakotwienie cięgien powinno być sprawdzone w przekrojach, gdzie naprężenia rozciągające w betonie przekraczają wartość fctk
i przekrój jest zarysowany,
0,05
2) Siła w cięgnie powinna być obliczona dla przekroju zarysowanego łącznie z uwzględnieniem dodatkowej siły
rozciągającej powstałej od działania sił poprzecznych,
3) Graniczne obliczeniowe naprężenie przyczepności wynosi:
fbpd =� �"�1 �" fctd (93)
p2
gdzie:
�p2 = współczynnik uwzględniający rodzaj cięgna i warunki przyczepności:
= 1,4 dla prętów żebrowanych,
= 1,2 dla 7-dmio drutowych splotów,
�1 = 1,0 dla dobrych warunków przyczepności,
�1 = 0,7 w pozostałych przypadkach,
4) W wyniku stwierdzenia wzrostu kruchości betonów BW zaleca się ograniczenie klasy betonu do C60,
5) Całkowita długość zakotwienia przy naprężeniach w cięgnie równym �pd wynosi:
� -�
pd pm"
lbpd = lpt2 +ą2 �"Ć �" (94)
fbpd
gdzie:
lpt2 = górna granica obliczeniowej długości przekazania,
ą2 = 0,25 dla cięgien o przekroju kołowym i ą2 = 0,19 dla splotów 7-dmio drutowych,
�pd = naprężenia w cięgnie odpowiadające sile potrzebnej do przeniesienia rozciągań w przekroju zarysowanym,
�p" = naprężenia od sprężenia po wszystkich stratach.
Strefa zakotwienia w elementach kablobetonowych.
Określenie stanu oddziaływań w strefie zakotwień jest skomplikowanym problemem naprężeń w układzie trójwymiarowym. W
zasadzie, w rozwiązaniach przyjmuje się pewne przybliżenie, gdyż ilość zbrojenia nawet przy przewymiarowaniu nie stanowi problemu
ekonomicznego.
Przy ocenie w strefie zakotwień poprzecznych sił rozciągających i ściskających krzyżulce przyjmuje się, iż działająca na zakotwienie
siła Pd odpowiada sile zrywającej Fpk. Naprężenia obliczeniowe w zbrojeniu krzyżulców rozciąganych ograniczone są do wartości fyd.
Można przyjąć rozkład siły sprężającej w strefie zakotwienia przy założeniu, że
� = arctg2/3 E" 33o7' - rys.16.
a)
�
�
b)
Pd
� cięgno
�
Rys. 16 Rozkład siły sprężającej w strefie zakotwienia cięgien
Strefy poddane działaniu skupionych sił sprężających należy wymiarować przyjmując jedną z trzech koncepcji obliczeniowych:
1) sprężystą analizę naprężeń w strefie kotwienia w ujęciu metody elementów skończonych,
2) metodę przybliżoną określenia sił ściskających i rozciągających w strefie kotwienia  metodę Guyona [10],
3) poprzez idealizację strefy kotwienia, w której występuje układ krzyżulców ściskanych i ściągów rozciąganych.
W metodzie przybliżonej efekty rozciągania poprzecznego wywołane są przez poszczególne zakotwienia, a także przez cały system
zakotwień. Czoło belki obciążone jest układem sił Pdj występujących w poszczególnych cięgnach sprężających, wywołując bezpośrednio
pod nimi znaczne naprężenia docisku, a dalej do odległości h od czoła belki, skomplikowany przestrzenny układ naprężeń. Zagadnienie
strefy zakotwień w kablobetonie ujął stosunkowo kompleksowo Y. Guyon [10]. Zestawił on wyniki dla praktycznie ważnych przypadków w
formie wykresów i tablic liczbowych. Na rys. 17 i 18 przedstawiono dla przypadku osiowego sprężenia siłą Pd dwie charakterystyczne strefy
rozciągane:
 strefę powierzchni doczołowej w formie narożników rozciąganych,
 strefę powierzchni rozciągania wewnątrz strefy zakotwienia w formie nerki pękania.
S S
�t
�c
x
�t < 0
a
h
t
�t
�c
lr = h
Rys. 17 Strefy rozciągania w strefie zakotwienia elementu osiowo sprężonego
Ogólne warunki równowagi sił w tej strefie określa się rozważając równowagę odcinka belki pomiędzy SA i SR pod wpływem:
 sił skupionych Pdj pod zakotwieniami,
dPdj Pdj
 sił przenoszonych przez cięgna sprężające między SA i SR (sił stycznych często pomijanych oraz sił radialnych ),
ds r
 bryły naprężeń stycznych � (Pdj) i naprężeń normalnych �(Pdj) rozłożonych zgodnie z zasadą Naviera w płaszczyz
nie SR.
Na rys. 19 przedstawiono obliczeniowy schemat równowagi ogólnej strefy zakotwień pomiędzy SA i SR.
SR
SA
Pd1x
Pd1
X
Pd1y
T
� (ŁPd)
Pd /r
Pd2x
Pd2
� (ŁPd)
Pd2y
y
Rys. 19 Schemat równowagi ogólnej w strefie zakotwień
W metodzie przyjmującej idealizację strefy zakotwienia jako kratownicy statycznie wyznaczalnej składającej się z krzyżulców
ściskanych i ściągów rozciąganych, które powstają w strefie zakotwienia elementów kablobetonowych [11], [12], [13], [14], tok
projektowania strefy zakotwień polega na:
wyznaczeniu z warunków równowagi sił występujących w prętach kratownicy,
doborze odpowiedniego zbrojenia zdolnego do przeniesienia sił w krzyżulcach rozciąganych,
sprawdzeniu naprężeń w krzyżulcach ściskanych.
Średnią wytrzymałość obliczeniową betonu w krzyżulcach przyjmować należy jako �fcd. Przy braku innych danych przyjmować
można � = 0,6 przy czym wartość ta uwzględnia już wpływ obciążenia długotrwałego. Wyższe wartości � (nawet � > 1) przyjmować
można, jeżeli jest to uzasadnione trójosiowym stanem naprężeń.
Na rys. 20 przedstawiono schemat rozkładu sił wewnętrznych w strefie zakotwienia w przypadku osiowego sprężenia elementu.
Rozciągająca siła działająca poprzecznie:
1 h -
h
1
= �" Pd (95)
F
t
4 h
h/4
Pd/2
Fc
Ft
h-h1
4 h
Pd
h1
h1
4
Fc
Ft
Pd/2
h/2
Rys. 20 Schemat rozkładu sił pod zakotwieniem wg M�rscha
Schemat rozkładu sił wewnętrznych w strefie zakotwienia w przypadku sprężenia mimośrodowego przedstawiono na rys.21.
Pd M
� = Ic y
+
Ac
h1
dc
Pd
A
C
Ft
h
d
y1
T
z=d=2h/3 dT
lr=h
Rys. 21 Schemat rozkładu sił pod zakotwieniem w przypadku sprężenia mimośrodowego.
Dla przekroju prostokątnego otrzymuje się:
h
1
( 2 - 3 )2
h
(96)
= Pd �"
F
T
h
1
12�"(1- )
h
W przypadku czoła belki, w której zakotwione są 2 symetryczne kable o sile Pd  ry.22 określa się siły FT3 i FT4 ze wzorów:
2 �" Pd �ł b2 a2 �ł
�ł
FT3 = �"�ł - �ł
(97)
�ł
h 8 2
�ł łł
8�" a2 - k1 �" h
FT4 = Pd �" (98)
2 �" h2
M
d
d
Rys. 22 Schemat rozkładu sił w strefie kotwienia w przypadku zakotwienia 2-ch symetrycznie rozłożonych kabli.