fale
fale
ver-28.06.07
podsumowanie (E)
podsumowanie (E)
r r r r
r r
" � E = 0 ( -"� )
E =
+"
+"Edl = 0
�
r r
r
r
1
1
� dv " E �
� dv " �" E = �
+"Eds �0 +"
+"Eds = +"
�0
S V
r r
r r
r
r
(D ��0E)
(D = ��0E)
� dv " D �
� dv " �" D = �
+"Dds +"
+"Dds = +"
S V
r r
r r
r
r
"� "�
j = � E
jds = - dv " �" j = -
+" +"
"t "t
S V
podsumowanie (H)
podsumowanie (H)
r r r r r
r
r
jds " � B = �0 j
+"Bdl = �0 +"
� S
� S
r r r
r r
r
r
" �" B = 0 ( )
( )
B = " � A
Bds = 0
Bds = 0
+"
+"
S
r r r r r
r r
r
r
Hdl jds (B = �� H)
Hdl = jds (B = ��0H)
" � H j
" � H = j
+" +"
+" +"
� S
dŚB
� = -
i
dt
wiry pola E
wiry pola E
zmienne pole magnetyczne wywołuje prąd
zmienne pole magnetyczne wywołuje prąd
r r r
r
dŚB
� = Edl ŚB = Bds
� = -
i +" +"
i
dt � S
dt � S
r r r
r
d
Edl = - Bds
+" +"
dt
� S
r
r
"B
= - ds
jeśli kontur jest stały: +"
"t
S
r
r r
"B
(r r) ds
" � E ds = -
Stokes:
+" +"
"t
S S
r
"B
pojawia się wirowe pole
(r r) -
" � E =
elektryczne!
elektryczne!
"t
"t
prąd przesunięcia
prąd przesunięcia
r r
r r
r
"
"�
" � H = j ale
" �" j = -
"t
r r r
r
2
2
" H j j di i 
" � H = j + j �! prąd  przesunięcia
r r
r
"�
2
( )
(r r ) 2
" �" j + j = 0
" �" j + j = 0
" �" j =
" �" j =
"t
r
r
"� "
" D �
" �" D = �
( )
(r r)
= " �" D
= " �" D
"t "t
r r
r r r
r
"D "D
2
j " � H j +
j = " � H = j +
"t "t
zmienne pole elektryczne wywołuje pole magnetyczne!
il l kt ł jl t !
równania Maxwella (1865)
równania Maxwella (1865)
całkowe:
v
v
D �" ds = � dv
+" +"
S V
v v v
d v
E �" dl = - B �" ds
+" +"
dt
� S
v
v
B d 0
B �" ds = 0
+"
+"
S
v v v v
v d v
H dl j ds + D ds
H �" dl = j �" ds + D �" ds
+" +" +"
+" +" +"
dt
� S S
James Clerk Maxwell
( 1831 - 1879)
( )
równania Maxwella cd
równania Maxwella cd.
v
v
" �" D = �
różniczkowe
v
v
v
"B
"
" � E = -
"
"t
v
v
" �" B = 0
v
v v
v
"D
"D
" � H = j +
"t
... jest to układ 8 równań na 12 składowych E, D, B, H, ale:
v v
D = �0� E
v v
B = �0� H
v v
j = � E
fale elektromagnetyczne?
fale elektromagnetyczne?
z równań Maxwella wynika istnienie
z równań Maxwella wynika istnienie
fal elektromagnetycznych...
fale mechaniczne
fale mechaniczne
ver-28.06.07
tsunami
tsunami
fala poprzeczna
fala poprzeczna
0
1/4 T
1/4 T
1/2 T
3/4 T
T
 = vfT
T  okres
v prędkość fazowa
v  prędkość fazowa
  długość
�  częstość kołowa � = 2Ą/T
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1/4 T
1/4 T
1/4 T
1/4 T
1/2 T
1/2 T
1/2 T
3/4 T
3/4 T
T
 = vfT
fala podłużna
fala podłużna
0
1/4 T
1/4 T
1/2 T
3/4 T
T
 = vfT
T  okres
v prędkość fazowa
vf  prędkość fazowa
  długość
�  częstość kołowa � = 2Ą/T
falowanie
falowanie
fala płaska
fala płaska
+ periodyczność
� = �(x,y ,z,t)
�(0,t) = Acos(� t + � )
drgania harmoniczne:
fala płaska rozchodząca się w kierunku x:
Ą#� - x
ń#
�#t ś#
( )
( )
� x t Acos
� x,t = Acos + �
ś# ź#
ó# Ą#
ó#� ś#t v ź# + � Ą#
�# #
Ł# Ś#
ę! opóz
nienie względem x = 0
p g ę
x
�#t ś#
faza: � - + �
ś# ź#
v
v
�# #
�# #
równanie fali płaskiej
równanie fali płaskiej
�#t x ś#
� - + � = const
gdy faza ustalona: ś# ź#
v
�# #
� dx
maksimum? & pochodna po czasie:
� - = 0
v dt
dx
prędkość fazowa
= v
dt
def
2Ą �
liczba falowa:
k = =
 v
�(x,t) = Acos(� t - kx + � )
fala kulista
fala kulista
� (x,t) = A0e-łx cos(� t - kx + � )
tłumienie:
równanie fali kulistej
z
ródło punktowe: r >> d (d średnica z
ródła)
z
ródło punktowe: r >> d (d  średnica z
ródła)
A0
�( , ) ( �)
�(r ,t) = cos(� t - kr + �)
r
amplituda maleje wraz z odległością
osobliwość w r =0
ogólne równanie
ogólne równanie
l
l
Ą# ń#
ń#
�# ś#
�#t ś#
� = AcosĄ#� - + �
ś# ź#
ó# Ą#
v
�# #
Ł# Ś#
r r
l
l = n �" r
z
n
n
r
r r
(
�(r ,t) = Acos � t - kr + � )
r
l
l
y
x
def
r
r
gdzie: wektor falowy
k = kn
ogólne cd
ogólne cd.
r
r r
(
(
�(r t) = Acos � t kr + � )
�(r ,t) = Acos � t - kr + � )
r
r r
r r
(
( )
�(r ,t) = A0e-łnr cos � t - kr + � )
tłumienie:
r
r
r
[ ]
postać zespolona: �(r ,t) = Re Aei(� t -kr +� )
równanie falowe (różniczkowe)
równanie falowe (różniczkowe)
r
r
r
" �
"2�
2 2
2 2
( )
( )
= -� Acos �t - kr + � = -� �
2
"t
"2�
2
= = -k �
= K = -kx�
2
"x
"2�
2
= K = -ky�
2
"y
"y
"2�
2
= K = -kz�
"
"z2
"2� "2� "2�
2 2 2 2
+ + = -()
kx + ky + kz � = -k �
2 2
"x "y "z2
y
2
"2� "2� "2� 1 "2�
k 1
+ + = -
= �!
= �!
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
" " " "t
"x "y "z2 v "t
� v
równanie falowe cd
równanie falowe cd.
1 "2�
1 "2�
def
"2� =
2 2
v "t
"2 = "
2
1 "2� operator Laplace a
"� =
2 2
v "t
r
r r
rozwiązaniem jest każda funkcja postaci: f (r ,t) = f(� t - kr + �)
r
r
w szczególności w przypadku:
ól ś idk
(10 0)
n = (1,0,0)
"2� 1 "2�
� �
=
2 2 2
"x v "t
równanie falowe fali płaskiej rozchodzącej
równanie falowe fali płaskiej rozchodzącej
się w kierunku x z prędkością fazową v
przykłady
przykłady
fale elektromagnetyczne
fale elektromagnetyczne
wyprowadzenie
wyprowadzenie
r
r
r r r
r r
r
"B
" �" D = � D = ��0E
" � E = -
"t
r
r r r r r
r r r
r
"D
" �" B = 0 B = ��0H j = � E
" � H = j +
"t
� ,� = const
gdy ośrodek jednorodny:
r
i neutralny:
� = 0 j = 0
r
r
r r
r
"H
" �" E = 0
" � E = -��0
0
"t
"t
r
r
r r
r
"E
" �" H = 0
" � H = ��0
"t
"t
cd
cd.
r
r
r
"H
"H
" � E = -��0
"t
r
r
r
"E
" H
" � H = ��0
"t
r
r r r
( ) ( )
(r ) (r r) (r r)
a � b � c = b �" (c �" a) - c �" a �" b
( )
(r )
" � K
" � K
r
r r r
( ) ( )
(r r) (r r)-
" � " � E " " E " E
" � " � E = " " �" E "2E
ę! = 0
r
r
"2E
"2E = ��0��0 2
"t
"t
propagacja
propagacja
r
r
"2E
otrzmujemy:
j y
" E ��0��0 2
"2E = ��0��0 2
"t
r
r
"2E
a w próżni: "2E = �0�0 2
"t
"t
r
ozn
1 r
1 "2E
= c
= c
"2E
"2E =
2
�0�0
c2 "t
c  prędkość fali elektromagnetycznej w próżni&
wośrodku
w ośrodku
"2Ex "2Ex "2Ex 1 "2Ex
na przykład:
+ + =
2 2 2
"x "y "z c "t
"x "y "z2 c2 "t
r
r
1
�� "2E
�0�0 =
tak więc:
"2E =
2
c
c2
c "t
c2 "t
r
r
�� "2H
"2H =
2
c "t
c2 "t
c
v =
równanie fali o prędkości propagacji:
��
1888 H.Hertz
Hertz
Hertz
Heinrich Hertz 1857- 1894
Hertz did not understand the practical importance of his experiments. He stated that,
"It's of no use whatsoever[...] this is just an experiment that proves Maestro Maxwell was right - we just
ha e these m sterio s electromagnetic a es that e cannot see ith the naked e e B t the are there "
have these mysterious electromagnetic waves that we cannot see with the naked eye. But they are there."
Asked about the ramifications of his discoveries, Hertz replied,
"Nothing, I guess." [2]
His discoveries would later be more fully understood by others and be part of the new wireless age In bulk
His discoveries would later be more fully understood by others and be part of the new "wireless age". In bulk,
Hertz' experiment explain reflection, refraction, polarization, interference, and velocity of electric waves.
poprzeczność
poprzeczność
r
" "
wez
my czołofali
wez
my czoło fali
Ą" e
Ą" ex
( )
( )
, Ei ,Hi = 0
E H = 0
"z "y
"Hx "Ex
= 0 = 0
" "t
"x "t
"Hy "Ez
"Hz "Ey
��0 ��0
��0 = - ��0 =
"t " "t "
"t "x "t "x
"Ey "Hz
"Ez "Hy
��0 = - ��0 =
0 0
"t " "t "
"t "x "t "x
"Hx "Ex
= 0 = 0
"t "x
"t "x
r r
r r
H Ą" ex E Ą" ex
fala poprzeczna
r r
H Ą" E
Ex = Hx = 0 Ez = Hy = 0
awięc fala
a więc fala...
pole elektryczne
l l kt
pole magnetyczne
pg y
równania falowe
równania falowe
"2Hz �� "2Hz "2Ey �� "2Ey
=
=
2 2
2 2
"x c2 "t
"x c2 "t
rozwiązania:
E E cos(� t kx)
Ey = E0 cos(� t - kx)
Hz = H0 cos(� t - kx)
�  częstość kołowa
�
k =
 liczba falowa
liczba falowa
v
2 2
��0E = ��0H jednakowa faza
gęstość energii
gęstość energii
2 2
�0E �oH 1
w = we + wm = + = EH
e m
2 2
2 2 c
S = wc = EH
gęstość srumienia energii:
r r r
r r r
S = E � H
wektor Poyntinga:
koniec
światło