Zjawiska dyfrakcji
Propagacja dowolnych fal w przestrzeni
W przestrzeni mogą się znajdować różne elementy
siatki dyfrakcyjne
układy optyczne
przysłony filtry i inne
Analizy dyfrakcyjne należą
do najważniejszych i najtrudniejszych problemów
optyki
Zasada Huygensa-Fresnela
Zjawiska dyfrakcji
D  diafragma
Ą
półpłaszczyzna
D
granica
cienia
Fala płaska z
PC
czołami fal Ł i Ł
Q1
granica
cienia
P
Q2
Q3
światło cień
"
"
Z punktów Q czoła Ł wychodzą wtórne fale sferyczne
interferujące w różnych punktach P płaszczyzny Ą
W obszarze światła mamy oscylacje intensywności
w obszarze cienia - asymptotyczny spadek jej wartości
poglądowe wyjaśnienie
Obraz punktu
D Układ o ogniskowej f z diafragmą D
Ą
Q1
Ł - czoło fali generowanej przez
nieskończenie odległy punkt
P0
Q2
Ł  sferyczne czoło fali dla
P1
"
układu bezaberracyjnego
"
f
Z punktów Q do punktu P0 docierają wtórne fale w fazie
VP0 =
"V = max maksimum intensywności
Q
Ł'
Dla punktów P różnych od P0 powstają różnice faz
 spadek intensywności
Obraz punktu w postaci plamki dyfrakcyjnej
wynik analityczny dla jednego wymiaru
Obraz punktu
ax
"
Na czole Ł dany rozkład amplitud VQ(�x)
P
Q
�x W P0 środku krzywizny czoła Ł
Ą
ąx
wynik sumowania po punktach Q
P0
VP0(0)=
"V (�x )= max
Q
Ł
Łp
Ł W punkcie P sumujemy rozkłady
f
z powierzchni Łp
VP(ax )=
"V (�x )
Łp
Łp
�xax
VŁp(�x )= VQ(�x )exp(- ik")
Ale
" = �xąx =
f '
VP(ax )=
ś# ź#
więc
"V (�x )exp�#- i k�xax ś# VP(ax ) `" max
Q
f '
�# #
�x
Dla dwóch wymiarów
k�yay
ś#
ś#-
VP(a)=
ś# ź#
"V (�)exp�#- i k�xax ś#exp�# i f' ź#
Q
ś# ź#
f'
�# #
�
�# #
�y ay
�x
ax
(
a = a ax ,ay )
�
a
Q P
współrzędne wektorowe
()
� = � �x ,�y
P0
(
k �xax + �yay )
Ą# ń#
f
VP(a)=
"V (�)expó#- i
Q
Ą#
f'
�
Ł# Ś#
Ponieważ �a = �xax + �yay
i zamiast sumy  całka, więc
1 ka�
ś#d�
VP(a)=
rozkład pola w obrazie punktu ś#
Q
+"+"V (�)exp�#- i f' ź#
f'
�# #
Q
Całkowanie po punktach Q d� - element powierzchni
Formalnie można całkować w obszarze nieograniczonym
Rozkład pola w obrazie punktu jest dwuwymiarową transformatą
Fouriera rozkładu pola za układem
diafragma prostokątna
Obraz punktu
1 ka�
ś#d�
�y
VP(a)=
ś#
Q
+"+"V (�)exp�#- i f' ź#
ay
f'
�# #
Q
ax
P
�x
VQ = V0 = const w
u0y
obszarze diafragmy i
u0x
P0
0 poza nią
Ponieważ a� = ax�x + ay�y
2�0x
2�0y
rozdzielenie całkowania
f
( )
VP(a)= VP(ax )VP ay
m
V0 �0 kam�m
ś#d� m = x, y
gdzie
VP(am)= exp�#- i
ś# ź#
m
+"
f ' f '
�# #
-�0 m
V0 kax�x sin x
ś#sinc�# kay�y ś#
()
VP ax ,ay = sinc�# ś# ź#
Po scałkowaniu
sinc(x)=
ś# ź#
ś# ź#
f ' f' f'
�# # x
�# #
Funkcje sinc i sinc2
1 sin x
sinc(x)= sinc(0)=1
x
zerowe miejsca
x = ąm Ą m = ą1, 2,3,L
x
-2Ą -Ą Ą 2Ą
0
1
sinc2(x)
x
-2Ą -Ą Ą 2Ą
0
Obraz punktu diafragma prostokątna cd
( ) (
Rozkład intensywności IP ax ,ay = IP0 sinc2(kaxu0x )sinc2 kayu0y )
2
�0m
V0
�# ś#
u0m = m = x,y
IP0 =
ś# ź#
f'
f ' #
�#
( )
Dla przekroju ay = 0 sinc2 kayu0y = 1
IP(ax,0) = I sinc2(kaxu0x)
P0
IP0
IP(ax,0)
kaxu0x = Ą
Obraz punktu w rzucie
aksonometrycznym
ax
0

2u0x
�y
ay
Obraz punktu
ax
diafragma prostokątna cd
�x
u0y
u0x
P0
2�0x
2�0y
f
IP0
IP(ax,0)
f
ax
0

2u0x
�0y > �0x a0y < a0x
Obraz punktu diafragma kołowa
1 Bs(x)
P
Bs(0)=1
a
�
u0
2�0
3.83..
f x
0
7.02..
Rozkład intensywności w
Pierwsze zero rozkładu intensywności
obrazie punktu
w obrazie punktu
IP(a)= IP0Bs2(kau0)
2Ą
ku0a0 = u0a0 = 3.83
2J1(x)

Bs(x)=
gdzie
x
0.61
a0 =
u0
Obraz punktu diafragma kołowa
IP(a)
IP0
IP(a)= IP0Bs2(kau0)
a0 a
0
0.61
a0 =
u0
f
Obraz punktu w przekroju
diafragma kołowa
Obraz punktu
Ob
Ą 0
Ą
Wpływ przeogniskowania
Układ
Układ przeogniskowany
zogniskowany
J.W. Strutt �! Lord Rayleigh (1842-1919)
Zdolność rozdzielcza
26.5%
Kryterium
Rayleigha
a
Obrazy 2 oddalonych punktów
"ag
graniczny przypadek
0.61 0.61
nierozdzielane
"ag = =
rozdzielane
A nsinu0
Zdolność rozdzielcza - granice poznania
"ag  graniczna
Ob
Ok odległość dwóch
n = 1
P1
rozróżnianych punktów
P2
u0
"a 0.61
"ag =
n
u0
P2 P1
Jeżeli kąt u0 jest duży i współczynnik załamania przestrzeni
przedmiotowej wynosi n (dotyczy to przykładowo mikroskopu), wówczas
0.61
"ag =
, gdzie apertura obiektywu mikroskopowego A = nsinu0
A
Im krótsza długość fali  i im większa apertura A = n sinu0
tym wyższa zdolność rozdzielcza mikroskopu
Uwaga: tym mniejsza wartość "ag
Dla  = 0.55 źm i Amax = 1.4
Około połowy
"agmin H" 0.24 źm
długości fali
granica możliwości poznania
Zdolność rozdzielcza - granice poznania cd
Poprawna interpretacja obrazu przez obserwatora
2'< "w'< 4'
0.61
gdzie "w jest kątem pod jaki widzimy przez mikroskop
"ag =
A
gdzie "w jest kątem pod jaki widzimy "ag z
"a
Ale
"w'="w�"G
odległości dobrego widzenia - 250 mm, a G  "w =
250
powiększenie wizualne mikroskopu
Po podstawieniu
0.61
2'�"0.0003 < "w'= Gu < 4'�"0.0003
A
Dla  = 0.55�"10-3 mm
K !!
powiększenie użyteczne
500A < Gu <1000A
Ponieważ Amax = 1.4, maksymalne powiększenie
mikroskopu 1400x
Konsekwencje obserwacji przez mikroskop
przedmiotów pod dużymi powiększeniami
Przyjmując średnio
Gu = 750A = �obGok
powiększenie obiektywu powiększenie okulara
W mikroskopach Gok = od 5x do 15x Niech Gok = 10x
Gu = 500x
Obiektyw 40x bez
A = 0.666..
immersji n = 1
2u0 = 840
A = n sin u0 = 0.666 u0 H" 420
Mała odległość od oprawy obiektywu do przedmiotu rzędu 0.2 mm
Dla Gu max = 1400x Amax = nim sin u0max = 1.4
nim = 1.52
sin u0max H" 0.921 2u0max H" 1340
odległość rzędu 0.1 mm
Zdolność rozdzielcza - granice poznania cd
Konsekwencje dla układów z przedmiotem nieskończenie odległym
"wg
luneta
Przedmiot
Z  z
renica wejściowa
nieskończenie odległy
"wg
Klisza
fotograficzna
obiektyw
1.22
Kątowa zdolność rozdzielcza lunety,
"wg =
teleskopu i obiektywu zdjęciowego
D
Im większa średnica D z
renicy wejściowej
i krótsza długość fali , tym mniejszy kąt graniczny "wg
tym wyższa zdolność rozdzielcza układu
Zdolność rozdzielcza - Konsekwencje dla lunety
1.22
"wg  graniczny kąt rozróżniania 2 punktów
"wg =
D
w przestrzeni przedmiotowej lunety
Przykład
Dla  = 0.55�"10-3 mm chcemy rozróżnić 2 punkty odległe od
siebie o 20 cm na ziemi z satelity na wysokości 50 km
"wg = 0.2/50000 = 4�"10-6
wówczas Dmin H" 170 mm
Kolokwium I
3 tematy
1. Wyprowadzenie z komentarzami !!! (10 punktów). Brak komentarza (tylko
rysunek i wzory) = zero punktów
bieg promienia przez pryzmat i klin, bieg promienia przez układ elementarny i
przejście do przestrzeni przyosiowej, promień w ośrodku gradientowym, prawo
załamania na bazie hipotezy Huygensa, widmo promieniowania atomu, obraz
punktu dla przysłony prostokątnej, powiększenie użyteczne mikroskopu (K!!)
2. Tematy opisowe po 5 punktów
Razem z jednego kolokwium można uzyskać maksymalnie 20 punktów
Punktacja zaliczenia wykładu na podstawie wyniku dwóch kolokwiów
Punkty Stopień
0 - 22.5 nie zaliczone
23.0 - 26.5 3.0
27.0 - 29.5 3.5
30.0 - 32.5 4.0
33.0 - 36.0 4.5
36.5 - 40.0 5.0
Zjawiska dyfrakcji cd
Dotychczas granice poznania były definiowane przez obserwację
dwupunktowego przedmiotu
Przypadek obserwacji gwiazd przez teleskop lub lunetę
Jak można przedstawić problem granic poznania dla przedmiotów o
złożonej (rozciągłej) strukturze ?
Dla prostoty problem przedstawiony zostanie w sposób poglądowy na
podstawie analizy obrazu siatki dyfrakcyjnej
Siatka dyfrakcyjna
Periodyczny zbiór jednakowych elementów
x
Kierunki propagacji fal płaskich przez siatkę
ąz m = -2
dyfrakcyjną
m = -1
m = 0
Mówi się o rzędach dyfrakcyjnych
m = 1
Ł

m = 2
sinąz = - m m = 0,ą 1,ą 2,...
d
Szczególny przypadek siatki
Element siatki
dyfrakcyjnej
d  okres
(stała) siatki jako zbiór szczelin
Ł
Odwzorowanie siatki przez układ optyczny
Propagacja rzędu m = 0
płaszczyzna obrazu
Ob
Ok
m = 0
Ł
Pole jednorodne jak
bez siatki
f
Propagacja rzędu m = 1
płaszczyzna obrazu
Ob
Ok
m = 1
Ł
Pole jednorodne jak
bez siatki
f
propagacja rzędów m = -2 � 2
płaszczyzna obrazu
Ob
Płaszczyzna
widma siatki Ok
m = -2 � 2
Ł
f
płaszczyzna obrazu
Ob
diafragma
Ok
Ł
f
transmisja tylko rzędu m = 0
obraz siatki niewidoczny
Wynik transmisji rzędów m = 1, 0, -1
płaszczyzna obrazu
Ob
diafragma
Ok
Ł
f
W wyniku interferencji promieniowania
generowanego przez 3 z
ródła punktowe
powstaje obraz prążkowy
Obraz jest periodyczny, ale czy widzimy szczegóły siatki ?
Granice poznania szczególne przypadki
siatka
widmo siatki
dyfrakcyjna
-3 -2 -1 0 1 2 3m
obrazy siatki dla różnego
obcięcia widma
m = - 5 � 5
-3 -2 -1 0 1 2 3m
Przesłonięcie rzędów  1 i 1 powoduje zwiększenie częstości obrazu.
Słynne doświadczenie Abbego
Siatka szczelinowa Przybliżenia
Przeniesione rzędy m = -1, 0 i 1
x
Obraz siatki dyfrakcyjnej
Test prostokątny cd Przybliżenia
Przeniesione rzędy m = -3 � 3
x
Obraz siatki dyfrakcyjnej
Test prostokątny cd Przybliżenia
Przeniesione rzędy m = -15 � 15
x
Obraz siatki dyfrakcyjnej
Granice poznania
Obiektyw nie przenosi całego widma siatki (przedmiotu)
Obraz jest periodyczny o częstości odpowiadającej
obrazowi siatki, ale nie jest podobny do przedmiotu
Obraz dany przez układ optyczny nigdy nie
jest podobny do przedmiotu
Siatka dyfrakcyjna ze stałą d rzędu długości fali
x

m = -1
sinąz = - m m = 0,ą 1,ą 2,...
d
ąz
m = 0
dla m > 1 sin ąz > 1
Ł
m = 1
x
dla d <  i m > 0 sin ąz > 1
ąz
Sama siatka dyfrakcyjna nie przenosi informacji
m = 0
o swojej strukturze
Ł
Czy to prawda ?
Czy to prawda ?
Rozważania dotyczące interferencji,
dyfrakcji, i dalej polaryzacji, były, i będą,
prowadzone z dokładnością optyki falowej
Problemy optyki podfalowej
muszą być rozwiązywane
narzędziami elektrodynamiki
optycznej
Rozwiązywanie równań Maxwella
metodą elementów skończonych
Zagadnienia wykraczają poza
obszar wiedzy tu prezentowany
Literatura uzupełniająca
W.T. Cathey, Optyczne przetwarzanie informacji i holografia, PWN,
Warszawa, 1978
K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa, 1987
R. Józ
wicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa, 1988
B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons,
New York, 1991, paragraf 4.3 i 4.4
Literatura podstawowa poziom wyższy naukowa