Optyka geometryczna
Podstawowe pojęcia optyki geometrycznej
c
n =
Bezwzględny współczynnik załamania
> 1
v
c  prędkość światła w próżni
v < c  prędkość światła w danym ośrodku
Aksjomaty
Światło w ośrodku jednorodnym propaguje się
po liniach prostych nazywanych promieniami
świetlnymi
Aksjomaty cd
N
Promień
załamany
ąb
Prawo załamania
nb < na
na sinąa = nb sinąb
na
Promień padający, normalna N
Promień
i promień załamany leżą w tej
ąa
padający ą a Promień
samej płaszczyz
nie
odbity
Prawo odbicia
ą'a = ąa
Promień padający, normalna N i promień odbity
leżą w tej samej płaszczyz
nie
Całkowite wewnętrzne odbicie
Ponieważ na > nb
N
Promień
załamany
na
sin ąbg = sin ąag = 1
graniczny
nb
nb < na
ąbg = Ą/2
i
nb
sin ąag = <1
na
na
ąag
Dla promienia ąa > ąag
ąa ą a
sin ąb > 1
Promienie
padające
Promień ulega
ą'a = ąa
całkowitemu wewnętrznemu odbiciu
według prawa odbicia
Zastosowanie w światłowodach
Względny współczynnik załamania
c
1  ośrodek odniesienia
v1 v2 n
2
najczęściej powietrze
n = = =
c
v2 n1
n2 n1  bezwzględne
v1
współczynniki załamania
Bezwzględny współczynnik załamania powietrza
a p
0 [nm] 334 546 656 1530
n H"1+
1+ t / 273 760
a [�"106] 303 293 291 288
t  temperatura w 0C p  ciśnienie w mm Hg
n H" 1.0003
Zmiana z temperaturą dla p = 760 "n H" -10-6 "t
Właściwości dyspersyjne i absorpcyjne materiałów
Widmo słońca linie (Josefa) Fraunhofera
i365 g435 F486 e546 d587 C656 t1014 nm
Hg Hg H Hg He H Hg
UV ni ng nC nt IR
220 365 435.6 656.3 [nm] 1.014 5 [źm]
Kwarc topiony 1.528 1.475 1.467 1.456 1.450 x
Sz. kronowe x 1.539 1.526 1.514 1.507 x
Sz. flintowe x 1.815 1.774 1.721 1.715 x
Krzem x x x x x 3.422
German x x x x x 4.017
KBr 1.853 1.606 1.583 1.555 1.544 1.534
Krzywe dyspersyjne materiałów
Ciężki flint
Lekki flint
Kwarc
Kron
Szkłokwarcowe
Długość fali  nm
Wspó
ł
czynnik za
ł
amania
Właściwości transmisyjne płytki
T
Współczynniki
szkło kronowe
Szkło kwarcowe
1.0
odbicia powierzchni
KBr
0.9
materiał - powietrze
szkło flintowe
0.8
2
n -1
�# ś#
� =
ś# ź#
ZnSe
n +1 #
�#
Si
0.5
n �[%]
Ge
0.4
1.5 4.0
1.6 5.3
1.8 8.1
0
2.0 11.1
[ m]
0.3 1.0 3.0 10 16
4.0 36.0
Pryzmat
Reguła znaków
n = 1
sin ą1
n = 1 �
sin ą'1 =
n
�
ą2 = � + ą'1
ą2
ą 2
sin ą'2 = n sin ą2
-ą1
�
-ą 1
� = ą'2 -ą1 - �
n
Pryzmat
�()= ą'2 ()- ą1 - �
Tęcza.swf
o
ł
t
a
wi
Ś
e
ł
a
i
b
Klin  pryzmat o małym kącie łamiącym �
�
�
i dla małego kąta padania ą1
ą1
ą'1 = ą2 = � + ą'1 ą'2 = ną2
n
� = �(n -1)
ą1
ś#
� = ą'2 -ą1 - � = n�#� + - ą1 - �
ś# ź#
tęcza1b.swf
n
�# #
Układ optyczny
obszar o pewnym rozkładzie współczynnika załamania
Przykłady:
Zbiór powierzchni o skokowej zmianie
współczynnika załamania
Ograniczony obszar o ciągłej jego zmianie
układ gradientowy
Cel budowy
Optyka
Przekształcenie przestrzeni przedmiotowej w obrazową w
celu zarejestrowania informacji o przedmiocie przez odbiornik
Fotonika dodatkowo
Kształtowanie wiązki np. laserowej
Powierzchnia sferyczna układ elementarny
nn
-ą
S
�#1- ś#sin u
sin ą =
ś# ź#
r
r
�# #
-ą
P P
-u
u
n
O
sin ą'= sin ą
n'
u'= u + ą'-ą
-S S
sin ą'
ś#
S'= r�#1-
ś# ź#
Dane wejściowe Dane wyjściowe
sin u'
�# #
P(S,u) P (S ,u )
S'= S'(u)
Aberracja
P
sferyczna
pow_sfer.swf
-S
Układ elementarny  przestrzeń przyosiowa sinx H" x
S s
�#1- ś#sin u �#1- ś#u
sin ą = ą =
ś# ź# ś# ź#
r r
�# #
�# #
n n
sin ą'= sin ą ą'= ą
n' n'
S s S s
u'= u + ą'-ą
u'= u + ą'-ą
ą'
ś#
sin ą'
ś#
s'= r�#1-
ś# ź#
S'= r�#1-
ś# ź#
u'
�# #
sin u'
�# #
n' n
1 n'u' nu 1 n'(u - ą)- n(u - ą)
�# ś# Ą# ń#
- =
- =
ś# ź#
ó# Ą#
s' s
r u'-ą' u - ą r u - ą
�# # Ł# Ś#
W przestrzeni przyosiowej
n' n n'-n
- =
s jest niezależne od małego u
s' s r
Zwierciadło w przestrzeni przyosiowej
ą
Zgodnie z regułą znaków ą = -ą
co formalnie dla prawa załamania
-ą
P
n'ą'= ną oznacza
n'= -n
P
n' n n'-n
- =
Po podstawieniu do
s' s r
-s
-s
1 1 2
+ =
dla zwierciadła
s' s r
r "
Zwierciadło płaskie mamy
s'= -s
S = -S niezależnie od kąta u
P
P
Obraz P bezaberracyjny
-u
-s = - S s = S
Parametry układu w przestrzeni przyosiowej
n' n n'-n
nn > n
Ponieważ
- =
s' s r
F
n'r
s'F' = = f '
F
n'-n
f  ogniskowa obrazowa
s F = f
-sF = -f
Ognisko obrazowe F - obraz punktu leżącego w " (s ")
Ognisko przedmiotowe F - punkt, którego obraz leży w " (s ")
nr
f  ogniskowa przedmiotowa
sF = - = f
n'-n
f ' n'
Relacja między ogniskowymi
= -
f n
Odwzorowanie przez układ elementarny
w przestrzeni przyosiowej
nn > n
Przedmiot P
F
l
-l
F
Obraz P
-x x
-f f
-s s
f ' f
+ = 1
x ' = s'- f ' x = s - f

Ale
xx ' = ff '
Wzór Newtona
s' s
l' x' f
n s'
� = = - = - =
Powiększenie poprzeczne
n' s
l f ' x
f ' n'
oraz
= -
x = s - f x'= s'-f '
po uwzględnieniu
f n
Soczewka w przestrzeni przyosiowej
n = 1 n = 1
P1
P 1 a" P2
H H
P 2
n
s 2
s2
d
-s1
s 1
Powiększenie � dla soczewki � = �1�2
Płaszczyzny główne �H = 1
W celu znalezienia obrazu dawanego przez
soczewkę wystarczy znać położenie jej płaszczyzn
głównych H, H i ognisk F, F
Dotyczy to również obiektywu, lub innego układu optycznego
Obiektywy w powietrzu f = -f
HH Znane ogniskowa f i
położenie F i F
albo
F F
P P
znane ogniskowa f i
położenie H i H
f
f
-s s
Położenie obrazu P
1 1 1
- =
HH
s' s f '
Powiększenie
P P
poprzeczne
l' s'
� = =
-s s
l s
Obiektyw jako układ cienki
P H n = 1
n = 1 H
l
F
F
-l
P
-x x
f f
-s s
Położenie obrazu P Powiększenie poprzeczne
l' s'
1 1 1
� = =
- =
lub xx' = -f'2
l s
s' s f '
Aberracje obiektywu - aberracje monochromatyczne
Aberracja sferyczna
Astygmatyzm
Koma
Aberracje obiektywu - aberracje monochromatyczne cd
Przedmiot Obraz
Krzywizna pola
Obraz bezdystorsyjny
beczkowata
Dystorsja
jaśkowata
Aberracje obiektywu - aberracje chromatyczne
Ogniskowa f
położenia płaszczyzn głównych H H
są funkcjami 
położenia ognisk F F
�!
położenie obrazu i jego powiększenie są również funkcją 
P F P C
P
s F
s C
chromatyzm położenia
chromatyzm powiększenia
Przykład obiektywu kamery
Aparat fotograficzny
z obiektywem
zmiennoogniskowym
i lampą błyskową
Przyrządy
Lupa
w
l Powiększenie wizualne
Nośnik
F
w' l 250 250
Przedmiot
f
G = = =
w f ' l f '
w
l
250
250
Powiększenie wizualne
G = �ob = �obGok
f'ok
Mikroskop
Ok a" lupa
Ob
-w
Nośnik
f ok
Obraz dany
Przedmiot
przez obiektyw
LUPY
Najprostszy mikroskop o małym powiększeniu
Lupy
Powiększenia G = 2.5  10x
Mikroskop studencki
Mikroskop naukowy
Obiektyw mikroskopowy
Powiększenie �ob. = -40x
Zaznaczone biegi promieni
Przyrządy cd Lunety
Obraz dany przez
Obraz w "
�! Przedmiot w "
obiektyw
Ok
Ob
w
-w
F ob Fok
f ob f ok
W płaszczyz
nie obrazu płytka z
krzyżem celownik
w' f 'ob
Powiększenie
G = = -
w f 'ok
wizualne
Zmierzch przyrządów wizualnych
Profesjonalne układy rejestrują obrazy za pomocą
kamer CCD  Charge Coupled Device
Obraz w komputerze w postaci cyfrowej w celu jego przetwarzania
Lornetka 7x45
Peryskop
Teleskop SALT
w RPA
Współpraca: Polska, RPA,
Niemcy, Nowa Zelandia,
USA i Wielka Brytania
Średnica zwierciadła
11 m !!!
Teleskop SALT
w RPA
Adaptacyjna optyka
91 zwierciadeł o
średnicy 1 m
wysokość 30 m
waga 82 tony
Projektowany jest teleskop o średnicy 100 m
Macierz odbiorników CCD
Typowy wymiar 2.1 x 2.1 mm liczba pikseli 512 x 512
Przestrzeń przyosiowa
Promień w ośrodku niejednorodnym
małe kąty u
r
ą u
dn
n' = n + "r
Z prawa załamania
dr
"r
n
n'siną'= nsiną
u
ponieważ ą = Ą/2  u
ą
oraz ą = Ą/2  u
n'cosu'= ncosu
z
dcosu dn du
ś# �#n ś#�#cosu - sinu "r ś#
a więc lewa
n'�#cosu + "r = + "r
ś# ź# ś# ź#ś# ź#
strona równania
dr dr dr
�# # �# #�# #
dn du dn du
Po wymnożeniu
ncosu + "r cosu - nsinu "r - sinu "r2
dr dr dr dr
= 1 = u
Ponieważ u = dr/dz
pomijalnie mała
wartość
d2r 1 dn
=
równanie promienia
dz2 n dr
Kierunek zmiany n
Światłowód gradientowy
n = n0(1- 0.5a2r2)
Niech
r
z
a - stała
przy czym 0.5a2r2 << 1
d2r 1 dn
dn
więc dla równania
=

= -n0a2r
dz2 n dr
dr
�!
d2r a2r
i równanie różniczkowe
= - H" -a2r
dz2 1- 0.5a2r2
promienia dla światłowodu
Światłowód gradientowy
Warunki początkowe
niech dla z = 0 wysokość padania promienia r = r0 i kąt dr/dz = u0
u0
Rozwiązanie
r = r0 cos(az)+ sin(az)
a
równania
różniczkowego
dr
u = = -r0a sin(az)+ u0 cos(az)
dz
Bieg promieni w
grad(n)
r
światłowodzie dla z = 0 r0
�!
= 0 dla różnych u0
z
0
Okres Y = 2Ą/a
ę!
Y
grad(n)
Wpływ gradientów temperatury
grad(n)
a
n H"1+
1+ t / 273
t  temperatura w 0C
Wpływ gradientów temperatury Zjawisko fata morgana
a p
t  temperatura w 0C
n H"1+
1+ t / 273 760
p - ciśnienie w mm Hg
grad(p) grad(n)
Ziemia
Zalety i trudności optyki geometrycznej
Trudności
Brak pojęcia długości fali. Na podstawie aksjomatów nie można
wyjaśnić rozszczepienia światła przez pryzmat
Promień jest pojęciem geometrycznym zostawiającym ślad bez
możliwości przypisania mu mocy
Niemożliwe wyznaczenie podziału mocy na wiązkę przechodzącą
i odbitą
Nie wyjaśnia zjawisk interferencji, dyfrakcji i polaryzacji
Zalety
Prostota pojęć i prostota analizy biegu promieni
zwłaszcza przy wykorzystaniu komputerów
Literatura uzupełniająca
R.Józ
wicki: Optyka instrumentalna. WNT, Warszawa 1970, rozdział 1, 2.
Fragmenty książki, Fundacja Wspierania Rozwoju i Wdrażania Technik
Optycznych
J.R.Meyer-Arendt: Wstęp do optyki. PWN, Warszawa 1977, rozdział 1
E.Hecht, A.Zajac: Optics. Addison-Wesley Publ. Co., Reading Mass. 1974,
rozdział 5
B.E.A.Saleh, M.C.Teich : Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons,
New York 1991, rozdział 1
M.Born, E.Wolf: Principles of Optics. Pergamon Press, Oxford 1980,
rozdział III
Literatura podstawowa poziom wyższy naukowa