Praca domowa nr 8 z przedmiotu  Rachunek prawdopodobieostwa i Statystyka
Zad. 1. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej -� 5 i odchyleniu standardowym 10.
Obliczyd prawdopodobieostwa:
a) P(�-�1<� X <� 5)�, b) P(�X Ł� -�9)�, c) P(�-� 7 <� X <�1)�, d) P(�X ł� -�7)�, e) P(�X +� 5 Ł�10)� (ostatni
podpunkt rozwiązad dwoma sposobami: (i) zamieniając nierównośd z modułem na nierównośd
dwustronną, (ii) korzystając z reguły jednej sigmy - zob. wykład).
Zad. 2. Ciężar jabłek dostarczanych do skupu ma rozkład normalny ze średnią 8 (dag) i odchyleniem
standardowym 3 (dag). Obliczyd, jaki procent jabłek dostarczanych do skupu nadaje się na eksport,
jeżeli za jabłka eksportowe uważa się tylko te, które ważą więcej niż 11 dag.
Zad. 3. Wzrost dzieci jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 110 (cm) i odchyleniem
standardowym 20 (cm). Obliczyd prawdopodobieostwo, że przynajmniej jedno z trójki losowo
wybranych dzieci będzie miało wzrost większy od przeciętnej.
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale 1,5 ( X ~ U(�1,5 )�). Wyznaczyd:
a) wartośd oczekiwaną zmiennej losowej Y =� 3X +� 2, b) wariancję zmiennej losowej Y =� 3X +� 2.
Wskazówka: wykorzystad wzory na wartośd oczekiwaną i wariancję dla rozkładu jednostajnego,
podane na wykładzie.
Zad. 5. Wiadomo, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem l� >� 0
oraz P(�X <� 3)�=� 26/ 27. Wyznaczyd: a) parametr l� , b) wartośd oczekiwaną zmiennej losowej
Y =� 2X -� 3 , c) wariancję zmiennej losowej Y =� 2X -� 3 .
Wskazówka do b), c): wykorzystad wzory na wartośd oczekiwaną i wariancję dla rozkładu
wykładniczego, podane na wykładzie (wzór na wartośd oczekiwaną dla rozkładu wykładniczego
podawałem również na dwiczeniach).
Zad. 6. Prawdopodobieostwo, że losowo wybrany wyrób produkowany w danym zakładzie jest
wadliwy wynosi 0,02. Stosując przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona, obliczyd
prawdopodobieostwo, że wśród 150 losowo wybranych wyrobów zakładu liczba wyrobów wadliwych
wyniesie między 2 a 5.
Odpowiedzi:
Zad. 1: a) 0,18592, b) 0,34458, c) 0,30501, d) 0,57926, e) 0,68268;
Zad. 2: 15,87%;
Zad. 3: 0,875;
Zad. 4: a) 11, b) 12;
Zad. 5: a) ln3, b) 2/ln3  3 �  1,18, c) 4/(ln3)2 � 3,31;
9 27 81 243 1728 14,4
��
Zad. 6: e-�3ć� +� +� +� =� e-�3 =� � 0,72 .
�� ��
2 6 24 120ł� 120
Ł� e3