Praca domowa nr 7 z przedmiotu  Rachunek prawdopodobieostwa i Statystyka
�� 0, gdy t ��(�-� Ą�,1)�,
��
t3 -�1
��
Zad. 1. Dana jest funkcja F(�t)�=� , gdy t �� 1,2)�, Wykonad następujące polecenia:
��
7
��
��
1, gdy t �� 2, +� Ą�)�.
��
a) ustalid, czy F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej typu ciągłego,
b) jeśli odpowiedz
w pkt. a) jest pozytywna, wyznaczyd gęstośd rozkładu tej zmiennej losowej.
Uwaga do a): podpunkt ten proszę zrobid analitycznie i graficznie (rozwiązanie graficzne polega na
naszkicowaniu wykresu funkcji F i odczytaniu z tego wykresu, czy są spełnione własności (i)-(iii)
dystrybuanty zmiennej losowej typu ciągłego; jeśli tego rodzaju podpunkt byłby na kolokwium, to
będzie można rozwiązać go tylko jedną z metod, tj. analitycznie lub graficznie);
Uwaga do b): różniczkowalnośd funkcji F proszę zbadad analitycznie, warto jednak pamiętad, iż
różniczkowalnośd funkcji można sprawdzid także patrząc na jej wykres (tam, gdzie wykres przechodzi
 gładko funkcja jest różniczkowalna, a tam, gdzie jest  szpiczasty funkcja nie jest różniczkowalna).
0, gdy t ��(�-� Ą�,1)�,
��
��t -�1
��
Zad. 2. Dana jest funkcja F(�t)�=� , gdy t �� 1, c , . Wykonad następujące polecenia:
��
2
��
��
1, gdy t ��(�c,+�Ą�)�.
��
a) wyznaczyd stałą c , dla której F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X typu ciągłego,
b) obliczyd P(�3/ 2 Ł� X Ł� 5/ 2)�.
Uwaga do a): podpunkt ten sprowadza się do wyznaczenia wartości c , dla której zachodzi własnośd
(iii) dystrybuanty (czyli ciągłośd F ); własnośd (i) będzie automatycznie spełniona dla tak
wyznaczonego c , natomiast własnośd (ii) będzie też spełniona (bo we wzorze na F występują
wartości 0, 1 w, odpowiednio, -� Ą� , +� Ą� ).
Zad. 3. Pewien człowiek bierze udział w następującej grze: wyciąga z talii 52 kart 1 kartę; jeśli
wyciągnie asa, to otrzymuje 5 zł, jeśli jakąś figurę, to otrzymuje 2 zł, a jeśli wyciągnie kartę inną od
wymienionych, to płaci 1 zł. Niech X będzie zmienną losową, oznaczającą wygraną gracza.
Wyznaczyd: a) EX (tzn., wartośd oczekiwaną wygraną gracza), b) D2 X , c) trzeci moment zwykły,
zmiennej losowej X .
Zad. 4. Ustalid, ile powinien płacid gracz za wyciągnięcie karty różnej od asa i figury, aby gra
z poprzedniego zadania była sprawiedliwa (tzn., aby wartośd oczekiwana wygranej była równa 0).
��12x3 -� 24x2 +�12x, gdy x��(�0,1)�,
��
Zad. 5. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (�x)�=�
��
��
0, gdy x��(�0,1)�.
��
Wyznaczyd: a) wartośd oczekiwaną, b) wariancję, zmiennej losowej X .
Zad. 6. Zakładając, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale -�1,3 (zob. wykład),
wyznaczyd czwarty moment zwykły tej zmiennej losowej.
Odpowiedzi:
3
��
2
gdy t ��(�1,2)�,
3
��7 t ,
2
Zad. 1: a) tak, b) f (�t)�=� = t �� I(�1,2)�(�t)�;
��
7
��
0, gdy t ��(�-� Ą�,1 �� 2,+�Ą�)�.
��
1 2 594 140 2
Zad. 2: a) 3 , b) ; Zad. 3: a) (zł), b) � 3,51, c) �10,77; Zad. 4: powinien płacid 1 zł;
2 13 169 13 9
2 1 1
Zad. 5: a) , b) ; Zad. 6: 12 .
5 25 5