Podstawowe człony
dynamiczne cz.2
Człony drugiego rzędu
i inne człony nieelementarne
L.Morawski 1
Układami (członami) drugiego rzędu są układy, które opisane są
równaniami różniczkowymi drugiego rzędu lub układy opisane
transmitancją, w której wielomian w mianowniku jest drugiego
stopnia względem operatora Laplace a  s
L.Morawski 2
Człon oscylacyjny
2
Y(s) k�0 k
Transmitancja: G(s) = = =
2 2
U(s) s2 + 2��0s + �0 s2T0 + 2�T0s +1
d2y dy
2 2
+ 2��0 + �0y = k�0u
Równanie różniczkowe:
dt2 dt
k-współczynnik wzmocnienia
�0-pulsacja oscylacji własnych członu
� -względny współczynnik tłumienia ( 0 d"� d" 1 )
Odpowiedz
na skok jednostkowy:
2
1 1 k�0
H(s) = G(s) =
2
s s s2 + 2��os + �0
L.Morawski 3
Człon oscylacyjny
2
1 1 k�0 �ł łł
k1 k k
2
2 3
H (s) = G (s) = �" = k�0 �" + +
2 �ł śł
s s s2 + 2�� s + �0 s s - s1 s - s
o �ł 2 �ł
pierwiastki
2 2
s1 = -�0(� + j 1 - � ) s2 = -�0(� - j 1 - � )
Przypomnienie:
L(s) K1 Ki Kn
F(s) = = +K+ +K+
Ki = [(s - pi )F(s)]
M(s) s - p1 s - pi s - pn s= pi
�ł łł
1 1 1 1 1 1
2
k�0 �ł + +
M(0) s s1(s1 - s2 ) s - s1 s2 (s2 - s1) s - s2 śł
�ł �ł
K1 K2
K3
L.Morawski 4
Człon oscylacyjny
Odpowiedz
na skok
�ł łł
1 1 1
2
1 2
h(t) = k�0 �ł 2 + es t + es t śł
jednostkowy
�0 s1(s1 - s2 ) s2 (s2 - s1)
�ł �ł
0
�ł
e- �� t
Obserwowana
h(t) = k 1 - sin(�0 1 - �2 t + �)łł
�ł śł
pulsacja oscylacji
1
�ł - �2
śł
�ł �ł
2
1 - �
2
przy czym � = arctg
� = � 1 - �
0
�
2�Ą
d1 -
1-�2
= e
d2
d1
d2 d2
ln
d1
� =
2
�ł �ł
d2
4Ą2 + �ł �ł
�łln d1 �ł
�ł łł
L.Morawski 5
Człon oscylacyjny
Odpowiedz
jednostkowa członu drugiego rzędu dla różnych wartości �
przy �0=1, k=1
L.Morawski 6
Człon oscylacyjny
2 2
Równanie charakterystyczne:
s + 2 �� s + � = 0
0 0
Rozkład zer i biegunów: zer: nie ma
bieguny: dla 0 d" � d" 1
bieguny: dla � = 1
s1 =s2 =-�0 =-�
s1 = -�0(� + j 1-�2) s2 = -�0(�- j 1-�2)
img(s)
s1 = -� - j� Bieguny s2 = -� + j�
sprzężone
�0 1- �2
cosą=�
bieguny dla � > 1
-�0� ą
re(s)
1
s1 = -�0(� + �2 -1)= - < 0
T1
1
s2 = -�0(� - �2 -1)= - < 0
- �0 1- �2
T2
L.Morawski 7
Człon oscylacyjny
Rozkład biegunów dla różnych wartości � przy �0=1, k=1
L.Morawski 8
�
0
1
Człon oscylacyjny
Charakterystyki amplitudowo-fazowe
2 2
k�0 �0 - �2 - j2��0�
G ( j�) = G (s) = �" =
2 2
s = j�
�0 - �2 + j2��0� �0 - �2 - j2��0�
2 2
k�0 (�0 - �2 ) - j�" 2k��0�
=
2
2
2
(�0 - �2) + (2��0�)
P(�) Q( �)
� 0 �0 "
P(�) k 0 0
Q(�) 0 -k/2� 0
L.Morawski 9
Człon oscylacyjny
Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy
j�(�)
G( j�) = G( j�) �" e =
2 j�(�)
k�0 �" e
=
2
2
(�0 - �2) + (2��0�)2
j�(�)
k �" e
=
2
2 2
�ł �ł
�ł �ł
�
�ł1- �ł � �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
+ 2�
�ł �ł �ł �ł
�ł
�0 �ł �0
�ł łł �ł łł
�ł łł
�
2�
2��0� �0
�(�) = -arctg = -arctg
2 2
�0 - �2
�ł �ł
�
1- �ł �ł
�ł �ł
�0
�ł łł
L.Morawski 10
Człon oscylacyjny
Przykłady:
U(s) 1 U(s)
Uc (s) = �" =
L sL
R 1
sC s2LC + sRC +1
R + + sL
Uc(s)
sC
1/sC �! C
U(s)
1 R C
�0 = � =
LC 2 L
d2u du 1
Równanie sił f = m + Rm + u
dt2 dt cm
m - masa części ruchomych
cm  współczynnik sprężystości sprężyny
Rm  opór mechaniczny tarcia lepkiego
Y(s) 1 cm
G(s) = = =
1
F(s) s2mcm + sRmcm +1
s2m + sRm +
cm
L.Morawski 11
Człon oscylacyjny
Przykład: zawieszenie samochodu
m  masa nadwozia
y
k  współczynnik resora (=odwrotności współczynnika sprężystości)
nadwozie o
masie m
B  współczynnik teleskopu
B tłumik
resor k
Równanie sił
d2y dy du
�ł
profil drogi
profil drogi m �" + B�ł - �ł - u) = m �"g
+ k(y
�ł
dt2 �ł dt dt
łł
u
poziom odniesienia
g  przyspieszenie grawitacyjne
B
1+ s
d2y dy du Y(s)
k
m �" + B�" + k �" y = B�" + k �" u �! G(s) = =
B
dt2 dt dt U(s)
s2 + s +1
k
L.Morawski 12
Człon całkujący z inercją
dy d2y
kv - współczynnik wzmocnienia
Równanie różniczkowe
+ T = kvx
dt dt2
T - stała czasowa inercji
kv
G(s) =
Transmitancja
Logarytmiczne ch-ki amplitudy i
s(1+ sT)
fazy (Bode go)
Odpowiedz
członu na
wymuszenie skokowe
1
L.Morawski 13
Człon całkujący z inercją
j�
s
Rozkład zer i biegunów:
Zera: nie ma
-1/T
1
�
Bieguny: s1 = 0 (" s2 = -
T
ą-
u= �
ą
kąt G1(s) G2(s)
&!(s) k1 ą(s) k2
G1(s) = = G2(s) = =
�
u=
U(s) 1+ sT &!(s) s
k
G(s) = G1(s)�"G2(s) =
s(1+ sT)
L.Morawski 14
k
i
n
l
i
s
Człon całkujący z inercją
Charakterystyka amplitudowo fazowa
k (1 - j�T) - jk �"(1 - j�T)
G ( j�) = G (s) = =
s = j�
j�(1 + j�T)�" (1 - j�T) � �"[1 + (�T)2]
kT k
P(�) = -
Q(�) = -
1 + (�T)2 � �"[1 + (�T)2]
Q
-kT
P
�="
� 0 1/T "
P(�) -kT -kT/2 0
Q(�) -" -kT/2 0
�=0
L.Morawski 15
Połączenie szeregowe (łańcuchowe) wielu członów
inercyjnych i całkujących
L.Morawski 16
Połączenie szeregowe (łańcuchowe) wielu członów
inercyjnych i całkujących
ą=-(n-m)Ą/2
L.Morawski 17
Połączenie szeregowe (łańcuchowe) wielu członów
inercyjnych i całkujących
Q
k
s2(1+ sT1)(1+ sT2)
P
k
s(1+ sT1)(1+ sT2)
k k
1 2 k
3
1 + sT 1 + sT
1 2 s
k
s(1+ sT1)(1+ sT2)(1+ sT3)
L.Morawski 18
L.Morawski 19
L.Morawski 20