Podstawowe człony
dynamiczne cz.1
Człony pierwszego rzędu
L.Morawski 1
Człony pierwszego rzędu są to takie człony,
które opisane są równaniami różniczkowymi
pierwszego rzędu lub co jest temu
równoważne, opisane transmitancją, której
wielomian mianownika jest pierwszego rzędu
L.Morawski 2
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny (zerowego rzędu)
Y(s)
U(s)
y(t)
u(t)
G(s)
Y(s)
y(t) = kÅ"u(t) Ò! Y(s)= kÅ"U(s) Ò! G(s)= = k
U(s)
Charakterystyki logarytmiczne
Odpowiedz
jednostkowa
20log|G(jÉ)|
y(t), u(t)
20logk
y(t)
logÉ
u(t)
Õ(É)
t
logÉ
L.Morawski 3
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
G( jÉ) = G(s) = P(É) + jQ(É) = k Ò! P(É) = k
s= jÉ
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Przykład:
Q
R2
k
P
u1(t)
R1 u2(t)
R1
u1(t) = u2 (t)
R1 + R
2
R1
G(s) = k =
R1 + R
2
L.Morawski 4
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
Vcc
Napięcia
wejściowe Zasilanie
Napięcie
vi Ri R0
wyjściowe
v+
vo
v-
Napięcia mierzone są względem masy,
Ri, Ro rezystancja wejściowa i wyjściowa wzmacniacza
Wzmocnienie
wejście
wejście
wzmacniacza
nieodwracajÄ…ce
odwracajÄ…ce
Ro >> Ri
operacyjnego
½ = A (½ - ½ )
o o + -
4 6
= v
A = 10 ÷ 10 >> 1
i o
L.Morawski 5
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
vo =A0(0-v-) Ò! v- H"0, v+ =0, i-,i+ H"0
vo -v- v- -vi vo vi
= Ò! =-
R2 R1 R2 R1
vo R2
=-
vi R1
L.Morawski 6
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
R2
R2 R2
v0 = v2(1+ )
Ò! v0 = v2(1+ )-v1
R1 R1 R1
L.Morawski 7
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
Rz
z2
R1
z1 _
_
R2
+
vo
+
vi v1
vo
v2 Rn
n
vn
vo z2 1
vo = -R vi
z "
= -
R
i=1
i
vi z1
Inwerter (blok zmieniajÄ…cy znak sygn.)
n = 1 R1 = Rz = R Ò! vo = -v1
1 1
kondensator
Ò! z = =
C
jÉC sC vo
v1 -1
jÉ=s
Sumator
indukcyjność
Ò! z = jÉLjÉ=s =sL
L np. n = 2 Rz = R1 = R2 = R
vo = -(v1 + v2 )
v1 vo
v2
L.Morawski 8
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony proporcjonalne mechaniczne
cÅ"y = Ä„d2(h -h0)
Ó!
Ä„d2
Y(s)= Å"H(s) +k0
c
l2 k
F1 Å"l1 = F2 Å"l2 Ò! F1(s) = Å"F2(s)
l1
k
Przekładnia zębata
N1(s) Å" D1 = N2 (s) Å" D2
D1
N2 (s) = Å" N1(s)
D2
L.Morawski 9
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony proporcjonalne mechaniczne
Kaskada pneumatyczna
Siłownik
p0-ciśnienie powietrza zasilania
cÅ"Y(s) = AÅ"Px (s) R1
kH"20-40 N/mm3
pk-ciśnienie wyjściowe
A
p0 p0 Å"kx
Y(s) = Å"Px(s)
R2a"x pk = Å"R2 = (x0 -x)
c
R1 +R2 R1 +R2
Atm p=0
L.Morawski 10
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony proporcjonalne mechaniczne
Wzmacniacze ciśnienia powietrza w wykonaniu:
a) na równoważni pneumatycznej, b) membranowym
py Å"s = pu Å"S
S
py Å"s Å"l1 = pu Å"SÅ"l2
py = Å" pu = k Å" pu
s
SÅ"l2
py = Å" pu = k Å" pu
sÅ"l1
L.Morawski 11
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony inercyjne
dy
Równanie różniczkowe
T + y(t) = ku(t)
dt
k - współczynnik wzmocnienia
Y(s) k
G(s) = =
Transmitancja
T  stała czasowa
U(s) 1+ sT
Przykład: Wyznaczyć odpowiedz
na skok jednostkowy członu inercyjnego
1
k 1 kA 1 kA 1
Ô! e-at
H(s) = Å" A = = Å" Å"
s + a
1
1+ sT s s Å"(1+ sT) s T
+ s
T
całkowanie w dziedzinie czasu
t
t 1 1 1
- Ä - Ä ëÅ‚ - t öÅ‚
kA kA
T T T
ìÅ‚
Ò! y(t) = h(t) =
+"e dÄ = Å"(- T)Å"e = kAìÅ‚1- e ÷Å‚
÷Å‚
T T
0 íÅ‚ Å‚Å‚
0
L.Morawski 12
Człony inercyjne
Charakterystyki amplitudowo-fazowe
k (1- jÉT) k- jkTÉ
É 0 1/T "
G(jÉ) =G(s)s=jÉ = Å" =
1+ jÉT (1- jÉT) 1+É2T2
P(É) K k/2 0
k kTÉ funkcja parzysta (É)
Q(É) 0 -k/2 0
= - j
1+É2T2 1+É2T2 funkcja nieparzysta
2
2
k kTÉ
k k
ëÅ‚ öÅ‚
2
P(É) = Q(É) =-
P + Q =
ìÅ‚ - ÷Å‚
1+É2T2 1+É2T2 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
L.Morawski 13
Człony inercyjne
t t
ëÅ‚ - öÅ‚ -
dh(t) kA kA
T T
ìÅ‚ ÷Å‚
h(t) = kAìÅ‚1- e Ò! = e =
÷Å‚
dt T T
íÅ‚ Å‚Å‚
t=0
T
ëÅ‚ - öÅ‚ -1
e
T
ìÅ‚ ÷Å‚
h(t) = h(T) = kAìÅ‚1- e = kA H" 0.63Å" kA
t=T ÷Å‚
e
íÅ‚ Å‚Å‚
3T
ëÅ‚ - öÅ‚
e3 -1
T
ìÅ‚ ÷Å‚
h(t) = h(3T) = kAìÅ‚1- e = kA H" 0.95Å" kA
t=3T ÷Å‚
e3
íÅ‚ Å‚Å‚
L.Morawski 14
Człony inercyjne
Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy (ch-ki Bodego)
k
Lm = 20log =
20log(k)
1+ (ÉT)2
20log k - 20log 1+ (ÉT)2
1
Å„Å‚
0 dla É <<
ôÅ‚
T
=arctg(-ÉT) òÅ‚
1 1
ôÅ‚ - 20log É dla É >>
20log
ół T T
ëÅ‚ öÅ‚
Q(É)
Õ(É) = arctgìÅ‚ ÷Å‚ = arctg(-ÉT)
ìÅ‚ ÷Å‚
P(É)
íÅ‚ Å‚Å‚
jÉ
Rozkład zer i biegunów:
-1/T
´
Zera nie ma
1
Bieguny: P%º% s = -
T
L.Morawski 15
Człony inercyjne
Prądnica prądu stałego
diw
e = kp Å"iw uw = Rwiw + L
dt
E(s) = kp Å" Iw (s), Uw (s) = R Iw (s) + sLIw (s)
w
Uw (s) E(s) k
Iw (s) = , =
ëÅ‚ öÅ‚ Uw (s) 1+ sT
L
ìÅ‚ ÷Å‚
Rw ìÅ‚1+ s÷Å‚
Rw
íÅ‚ Å‚Å‚
É
kp
L
T = , k =
Rw R
w
Czwórnik LC
di u2 L du2
u1 - u2 = L , i = Ò! u1 = u2 +
dt R R dt
L U2(s) 1
U1(s) = U2(s) + s U2(s) Ò! =
L
R U1(s)
1+ s
R
L.Morawski 16
2
0
l
o
g
(
1
/
T
)
-
2
0
l
o
g
Człony inercyjne
C
1 1
1
zc = =
R2 Å"
jÉC sC
jÉ=s R2
sC
R2
1
-
R1
ZR ||C R2 + sC R1
U2(s)
2
= - = - =
U1(s) ZR R1 1+ sR2C
1
+
u1
u2
R2
k = - , T = R2C
R1
R
U1(s) 1 U1(s)
u1 U2(s) = =
u2
C
1
sC 1+ sRC
R +
sC
||| "p = Rp Å"Q Rp - [Ns/m5]
"u [V] "! "p [N/m2 ]
dp
i [A] "! Q [m3 / s]
Q = Cp Cp - [m5 / N]
dt
P2(s) 1
=
P1(s) 1+ sRpCp
L.Morawski 17
Człony inercyjne
Silnik prądu stałego (obcowzbudny)
sterowany w obwodzie wirnika
u = R Å"i + e e = k' Å"É
Uw
dÉ
M = J - moment bezwładności
dt
R
'
- moment elektryczny
Me = k1 Å"i
i
J dÉ
Me = M Ò! i =
u e
'
k1 dt
É
1
&!(s)
k' k
G(s) = = =
RJ
U(s) 1+ sT
1+ s Å"
'
k'k1
L.Morawski 18
Człony inercyjne
(dopływ)
Zbiornik posiada swobodny wypływ
QE
(tłumienie wypływu)
Qs tłumiony zwężką R. Dla zbiornika
bilans materiałowy jest następujący:
S-powierzchnia wypływu
R -zwężka
h dH dH
H0
QE - Qs = A , QE - K H = A
(wysokość)
H
dt dt
swobodny wypływ
Qs = K H
A (powierzchnia zb.)
V
(objętość)
QS
(wypływ)
mv2
mgH = Ò! v = k'Å" H
2
dla punktu równowagi Qs0, H0, spełniona jest zależność:
Qs = v Å"S = K Å" H
linearyzac ja
dH
0
Q - K H = A = 0 H = H + h, h << H , Q = Q + q , q << Q
E 0 0 0 0 E E0 E E E0
Ò!
dt
2A H0
1
d(H0 + h) h dh
T = , k =
QE0 + qE - K H0 + h = A , Ò! QE0 + qE - K H0 1+ = A
K A
dt H0 dt
2 H0
1 h dh 1 dh H(s) k
QE0 + qE - K H0 - H0 = A , Ò! qE - h = A , C = Ò! =
2 H0 dt C dt K QE (s) 1+ sT
L.Morawski 19
Człony całkujący
t t
Y(s) k
1 1
y(t) = k G(s) = =
+"u(Ä)dÄ = +"u(Ä)dÄ k =
T T
U(s) s
0 0
Odpowiedz
jednostkowa
Odpowiedz
impulsowa
t
t
y(t) = h(t) = k Å"1(t)dt =kA Å" t
y(t) = g(t) = k = k Å"1(t)
+"A +"´(Ä)dÄ
0 0
u(t)
u(t)
h(t)
g(t)
´(t)
A·!(t)
k·!(t)
t
t
L.Morawski 20
t
A
k
Człon całkujący
Charakterystyki amlitudowo-fazowe (Nyguista)
Q(É)
P(É)
k k
G( jÉ) = G(s) = = - j = Q(É), P(É) = 0
É="
s= jÉ
jÉ É
Logarytmiczne charakterystyki amlitudy i fazy
(Bodego)
k k
É=0+
G( jÉ) = G(s) = = - j Ò! 20log | G(jÉ) |=
s= jÉ
20log|G|
jÉ É
20logk
Ä„
= 20log k - 20log É, Õ(É) = arg(G( jÉ))= -
logÉ
2
É=1
Rozkład zer i biegunów:
jÉ
Õ(É)
s
logÉ
Zera nie ma
´
Bieguny: P%º%
-Ä„/2
s = 0
L.Morawski 21
Człon całkujący
Przykłady członów całkujących
1 1
zc = =
jÉC sC
jÉ=s C 1
U2(s) 1
sC
R
G(s) = = - = -
U1(s) R RCs
+
u1
1
u2
k = - T = RC
RC
Y(s) k
G(s) = =
U (s) s
L.Morawski 22
-2
0
l
o
g
É
Człon całkujący
Przykładem członu całkującego jest np licznik odległości, licznik
obrotów, przekładnia mechaniczna jeśli jako wymuszenie przyjmie się
prÄ™dkość kÄ…towÄ… koÅ‚a, waÅ‚ka napÄ™dowego É natomiast za wyjÅ›cie
wskazania licznika lub kąt położenia wałka przekładni
Ä…-kÄ…t
Ä…(s) k
G(s) = =
É(s) s
t
Ä…(t) = k
+"É(Ä)dÄ
0
É
L.Morawski 23
Człon całkujący
Przykłady członów całkujących
t
Qwe
dh Qwe 1
Adh = Qwedt Ò! = Ò! h = (Ä)dÄ
we
+"Q
dt A A
0
h
H(s) k 1
G(s) = = k =
Qwe(s) s A
A-pole powierzchni
L.Morawski 24
Człon różniczkujący
du
Równanie różniczkowe y(t) = k k - współczynnik wzmocnienia
dt
Charakterystyka Bode go
Y(s)
Transmitancja
G(s) = = ks
G(jÉ) = G(s)s=jÉ = jkÉ
U(s)
Ä„
20log| G|= 20logk+20logÉ, Õ(É) =
Odpowiedz
członu na wymuszenie skokowe
2
20logk
1
Rozkład zer i biegunów:
jÉ
Zera:
s = 0
s
´
Bieguny: brak
L.Morawski 25
Człon różniczkujący
Charakterystyka amplitudowo-fazowa Przykłady:
G(jÉ) = G(s) = jkÉ = Q(É) P(É) = 0
s= jÉ
Q(É)
P(É)
É=0+
U (s) R
1 1 2
G(s) = = - = - RCs
zc = =
1
U (s)
1
jÉC sC
R
jÉ=s
sC
k = -RC
C
Ze względu na złą polaryzację wej. -
+
u1
wzmac. oraz podatność na zakłócenia o
u2
dużej częstotliwości układ rzadko jest
stosowany
L.Morawski 26
É"
Człon różniczkujący
Przykłady idealnego członu różniczkującego:
1. Sprężyna: za wymuszenie przyjmujemy siłę działającą na sprężynę, a za odpowiedz

prędkość  v przesuwania się końca sprężyny.
t
1 du u
f =
+"v(Ä)dÄ v(t) = f =
Cm -" dt cm
gdzie - współczynnik sprężystości
Cm
1
Po przekształceniu Laplace a F(s) = V (s)
sCm
V (s)
G(s) = = sCm
StÄ…d otrzymujemy transmitancje operatorowÄ…:
F(s)
2. Kondensator
ic C
duc Ic (s)
ic(t) = C Ò! G(s) = = sC
uc
dt Uc(s)
L.Morawski 27
Rzeczywisty człon różniczkujący
dy dx
Równanie różniczkowe T + y(t) = k
k - współczynnik wzmocnienia
dt dt
T  stała czasowa
ks
Transmitancja G(s) =
1+ sT
Charakterystyka Bode go
Odpowiedz
członu na
wymuszenie skokowe
Rozkład zer i biegunów:
jÉ
s
s = 0
Zera:
-1/T
´
1
Bieguny: -
s =
T
L.Morawski 28
Rzeczywisty człon różniczkujący
Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquista)
jkÉÅ"(1- jÉT) kÉ2T kÉ
G(jÉ) = G(s) = = + j
s= jÉ
(1+ jÉT)Å"(1- jÉT) 1+ É2T2 1+ É2T2
kÉ2T kÉ
P(É) = Q(É) =
1+ É2T2 1+ É2T2
Q(É)
É 0 1/T "
É=1/T
k/2T
P(É) 0 k/2T k/T
Q(É) 0 k/2T 0
2
2 Õ(É)=45o
k k
ëÅ‚ öÅ‚
2 É=" P(É)
P + Q =
ìÅ‚ - ÷Å‚
2
2T 4T
íÅ‚ Å‚Å‚ k/2T
É=0
L.Morawski 29
Rzeczywisty człon różniczkujący
U2(s) sT
G(s) = = T = RC
U1(s) 1+ sT
1 1
z = =
c
jÉÉ sC
R2 R2 sR2C ks
jÉ =s
G(s) = - = =
1
1+ sR1C 1+ sT
R1 C
R1 +
sC
+ k = R2C T = R1C
u1
u2
L.Morawski 30
Rzeczywisty człon różniczkujący
du dy
öÅ‚
c Å" y(t) = BÅ" v(t) = BÅ"ëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
v(t) - prędkość tłoczka względem cylindra
du dy B dy B du
öÅ‚
c Å" y(t) = BÅ"ëÅ‚ - ÷Å‚
Ò! Å" + y = Å"
ìÅ‚
dt dt c dt c dt
íÅ‚ Å‚Å‚
Y(s) Ts B
G(s) = = T =
U(s) 1+ sT c
L.Morawski 31
Człon opóz
niajÄ…cy
Odpowiedz
na skok jednostkowy
Y(s)
y(t) = u(t - Ä) Ô! G(s) = = e-sÄ u(t)
U(s)
t
y(t)
Przykład:
Ä
t
l
y(t) = u(t - Ä) Ä =
v
L.Morawski 32
Człon opóz
niajÄ…cy
Charakterystyki amplitudowo-fazowe
Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy
G(jÉ) = G(s)s= jÉ = e- jÉÄ =
Lm = 20log | G |= 20log(1) = 0 Õ(É) = -ÉÄ
= cos(ÉÄ) - jsin(ÉÄ)
P(É) = cos(ÉÄ) Q(É) = -sin(ÉÄ)
L.Morawski 33