MODELOWANIE UKA
ADÓW
DYNAMICZNYCH
PODSTAWOWE CZA
ONY
DYNAMICZNE
Krzak Igor
Politechnika Krakowska
Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej
Kierunek: Elektrotechnika;
rok I, semestr 2; gr.13
str. 1
Podstawowe człony dynamiczne- wstęp
Człon podstawowy jest to element przetwarzający wprowadzony do niego sygnał wejściowy
x(t) na sygnał wyjściowy y(t) w sposób elementarny. Przetwarzanie elementarne oznacza,
między innymi, realizację podstawowych funkcji elementarnych, takich jak: mnożenie przes
stały współczynnik, różniczkowanie, całkowanie.
y(t)
Człon dynamiczny
x(t)
G(s)
Rys1. Schemat członu podstawowego
Właściwości dynamiczne każdego obiektu można opisać za pomocą bilansu substancji i
energii. Związki te wiążą sygnał wejściowy x(t) z sygnałem wyjściowym y(t) i mają
najczęściej postać równania różniczkującego zwyczajnego liniowego. W przypadku równań
nieliniowych przeprowadza się linearyzację. Równania różniczkowe stanowią pierwotny opis
właściwości dynamicznych obiektów i mogą być podstawą ich podziału. Wyróżnia się
następujące dynamiczne człony podstawowe:
-obiekt bezinercyjny (liniowy)
- obiekt inercyjny pierwszego rzędu
- obiekt inercyjny pierwszego rzędu z opóz
nieniem
-obiekt inercyjny drugiego rzędu oscylacyjny
- obiekt inercyjny n-tego rzędu
- obiekt całkujący idealny
- obiekt różniczkujący idealny
- obiekt rzeczywisty całkujący i różniczkujący
Z równania różniczkowego można uzyskać inne rodzaje opisu właściwości dynamicznych,
np. transmitancje operatorowe i odpowiedzi skokowe.
str. 2
 Transmitancja operatorowa jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do
transformaty sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych
G(s)= ( )
( )
Gdzie: Y(s)=L{y(t)}- transformata Laplace`a sygnału wyjściowego,
X(s)={x(t)}- transformacja Laplace a sygnału wejściowego.
Odpowiedz
skokowa jest to przebieg zmiany sygnału wyjściowego y(t) pod wpływem
wymuszenia skokowego x(t)=1(t)"x ("x- amplituda skoku), gdzie l(t)- funkcja skoku
jednostkowego
l(t) 0 < 0
1 e" 0
str. 3
Charakterystyki w dziedzinie czasu
str. 4
Człon bezinercyjny (liniowy, proporcjonalny)
Człon bezinercyjny (liniowy, proporcjonalny)
Człon bezinercyjny (liniowy, proporcjonalny)
y(t)
x(t)
to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) proporcjonalny do sygnału wejś
ściu daje sygnał proporcjonalny do sygnału wejściowego x(t):
Gdzie k to współczynnik wzmocnienia.
Gdzie k to współczynnik wzmocnienia.
Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje zwią
ązku obustronnej daje związek pomiędzy
transformatami obu sygnałów:
transformatami obu sygnałów:
Stąd transmitancja członu proporcjonalnego ma posta
członu proporcjonalnego ma postać:
Odpowiedz
impulsowa:
Charakterystyka skokowa członu proporcjonalnego wynosi:
członu proporcjonalnego wynosi:
" w dziedzinie operatorowej
w dziedzinie operatorowej
,
" w dziedzinie czasu
w dziedzinie czasu
.
str. 5
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego to proste równoległe do osi
czasu.
Implementacja w MATLABIE:
k=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1];
step(licz, mian), grid on;
end
str. 6
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe:
Odpowiedz
na wymuszenie impulsowe członu proporcjonalnego to prosta równoległa do osi
czasu przechodzÄ…ca przez oÅ› x w punkcie 0.
Implementacja w MATLABIE:
k=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 7
Przykładami członów proporcjonalnych są: przekładnie zmieniające liczbę obrotów, przekładnie
zmieniające moment napędowy, wzmacniacze elektroniczne oraz większość czujników -
przetworników pomiarowych.
Przykładem realizacji jest również dz
wignia dwuramienna;
Na dz
wignię działa siła F1( na schemacie u=x1) przyłożona w punkcie a od punktu odparcia,
wywołująca reakcję w postaci siły F2( schemat- y=x2) na drugim końcu dz
wigni odległym od
punktu b od punktu odparcia. Przyjmując, że belka jest sztywna i nieważka można napisać
równanie sił:
StÄ…d:
str. 8
Człon inercyjny pierwszego rzędu
Jest to powszechnie używany model urządzeń obdarzonych szeroko rozumianą
bezwładnością mechaniczną i cieplną. Przykładem urządzeń o cechach członu inercyjnego są:
- grzejniki elektryczne
-czwórniki RC
x(t) y(t)
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:
gdzie:
y  odpowiedz

k  wzmocnienie
u  wymuszenie
T  stała czasowa
Odpowiedz
skokowÄ… i impulsowÄ… opisujÄ… wzory:
str. 9
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:
Im większa wartość stałej czasowej tym wolniej odpowiedz
członu inercyjnego dąży do
wartości ustalonej.
Implementacja w MATLABIE dla zmiennego T i stałego wzmocnienia:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(1)];
mian=[T(x) 1];
step(licz, mian), grid on;
end
Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];
hold on;
str. 10
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[T(1) 1];
step(licz, mian), grid on;
end
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe
Implementacja w MATLABIE dla zmiennego T i stałego wzmocnienia:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(1)];
mian=[T(x) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 11
Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[T(1) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 12
Przykładem rzeczywistym członu inercyjnego pierwszego rzędu jest czwórnik elektryczny
RC.
Natężenie prądu przepływającego przez rezystor ma wartość:
A prÄ…du Å‚adowania kondensatora
Po porównaniu obu wzorów uzyskuje się:
str. 13
I ostatecznie równanie dynamiki o postaci
Gdzie T=RC jest stałą czasową członu.
Po zastosowaniu go równania dynamiki przekształcenia Laplace a i wyznaczeniu
transmitancji otrzymuje się wyrażenie:
str. 14
Człon inercyjny pierwszego rzędu z opóz
nieniem
y(t)
x(t)
Człon opóz
niający jest elementarnym czlonem dynamicznym opisany za pomocą równania:
y(t)=k(x)(t-T)
gdzie: x(t)- wartość sygnału wejściowego, y(t) wartość sygnału wyjściowego.
Opis transmitancyjny:
Po zastosowanie przekształcenia Lapleac a do obu stron równania możemy przejść do opisu
w dziedzinie zmiennej zaspolonej s. Jeśli założymy, że warunki początkowe ukladu są
zerowe, to otrzymujemy wówczas opis tego układu w postasci transmitancji operatorowej
Y(s)=ke X(s)
G(s)ke
Odpowiedz
impulsowa ukladu:
Odpowiedzą impulsową układu opóz
niającego można wyznaczyć na podstawie jego
transmitancji w sposób następujący:
g(s)=G(s)=ke
oraz w dziedzinie czasu
g(t)=k´(t-T)
W MATALBIE wpisujemy:
k=1;
T=1;
theta=1;
[licz_op, mian_op] = pade(theta, n);
licz_iner = [0,k]; mian_iner = [T,1];
obiekt=tf(licz_iner,mian_iner,'outputdelay',theta);
str. 15
impulse(obiekt)
i otrzymujemy:
Odpowiedz
na skok jednostkowy:
h(s)=G(s)
W MATALBIE wpisujemy:
k=1; T=1; theta=1;
[licz_op, mian_op] = pade(theta, n);
licz_iner = [0,k]; mian_iner = [T,1];
obiekt=tf(licz_iner,mian_iner,'outputdelay',theta);
step(obiekt)
I otrzymujemy:
str. 16
Przykładem członu inercyjnego I-rzędu z opóz
nieniem jest podajnik taśmowy
str. 17
Człon inercyjny drugiego rzędu oscylacyjny
x(t)
y(t)
Równanie różniczkowe członu oscylacyjnego II- rzędu
gdzie
To  okres drgań nie tłumionych,
ś  współczynnik tłumienia,
k  wzmocnienie równe stosunkowi ustalonej wartości sygnału wyjściowego do ustalonej
wartości sygnału wejściowego.
Transmitancja operatorowa
Odpowiedz
skokowa
gdzie
.
Odpowiedz
skokowa ma charakter oscylacyjny, jeżeli spełniony jest warunek:
Odpowiedz
impulsowa
str. 18
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:
Implementacja w MATLABIE dla zmiennego k:
k=[3 6 9];
Wn=[300 600 900];
ksi=[0.3 1 2];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)*Wn(1)^2];
mian=[1 2*ksi(1)*Wn(1) Wn(1)^2];
step(licz, mian), grid on;
end
Implementacja w MATLABIE dla zmiennego k:
str. 19
k=[3 6 9];
Wn=[300 600 900];
ksi=[0.3 1 2];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)*Wn(1)^2];
mian=[1 2*ksi(1)*Wn(1) Wn(1)^2];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 20
Przykładem członu inercyjnego II-rzędu jest manometr cieczowy dwuramienny
str. 21
Człon całkujący idealny
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:
Gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia.
Odpowiedz
skokowÄ… i impulsowÄ… opisujÄ… wzory:
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:
Odpowiedzią członu całkującego na wymuszenie skokowe jest brak stanu ustalonego.
Implementacja w MATLABIE:
k=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1 0];
step(licz, mian), grid on;
end
str. 22
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe
Odpowiedz
na wymuszenie impulsowe członu całkującego to proste równoległa do osi czasu.
Implementacja w MATLABIE:
k=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1 0];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 23
str. 24
Człon różniczkujący idealny
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:
· Odpowiedzi czasowej na wymuszenie skokowe nie można wykreÅ›lić, gdyż funkcjÄ… Diraca
nie można jej sporządzić.
- w dziedzinie operatorowej wynosi: Y(s)=k
- w dziedzinie czasu wynosi: Y(t)= k*´(t)
Człon różniczkujący idealny nie jest realizowany fizycznie. W praktyce stosuje się więc
połączenie szeregowe tego członu z członem inercyjnym uzyskując tzw. Człon różniczkujący
rzeczywisty. Przykładem tego jest czwórnik elektryczny CR.
str. 25
str. 26
Człon całkujący rzeczywisty
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:
Gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia, a T *s+ stałą czasową.
Odpowiedz
skokowÄ… i impulsowÄ… opisujÄ… wzory:
-Odpowiedz
skokowa(k=const.)
T=[2 4 6];
hold on;
for x=1:3
L=[2 0];
M=[T(x) 1];
sys=tf(L,M);
step(sys), grid on;
str. 27
end
-Odpowiedz
impulsowa(k=const.)
T=[2 4 6];
hold on;
for x=1:3
L=[2 0];
M=[T(x) 1];
sys=tf(L,M);
impulse(sys), grid on;
end
str. 28
Przykładem układu rzeczywistego realizującym funkcję członu całkującego rzeczywistego
jest silnik prądu stałego
str. 29
Człon różniczkujący rzeczywisty
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:
Gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia.
Odpowiedz
skokowÄ… i impulsowÄ… opisujÄ… wzory:
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:
Im większa wartość T tym wykres zaczyna się niżej.
Implementacja w MATLABIE dla stałego wzmocnienia równego 3:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(1) 0];
mian=[T(x) 1];
step(licz, mian), grid on;
end
str. 30
Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];hold on;
for x=1:3
licz=[k(x) 0];
mian=[T(1) 1];
step(licz, mian), grid on;
end
str. 31
Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe:
Implementacja w MATLABIE dla stałego wzmocnienia równego 3:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(1) 0];
mian=[T(x) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 32
Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:
k=[3 6 9];
T=[3 6 9];
hold on;
for x=1:3
licz=[k(x) 0];
mian=[T(1) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end
str. 33
.
str. 34
Człon inercyjny n-tego rzędu
Odpowiedz
impulsowa określona jest zależnością:
str. 35
W MATALBIE wpisujemy:
k=2;
T1=1;
T2=3;
T3=4;
T4=5;
L=[k];
M1=[T1*T2,T1+T2,1];
M2=[T3*T4,T3+T4,1];
sys1=tf(L,M1);
sys2=tf(L,M2);
impulse(sys1,sys2)
I otrzymujemy:
Odpowiedz
skokowa
k=2;
str. 36
T1=1;
T2=3;
T3=4;
T4=5;
L=[k];
M1=[T1*T2,T1+T2,1];
M2=[T3*T4,T3+T4,1];
sys1=tf(L,M1);
sys2=tf(L,M2);
step(sys1,sys2)
Otrzymujemy
str. 37
PODSUMOWANIE.
Po napisaniu krótkiego kodu w Matlabie w łatwy sposób można zapoznać się z
charakterystykami podstawowych członów.
W układach regulacji automatycznej ważna jest znajomość charakterystyki
dynamicznej badanego obiektu. Charakterystyka dynamiczna określa zachowanie się układu
w stanie nieustalonym. Własności obiektu w stanie przejściowym można opisać podając
transmitancjÄ™ operatorowÄ…, transmitancjÄ™ widmowÄ…, charakterystykÄ™ czasowÄ… bÄ…dz

częstotliwościową. Spośród charakterystyk czasowych największe zastosowanie znalazły
odpowiedzi układu na wymuszenie standardowe. Za wymuszenie takie przyjęto skok
jednostkowy 1(t) lub jego pochodnÄ… wzglÄ™dem czasu-impuls Dirac a ´. Odpowiedzi ukÅ‚adów
na te wymuszenia nazywamy odpowiednio:
- odpowiedziÄ… skokowÄ… - h(t);
- odpowiedziÄ… impulsowÄ… - g(t);
str. 38