METODY NUMERYCZNE
Funkcja y=f(x) dana jest w postaci tablicy (dotyczy zadania 1-4):
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 2 5 7 7 4 0 -2 -5 -6 -4
1. Przeprowadzić interpolacje funkcji y=f(x) dla dowolnie wybranych trzech kolejnych
węzłów:
x 0 1 2
y 4 0 -2
1 0 0 a1 4
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#1 1 1Ą# * ó#a Ą# ó# Ą#
= 0
2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# Ą#
3
Ł#1 2 4Ś# ó# Ą# ó#- 2Ś#
Ł#a Ś# Ł#
a0=4
a1+a2=-4 a0=4
a0+a1+a2=0
-a1-2a2=3 a1=-5
a0+2a1+4a2=-2
a2=1
-a2=-1
a1+a2=-4
2a1+4a2=-6
Wynik: y=x2-5x+4
2. Dokonać aproksymacji funkcji y=f(x) dla -2 d" x d" 5 wielomianem liniowym:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 7 7 4 0 -2 -5 -6 -4
1
Ą# - 2 1 -1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 8 12
ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
�(x) = + +
ó# Ą# ó# Ą# ó#0 0Ą# + ó#1 1Ą# + ó#2 4Ą# + ó#3 9Ą# + ó#4 16Ą# + ó#5 25Ą# = ó#12 60Ą#
Ł#- 2 4 Ś# Ł#-1 1 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
7 7 4 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą#- 2 - 5 - 6 - 4 1
ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
F(x) = + + + + + + + =
ó# Ą# ó# ó#0Ą# ó#0Ą# ó# ó# Ą# ó# ó# ó#
Ł#-14Ś# Ł#- 7Ą# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł#- 4Ą# Ł#-15Ś# Ł#- 24Ą# Ł#- 20Ą# Ł#- 84Ą#
Ś# Ś# Ś# Ś# Ś#
8 12 a0 1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
=
ó#12 60Ą# * ó#a Ą# ó#
3
Ł# Ś# Ł# 1 Ś# Ł#- 84Ą#
Ś#
21a1=-42 /:21
4
171
8a0+12a1= 1
a1= =-2.0357142
12a0+60a1=-84
84
a0=3.1785711
3
-6a0-9a1= -
4
Wynik: y=3.1785711-2.0357142x
6a0+30a1=-42
3. Oblicz metodą numeryczną f (1) i f  (-1)
przy h=1
f (1):
fk +1 - fk -1 - 2 - 4
fk = = = -3
2h 2
f  (-1):
fk +1 - 2 fk + fk -1 -14 + 7
4
fk  = = = -3
h2 1
2
4. Wyznaczyć f (x)dx
+"
-4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y 2 5 7 7 4 0 -2
a) metodą trapezów
m-1
h 1
J= (y0 + ym + 2 yi )= (2 - 2 + 2(5 + 7 + 7 + 4)) = 23
"
2 2
i=1
b) metodą Simpsona
m-2 m-1
h 1 1
J= (y0 + ym + 2 y2i + 4 y2i-1) = (2 - 2 + 2(7 + 4) + 4(5 + 7 + 0)) = 23
" "
3 3 3
i=1 i=1
5. Przybliżyć pierwiastek równania e-x=4-x2 zawarty w przedziale [1.9; 2]
a) metodą połowienia (3 kroki obliczeń)
a + b 1.9 + 2 3.9
x= = = = 1.95
2 2 2
f (1.95) = e- x - 4 + x2 =0.14227-4+3.8025=-0.05523 <1,95; 2>
1,95 + 2 3.95
x= = = 1.975
2 2
f (1.975) = e- x - 4 + x2 = 0.13876 - 4 + 3.90062 = 0.03938 <1,95; 1,975>
1,95 +1.975 3.925
x= = = 1.9625
2 2
f (1.9625) = e- x - 4 + x2 = 0.14051- 4 + 3.85141 = -0.00808 <1,9625; 1,975>
b) metodą siecznych (2 kroki obliczeń)
f (b)
x1 = b - (b - a)
f (b) - f (a)
f (2) 0.13534
x1 = 2 - (2 -1.9) = 2 - �" 0.1 = 1.96398
f (2) - f (1.9) 0.13534 + 0.24043
f (b)
xn+1 = b - (b - xn )
f (b) - f (xn )
0.13534
x2 = 2 - (2 -1.96398) = 1.98704
0.13534 + 0.0024
6. Rozwiąż równanie różniczkowe y =x+2y w przedziale [0;0.4] przyjmując warunek
początkowy y(0)=0.5 oraz długość kroku h=0.2 stosując metodę Rungego-Kutty IV Rzędu.
Krok 1:
x1=x0+h=0+0.2=0.2
k1=0+2*0.5=1
k2=0+0.1+2(0.5+1*0.1)=0.1+1.2=1.3
k3=0+0.1+2(0.5+1.3*0.1)=1.36
k4=0+0.1+2(0.5+1.36*0.2)=1.744
1
y1=0.5+ (1+2*1.3+2*1.36+1.744)*0.2=0.7688
6
Krok 2:
x2=x1+h=0.2+0.2=4
k1=0.2+2*0.77=1.74
k2=0.2+0.1+2(0.77+1.74*0.1)=2.19
k3=0.2+0.1+2(0.77+2.19*0.1)=2.28
k4=0.2+0.2+2(0.77+2.28*0.2)=2.85
1
y2=0.77+ (1.74+2*2.19+2*2.28+2.85)*0.2=1.22
6