1. Stosując algorytm Herona wyznaczania pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej a
"
wykonać trzy iteracje obliczające przbliżoną wartość 5. Oszacować błąd otrzymanego
przybliżenia.
2. Obliczyć: e, e1/2, sin(1), cos(1), ln(1.01) z dokładnością 10-4.
3. Stosując metodę bisekcji wykonać trzy iteracje obliczjące przybliżoną wartość jednego z pier-
wiastków równania x3 + x - 1 = 0 z przedziału: [0; 2]. Oszacować błąd otrzymanego przy-
bliżenia.
4. Stosując metodę Newtona (stycznych) wykonać trzy iteracje obliczjące przybliżoną wartość
jednego z pierwiastków równania x3 + x - 1 = 0 z przedziału: [1/2; 2]. Czy iteracje Newtona
dla tego równania są zbieżne? Oszacować błąd otrzymanego przybliżenia.
Uwaga. Można posłużyć się następującym twierdzeniem: Jeśli funkcja f jest dukrotnie róż-
niczkowalna na przedziale [a; b], f (a) f (b) < 0 oraz funkcje f (x), f (x) mają stały znak
dla x " [a; b], to metoda Newtona startująca z takiego punktu x0 = a lub x0 = b, dla którego
spełniony jest warunek: f (x0) f (x0) > 0, jest zbieżna. Ponadto błąd przybliżenia można
| f (xn)|
oszacować w następujący sposób: |xn - p| d" , gdzie m = min | f (x)|, xn jest n-tym
m x"[a;b]
wyrazem ciągu otrzymanego w metodzie Newtona, a p jest dokładną wartością pierwiastka
równania f (x) = 0, czyli p " [a; b] oraz f (p) = 0.
5. Stosując metodę siecznych wykonać trzy iteracje obliczjące przybliżoną wartość jednego
z pierwiastków równania x3 + x - 1 = 0 z przedziału: [1/2; 2]. Oszacować błąd otrzy-
manego przybliżenia.
| f (xn)|
Uwaga. Błąd przybliżenia można oszacować w następujący sposób: |xn - p| d" , gdzie
m
m = min | f (x)|, xn jest n-tym wyrazem ciągu otrzymanego w metodzie siecznych, a p
x"[a;b]
jest dokładną wartością pierwiastka równania f (x) = 0, czyli p " [a; b] oraz f (p) = 0.
6. Dany jest układ rówań:
ńł
x + 2y - z = 3
�ł
2x + y - 2z = 3
ół
-3x + y + z = -6.
a) Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podany układ równań.
b) Wyznaczyć rozkład LU dla macierzy podanego układu równań.
c) Stosując rozkład LU uzyskany w punkcie b) rozwiązać podany układ równań.
7. Dany jest układ rówań:
ńł
x + 2y - z = 3
�ł
2x + y - 2z = 3
ół
-3x + y + z = -6.
a) Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego rozwią-
zać podany układ równań.
b) Stosując częściowy wybór elementu głównego wyznaczyć rozkład LU dla macierzy po-
danego układu równań.
c) Stosując rozkład LU uzyskany w punkcie b) rozwiązać podany układ równań.
8. Dany jest układ rówań:
ńł
3x + y - z = 4
�ł
2x + 4y + z = 1
ół
-x + 2y + 5z = 1.
a) Stosując metodę Jacobiego wyznaczyć dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania
podanego układu równań. b) Czy metoda Jacobiego dla podanego układu równań jest zbieżna
do rozwiazania danego układu równań? Odpowiedz
uzasadnić.
9. Dany jest układ rówań:
ńł
3x + y - z = 4
�ł
2x + 4y + z = 1
ół
-x + 2y + 5z = 1.
a) Stosując metodę Gauss Seidela wyznaczyć dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiąza-
nia podanego układu równań.
b) Czy metoda Gauss Seidela dla podanego układu równań jest zbieżna do rozwiazania da-
nego układu równań? Odpowiedz
uzasadnić.
10. Dany jest układ rówań:

3x + y = 5
x + 2y = 5.
a) Stosując metodę Jacobiego wykonać dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania
podanego układu równań. b) Czy metoda Jacobiego dla podanego układu równań jest zbieżna
do rozwiazania danego układu równań? Odpowiedz
uzasadnić.
11. Dany jest układ rówań:

3x + y = 5
x + 2y = 5.
a) Stosując metodę Gauss Seidela wykonać dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania
podanego układu równań.
b) Czy metoda Gauss Seidela dla podanego układu równań jest zbieżna do rozwiazania
danego układu równań? Odpowiedz
uzasadnić.
12. Stosując metodę Newtona wyznaczyć dwie iteracje uzyskując przybliżenie rozwiązania na-

x - y3 = 0
stępującego układu równań: Przyjąć punkt startowy np. (1, 2).
x2 + y2 = 1.