gr. KrZZFr1211,1213,1214  Ćwiczenia 5, 6
Funkcje dwóch zmiennych
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) f (ðx, y)ð =ð 3x2 -ð x3 y2 +ð y2 -ð 3x +ð 9 ,
b) f (ðx, y)ð =ð 3x3 +ð 3x2 y -ð y3 -ð15x ,
c) f (ðx, y)ð =ð x3 +ð 8y3 -ð 6xy +ð1,
d) f (ðx, y)ð =ð 6xy -ð x2 y -ð xy2 ,
e) f (ðx, y)ð =ð 2x3 +ð xy2 +ð 5x2 +ð y2 ,
1
f) f (ðx, y)ð =ð y2 x -ð x2 y +ð x3 -ð 9x ,
3
g) f (ðx, y)ð =ð 3x2 y -ð 6xy +ð y3 ,
h) f (ðx, y)ð =ð 2x3 +ð y3 +ð 3x2 -ð 3y -ð12x +ð 4 .
i) f (ðx, y)ð =ð x2 -ð 6xy +ð y3 +ð 3x +ð 6y +ð 4 .
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) f (ðx, y)ð=ð xy przy warunku x2 +ð y2 =ð 8,
x 3
2
b) f (ðx, y)ð =ð (ðy -ð x)ð +ð x(ðx +ð y)ð przy warunku =ð 10 -ð 2y ,
4 1
c) f (ðx, y)ð=ð x2 +ð y2 przy warunku 3x +ð 2y =ð 6 ,
d) f (ðx, y)ð=ð x +ð 2y przy warunku x2 +ð y2 =ð 5 ,
e) f (ðx, y)ð =ð x -ð y przy warunku x2 +ð xy +ð y2 =ð 9 ,
f) f (ðx, y)ð =ð 2x +ð y przy warunku x2 +ð 2y2 =ð 8 ,
h) f (ðx, y)ð =ð 5xy przy warunku x +ð y =ð 6 ,
i) f (ðx, y)ð =ð xy przy warunku x2 +ð y =ð 3.
x +ð 2y
3. Dana jest funkcja f (ðx, y)ð=ð .
x2 +ð y
a) Wyznaczyć oraz narysować dziedzinę tej funkcji.
/ /
b) Obliczyć i zinterpretować f (ð3,4)ð oraz f (ð3,4)ð.
x y
c) Obliczyć i zinterpretować elastyczności cząstkowe funkcji f w punkcie
P0 =ð (ð3,4)ð.
4. Dana jest funkcja kosztu caÅ‚kowitego K(ðx, y)ð =ð y 3x +ð 4y2 , gdzie x -ð wielkość
produkcji, y -ð wielkość zmagazynowania. Wyznaczyć koszty kraÅ„cowe czÄ…stkowe dla
x0 =ð 50 , y0 =ð 25. Podać interpretacjÄ™ otrzymanych wyników.
5. Popyt na jabłka jest następującą funkcją:
p
-ð2q2 +ð
q
Q(ðp, q)ð =ð qe , gdzie p -ð cena gruszek, q -ð cena jabÅ‚ek.
Wyznaczyć i zinterpretować elastycznoÅ›ci czÄ…stkowe dla p0 =ð 3 oraz q0 =ð 2 .