gr. KrZZFr1211,1213,1214  Ćwiczenia 5, 6
Funkcje dwóch zmiennych
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) f (�x, y)� =� 3x2 -� x3 y2 +� y2 -� 3x +� 9 ,
b) f (�x, y)� =� 3x3 +� 3x2 y -� y3 -�15x ,
c) f (�x, y)� =� x3 +� 8y3 -� 6xy +�1,
d) f (�x, y)� =� 6xy -� x2 y -� xy2 ,
e) f (�x, y)� =� 2x3 +� xy2 +� 5x2 +� y2 ,
1
f) f (�x, y)� =� y2 x -� x2 y +� x3 -� 9x ,
3
g) f (�x, y)� =� 3x2 y -� 6xy +� y3 ,
h) f (�x, y)� =� 2x3 +� y3 +� 3x2 -� 3y -�12x +� 4 .
i) f (�x, y)� =� x2 -� 6xy +� y3 +� 3x +� 6y +� 4 .
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) f (�x, y)�=� xy przy warunku x2 +� y2 =� 8,
x 3
2
b) f (�x, y)� =� (�y -� x)� +� x(�x +� y)� przy warunku =� 10 -� 2y ,
4 1
c) f (�x, y)�=� x2 +� y2 przy warunku 3x +� 2y =� 6 ,
d) f (�x, y)�=� x +� 2y przy warunku x2 +� y2 =� 5 ,
e) f (�x, y)� =� x -� y przy warunku x2 +� xy +� y2 =� 9 ,
f) f (�x, y)� =� 2x +� y przy warunku x2 +� 2y2 =� 8 ,
h) f (�x, y)� =� 5xy przy warunku x +� y =� 6 ,
i) f (�x, y)� =� xy przy warunku x2 +� y =� 3.
x +� 2y
3. Dana jest funkcja f (�x, y)�=� .
x2 +� y
a) Wyznaczyć oraz narysować dziedzinę tej funkcji.
/ /
b) Obliczyć i zinterpretować f (�3,4)� oraz f (�3,4)�.
x y
c) Obliczyć i zinterpretować elastyczności cząstkowe funkcji f w punkcie
P0 =� (�3,4)�.
4. Dana jest funkcja kosztu całkowitego K(�x, y)� =� y 3x +� 4y2 , gdzie x -� wielkość
produkcji, y -� wielkość zmagazynowania. Wyznaczyć koszty krańcowe cząstkowe dla
x0 =� 50 , y0 =� 25. Podać interpretację otrzymanych wyników.
5. Popyt na jabłka jest następującą funkcją:
p
-�2q2 +�
q
Q(�p, q)� =� qe , gdzie p -� cena gruszek, q -� cena jabłek.
Wyznaczyć i zinterpretować elastyczności cząstkowe dla p0 =� 3 oraz q0 =� 2 .