Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Procesy cieplne.
Przewodzenie ciepła, Wnikanie ciepła,
Promieniowanie ciał stałych, Przenikanie
ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Przewodzenie ciepła
Przewodzenie ciepła jest to wymiana ciepła pomiędzy bezpośrednio stykającymi
się częściami jednego lub różnych ciał, polegająca na przekazywaniu energii
kinetycznej przez cząsteczki wykonujące mikroskopowy ruch.
W przypadku gazów i cieczy ten rodzaj transportu ciepła polega na przenoszeniu
energii kinetycznej od cząstek o większej energii do cząstek o mniejszej energii w
wyniku kolejnych zderzeń
Zarówno w przypadku gazów, jak i cieczy transport ciepła powoduje również
przemieszczanie się elementów płynu, co wywołuje sprzężony, konwekcyjny ruch
ciepła
Przenoszenie ciepłą w ciałach stałych zależy od rodzaju ciała: ciała stałe
nieprzez
roczyste  przewodzenie jest wyłącznym sposobem transportu, ciała stałe
przez
roczyste  przewodzenie oraz pewna ilość energii przenoszona jest przez
promieniowanie.
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Model fizyczny przewodzenia ciepła w ciałach stałych jest określany przez prawo
Fouriera, wiążące gęstość strumienia ciepła z gradientem temperatury.
X3
y
Wy Wx
 Wektor gęstości strumienia ciepła w
przewodnictwie danego punktu ciała
równomiernie nagrzanego, w danym momencie
dy
czasu  jest wprost proporcjonalny do wektora
gradientu temperatury
X1
x
dz
dx
Wz
z
X2
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Dla nieustalonego przewodzenia ciepła w czynniku nieruchomym ogólne
równanie różniczkowe (równanie Fouriera) ma postać:
d�t
�� ł�
ś�T ś�T ś�T
gradT �� �T =� , ,
=� a�2t
gdzie:
ę� ś�
ś�x ś�y ś�z
d�t�
�� ��
ć� ��
d�t l� d�2t d�2t d�2t
�� ��
=� +� +�
lub po rozwinięciu:
��
d�t� Cpr�
d�x2 d�y2 d�z2 ��
Ł� ł�
d�t
Dla takiego samego elementu płynu w ruchu, w pochodnej temperatura jest
d�t�
jeszcze zależna od położenia w przestrzeni, a zatem od x, y, z.
Tworząc różniczkę:
dt d�t d�t d�t d�t
d�t d�t d�t d�t
=� +� wx +� w +� wz
dt =� dt� +� dx +� dy +� dz y
stąd:
dt� d�t� d�x d�y d�z
d�t� d�x d�y d�z
dx dz
dy
=� w
gdzie: =� w
=� w
z
x
y
dt�
dt�
dt�
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Otrzymujemy równanie Fouriera-Kirchoffa, które jest postacią różniczkową funkcji
t=f(x, y, z, t�) dla płynącej strugi:
ć� ��
d�t d�t d�t d�t l� d�2t d�2t d�2t
�� ��
+� w +� w +� wz =� +� +�
x y
��
d�t� d�x d�y d�z Cpr�
d�x2 d�y2 d�z2 ��
Ł� ł�
lub w zapisie:
d�t d�t d�t d�t
+� wx +� wy +� wz =� a�2t
- operatorowym:
d�t� d�x d�y d�z
d�t d�t d�t d�t
+� wx +� w +� wz =� a �� div(�grad t)�
- wektorowym: y
d�t� d�x d�y d�z
Ustalone przewodzenie ciepła, a zatem przewodzenie ciepła, gdy pole temperatur
nie zależy od czasu, jest opisane przez równanie Fouriera, które dla
przewodzenia jednokierunkowego z wybranym kierunkiem osi współrzędnych ma
postać:
dt
&�
dQ =� -�l� �� A ��
ds
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Gradient temperatury dt/ds jest ujemny ze względu na to, że ruch ciepła odbywa
się w kierunku od wyższych temperatur do niższych. Dla ciał jednorodnych i
niewielkich zmian temperatury, co pozwala uznać współczynnik przewodzenia
ciepła za stały, równanie:
d�t
=� a�2t
d�t�
Równanie można scałkować w granicach grubości warstwy przewodzącej ciepło i
odpowiadającym im różnic temperatur:
s2 t2
ds
&�
Q =� -�
�� ��l�dt
A
s1 t1
Jeżeli ruch ciepła odbywa się w ten sposób, że powierzchnia przekroju na drodze
przewodzenia jest stała (w praktyce dotyczy to ścian płaskich), to w wyniku
całkowania otrzymuje się:
l�
&�
Q =� �� A(t1 -� t2 )
s
gdzie: l� - współczynnik przewodzenia ciepła (zwany też przewodnością cieplną) [W/(m.K), A 
powierzchnia prostopadła do kierunku ruchu ciepła [m2], s  grubość warstwy [m], t  temperatura [K]
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
l�
Równanie Fouriera, oparte jest na wielu założeniach:
&�
Q =� �� A(t1 -� t2 )
s
- ustalony ruch ciepła drogi przewodzenia,
- stałość współczynnika przewodzenia ciepła w materiale,
- przejęcie układu płaskiego.
Wielkość s/ nazywa się oporem cieplnym przewodzenia lub też oporem cieplnym
środowiska.
Jeśli w całym obrębie ciała, w którym zachodzi przewodzenie ciepła współczynnik
przewodzenia ciepła jest stały, to pomijając zmiany współczynnika przewodzenia
ciepła ze zmianą temperatury, profil temperatury jest prostoliniowy co oznacza, że
temperatura obniża się prostoliniowo wzdłuż drogi przewodzenia ciepła.
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany jednowarstwowej
Przypadek ściany płaskiej w procesie przewodzenie ciepła jest przypadkiem
szczególnym.
l�
&�
Q =� �� A(t1 -� t2 )
s
Rys. 2. Profil temperatury w obrębie ściany
Rys. 1. Profil temperatury w obrębie ściany
płaskiej, gdy współczynnik przewodzenia ciepła
płaskiej: mała wartość , duża wartość 
jest zależny od temperatury
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany jednowarstwowej cylindrycznej
Powierzchnia przez którą następuje ruch ciepła w kierunku od powierzchni
wewnętrznej do powierzchni zewnętrznej - stale się zwiększa. Wielkość
zmieniającej się powierzchni, przez który jest przewodzone ciepło wynosi:
A =� 2p�rl
gdzie: A  powierzchnia, m2, r - aktualna odległość od osi przewodu, m; l -
długość przewodu, m
ć� ��
d�t l� d�2t d�2t d�2t
�� ��
=� +� +�
A =� 2p�rl
��
d�t� Cpr�
d�x2 d�y2 d�z2 ��
Ł� ł�
Po podstawieniu do równania Fouriera powierzchni i całkując w granicach od rw do
rz otrzymuje się:
rz
2p�l
2p�l
&�
&�
&�
Q dr
Q =� l�śr (t1 -� t2 )
Q =� l�śr (t1 -� t2 )
=� l�śr (t1 -� t2 )
dz
rz
��
Rys. 3. Przewodzenie ciepła
ln ln
2p�l r
rw
rw dw
przez ścianę cylindryczną
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Jeżeli pomnożyć licznik i mianownik równania przez wyrażenie dz - dw ,otrzymuje
się: ć� ��
�� ��
2p�l
l�śr dz -� dw ��
&�
��
Q =� l�śr (t1 -� t2 )
&�
Q =� �� 2p�l �� ��(�t1 -� t )�
2
dz
��
dz ��
dz -� dw
ln
ln
�� ��
dw
dw ł�
Ł�
dz -� dw
dz
Wyrażenie stanowi średnią logarytmiczną z wartości dz i dw
ln
dw
Przy uwzględnieniu, że A = Ądl, oraz że dz-dw = 2s, gdzie s stanowi grubość ściany
przewodu, otrzymuje się:
ć� ��
ć� ��
�� ��
�� ��
l�śr
Az -� Aw ��
l�śr �� Az -� Aw ��
��
&�
&�
Aśr =�
Q =� �� ��(�t1 -� t2 )�
gdzie: Q =� �� Aśr ��(�t1 -� t2 )�
�� Az ��
��
Az ��
s
ln
s
ln
��
�� ��
Aw ��
Aw ł� Ł� ł�
Ł�
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Przewodzenie ciepła przez zmienną powierzchnię występuje również w przypadku
ścian kulistych. Powierzchnia zależy od promienia zgodnie z zależnością:
s2 t2
l�śr
ds
&�
&�
Q =� �� Aśr ��(�t1 -� t2 )�
A =� 4p�r2
Q =� -�
�� ��l�dt
s
A
s1 t1
z tym że w tym przypadku Aśr oznacza średnią geometryczną powierzchni
wewnętrznej i zewnętrznej:
Aśr =� Aw -� Az =� p��� dw �� dz
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany wielowarstwowej
Powierzchnia, przez którą w kierunku do niej prostopadłym jest przewodzone
ciepło może być zmienna. Często w praktyce spotykanym przykładem jest
przewodzenie ciepła przez ścianę wielowarstwową.
l�
&�
Q =� �� A(tz -� tw)
w obrębie danej warstwy =constans,
s
kąt załamania linii zależny od 
l�1
&�
Q1 =� �� A(t1 -� t2)
Q
s1
l�2
&�
Q2 =� �� A(t2 -� t3)
s2
l�3
&�
Q3 =� �� A(t3 -� t4)
s3
Rys. 4. Rozkład temperatur w ścianie trzywarstwowej
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Jeśli rozpatrzyć przewodzenie ciepła przez układ złożony z trzech warstw płaskich
przylegających bezpośrednio do siebie i przyjąć, że przewodzenie ciepła zachodzi w
sposób ustalony, czyli do każdej warstwy w tym samym czasie dopływa i odpływa ta
sama ilość ciepła to można zapisać:
l�1 l�2 l�3
&�
Q =� A(�t1 -� t2)�=� A(�t2 -� t3)�=� A(�t3 -� t4)�
s1 s2 s3
stad otrzymać można trzy niezależne równania:
&� &�
&�
s3
Q s2 Q
Q s1
t1 -� t2 =� �� t2 -� t3 =� ��
t0 -� t1 =� ��
A l�2 A l�3
A l�1
które można przekształcić do postaci:
&�
ć� ��
Q s1 s2 s3 ��
��
t1 -� t4 =� +� +�
��
A l�1 l�2 l�3 ��
Ł� ł�
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Ogólnie, dla n warstw o współczynnikach przewodzenia ciepła od 1 i do n i
grubościach od s1 do sn zapisać można wyrażenie na przewodzony strumieni
cieplny:
1
&�
Q =� �� A��(�t1 -� t4)�
n
sn
��
l�n
1
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany wielowarstwowej cylindrycznej
Ściana wielowarstwowa w przypadku ogólnym może mieć powierzchnię zakrzywioną, niekiedy również
cylindryczną
l�1 l�2 l�3
&�
Q =� �� Am1(�t0 -� t1)� =� �� Am2(�t1 -� t2 )� =� �� Am3(�t2 -� t3)�
s1 s2 s3
gdzie: Am1, Am2, Am3 - średnie logarytmiczne powierzchnie dla warstw
o grubościach s1, s2 i s3.
&�
&�
&�
Q s1 Q s2
s3
Q
t1 -� t2 =� ��
t0 -� t1 =� ��
t2 -� t3 =� ��
Am1 l�1 Am2 l�2
Am3 l�3
po zsumowaniu:
ć� ��
s1 s2 s3
&�
�� ��
t0 -� t3 =� Q�� +� +�
l�1 �� Am1 l�2 �� Am2 l�3 �� Am3 ��
Ł� ł�
t0 -� t3
&�
Q =�
i przekształceniu:
s1 s2 s3
Rys. 5. Przewodzenie ciepła przez ścianę +� +�
l�1 �� Am1 l�2 �� Am2 l�3 �� Am3
wielowarstwową cylindryczną
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Ogólnie, dla n cylindrycznych warstw o współczynnikach przewodzenia ciepła od 1 do
n i grubościach od s1 do s2 można zapisać wyrażenie na przewodzony strumień ciepła:
t0 -� tn
&�
Q =�
n
sn
��
l�n �� Amn
1
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła
Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami
Dziękuję za uwagę
Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła