EGZAMIN z ALGEBRY 6 lutego 2014
Imię i nazwisko grupa
(dużymi literami)
Zad 1 Zad 2 Zad 3 Zad 4 Zad 5 Zad 6 " z egz Ćwicz Razem Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. V i W są przestrzeniami liniowymi, a F :V W jest odwzorowaniem liniowym.
a) Podać definicję jądra Ker F i uzasadnić, że jest podprzestrzenią liniową.
b) Wykazać, że jeśli dim(Ker F) = 1, to odwzorowanie F nie jest różnowartościowe.
c) Podaj jądro odwzorowania F : R3 R3 będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę
x - 3y + 2z = 0 .
2. Dane jest przekształcenie liniowe F : R3 R3 takie, że F((-1,1, 3))= (1,1,1),
F((- 2, 4, - 2))= (1, -1, 0), F((-1,1,1))= (0,1,1). Znalez
ć macierz tego przekształcenia w bazie
standardowej. Napisać jego  wzór . Czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładowe bazy jądra Ker F oraz obrazu Im F.
3. Znalez
ć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni R3 , aby zidentyfikować
powierzchnię o równaniu x2 - 2y2 + z2 + 6xy - 2yz =12 . Napisać równanie tej powierzchni
~, ~)
w przekształconym układzie współrzędnych (~, y z .
x
4. Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania z8 + z4 +1 = 0 spełniające
nierówność 3 - 2i z4 d" 3 - i .
5. Dane są punkty A(1,2,4) , B(3,4,2), C(0,2,1). Znalez
ć płaszczyznę, na której leży trójkąt ABC
oraz postać parametryczną symetralnej boku AB tego trójkąta.
r r r r r r
6. Czy wektor u = (1,1,-1) należy do podprzestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5)
r r r r r
dla v1 = (1,-1, 2) , v2 = ( 3, 4,1) , v3 = ( 5, 2, 5) , v4 = ( 7, 7, 4) , v5 = ( 4, 3, 3) ?
r r r r r r
Dla jakiego k " R wektor w = (1, 6, k) jest kombinacja liniową wektorów v1,v2,v3,v4,v5 ?
r r r r r
Podać dwie różne bazy przestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5) .
EGZAMIN z ALGEBRY 6 lutego 2014
Imię i nazwisko grupa
(dużymi literami)
Zad 1 Zad 2 Zad 3 Zad 4 Zad 5 Zad 6 " z egz Ćwicz Razem Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. V i W są przestrzeniami liniowymi, a F :V W jest odwzorowaniem liniowym.
a) Podać definicję obrazu Im F i podać związek między (wymiarami) Ker F i Im F gdy
przestrzenie V i W są skończenie wymiarowe.
b) Wykazać, że jeśli dimV = n i dim(Im F) = n -1, to odwzorowanie F nie jest
różnowartościowe.
c) Podaj obraz odwzorowania F : R3 R3 będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę H
jeśli kierunek rzutu jest równoległy do prostej l : x = 2t, y = -3t, z = 5t .
2. Dane jest przekształcenie liniowe F takie, że F((-1, 2, 0))= (1, 0, -1), F((0, -1,1))= (-1,1, 3),
F((- 3, 2, 2))= (2,1, -1). Znalez
ć macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. Napisać
jego  wzór . Sprawdzić czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładową bazy jądra ( Ker F ) i obrazu (Im F) tego odwzorowania.
3. Znalez
ć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni R3 , aby zidentyfikować
powierzchnię o równaniu x2 - 2y2 - 2z2 + 2xy + 2xz + 8yz = 6 . Napisać równanie tej powierzchni
~,~)
w przekształconym układzie współrzędnych (~, y z .
x
4. Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania z8 + z4 +1 = 0 spełniające
nierówność 2i z4 + 3 d" i + 3 .
5. Dane są punkty A(0,2,1) , B(3,2,-1), C(2,6,5). Znalez
ć płaszczyznę, na której leży trójkąt
ABC oraz postać kierunkową symetralnej boku AC tego trójkąta.
r r r r r r
6. Czy wektor u = ( 3, 0,1) należy do podprzestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5)
r r r r r
dla v1 = ( 1, 2,1) , v2 = ( 2, 4, 2) , v3 = ( 5, - 2,1) , v4 = (1, 8, 3) , v5 = ( 4, 2, 2) ?
r r r r r r
Dla jakiego k " R wektor w = (-3, 6, k) jest kombinacja liniową wektorów v1,v2,v3,v4,v5 ?
r r r r r
Podać dwie różne bazy przestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5) .