MNUB S1  20 listopada 2009 r. (piątek)
Zadanie 1 (6 pkt): Pokazać, że algorytm:
3
x1 Ą#v1 = x1 ń#
Ą# ń# v1
A : y =
ó# Ą#
ó#x Ą#
2
v2 +1
= x2
Ł# 2 Ś#
Ł#v2 Ś#
jest numerycznie poprawny.
Rozwiązanie: Analiza A daje następujący wynik:
3
Ą# �1 -�s +�d ń#
�#1+ ś#
ź#Ą#
1
ó#x ś#
3 3
x1 (1+�1) x1 (1+�1 -�s +�d ) 3
�# #
Ł# Ś#
~
y = (1+�d )= =
2 2 2
[x2 (1+�2)+1](1+�s ) x2 (1+�2)+1
Ą# �2 ń#
�#1+ ś#
2
ó#x ś# 2 ź#Ą# +1
�# #
Ł# Ś#
Co oznacza, że skutek błędów zaokrągleń jest równoważny skutkowi błędów reprezentacji danych
nie przekraczających eps.
Zadanie 2 (6 pkt): Oszacować względny błąd wyznaczenia wartości wyrażenia:
�# ś#
x1
ś# ź#
y = lnś# ź# dla x1 > e�" x2, x2 >1
x2
�# #
za pomocą algorytmu:
x1
Ą# ń# Ą# ń#
x1
A: = [y = ln(v)]
ó#x Ą# ó#v x2 Ą#
Ł# 2 Ś# Ł# Ś#
Pominąć błędy reprezentacji danych.
Rozwiązanie: Analiza A daje następujący wynik:
Ą#
�# �# ś#
x1 x1
~
ś# ź#
y = lnś# (1+�d )ś#(1+�l ) = )ń#(1+�l ) = [y +�d ](1+�l )
ó#lnś# x2 ź# + ln(1+�d Ą#
ź# ś# ź#
x2
�# # �# #
Ł# Ś#
�# �d ś# �# �d ś#
~
y = yś#1+ ź#(1+�l ) = yś#1+ +�l ź#
ś# ź# ś# ź#
y y
�# # �# #
�# ś#
�d 1 �# ś# �# 1 ś#
1
ś#
�[~]= +�l �! �[~] d" +1ź# eps = ś# +1ź# eps < ś#
y y
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
y y y inf[y]+1ź# eps < 2eps
�# # �# #
�# #
Zadanie 3 (8 pkt): Wyznaczyć parametry lokalnej zbieżności, C and � , nastepującego algorytmu
iteracyjnego:
1
yi+1 = yi - [exp(yi)- x] for x "(0, 4)
2

przeznaczonego do wyznaczania y = ln(x).

Rozwiązanie: Wartość y = ln(x) jest jedynym punktem stacjonarnym algorytmu iteracyjnego.
Prawą stronę funkcji definiującej ten algorytm:
1
�(yi)= yi - [exp(yi)- x]
2
rozwijamy w szereg Taylor:
1
1
2 2 2
�(yi)= �(y)+� (y)"i + � (y)"2 + ...
i
2
gdzie:
1 1
2
�(y) = y and � (y) = 1 - [exp(y)- 0]= 1 - exp(y) `" 0
2 2
Wnioskujemy stąd, że:
2
y + "i+1 E" y + � (y)"i
�#1- 1
2
"i+1 E" � (y)"i a" exp(y)ś#"i
ś# ź#
2
�# #
a w konsekwencji:
1 1

� = 1 and C = 1- exp(y)= 1- x
2 2
Zbieżność jest zagwarantowana, ponieważ dla x "(0, 4): C "(0, 1), tzn. C < 1.
2