Stany nieustalone
STANY NIEUSTALONE
Pojęcie stanu ustalonego i nieustalonego
Stan nieustalony występuje w dwóch przypadkach: w sytuacji, gdy obwód został
dołączony do z
ródła zasilania oraz, gdy zmienia się jego struktura, przy czym dotyczy to
zarówno obwodów prądu stałego, jak i zmiennego.
Warunki poczÄ…tkowe. Prawa komutacji
Pierwsze prawo komutacji.
Prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może zmieniać się skokowo i w chwili tuż
przed komutacją ma taką samą wartość, jak w chwili tuż po komutacji.
Ze względu na występujący w cewce strumień magnetyczny skojarzony zasada
niezmienności prądu w chwili komutacji jest równoważna zasadzie niezmienności
strumienia magnetycznego skojarzonego z cewkÄ…, stÄ…d nazywana jest czasami zasadÄ…
ciągłości prądu i strumienia magnetycznego w cewce.
Drugie prawo komutacji
Napięcie na kondensatorze nie może się zmienić skokowo i w chwili tuż przed
komutacją posiada taką samą wartość jak w chwili tuż po komutacji.
2
Stany nieustalone
Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RL
Włączenie napięcia stałego
Do szeregowego układu RL dołączono z
ródło napięcia stałego o wartości U. W
chwili t = 0 zamknięto wyłącznik powodując, że w obwodzie płynie prąd.
Układ szeregowy RL włączony do z
ródła napięcia stałego
Ze względu na występujący po zamknięciu wyłącznika stan nieustalony, wartość
prądu narasta od zera do wartości ustalonej danej wzorem (należy pamiętać, iż napięcie na
indukcyjności w stanie ustalonym wynosi zero):
U
i = (1)
R
Wyznaczenie przebiegu zmienności prądu i napięcia w stanie nieustalonym jest
bardziej skomplikowane. W myśl drugiego prawa Kirchhoffa bilans w oczku będzie miał
następującą postać:
di
U = Ri + L (2)
dt
Pierwszy składnik prawej strony równania opisuje napięcie na rezystancji, drugi
napięcie indukcji własnej indukowane przez przepływający przez cewkę prąd zmienny i.
W celu określenia wartości prądu konieczne jest rozdzielenie zmiennych
występujących w nim:
di R
= - dt (3)
U
L
i -
R
Po scałkowaniu obustronnym równanie przybiera następującą postać:
3
Stany nieustalone
U R
öÅ‚
lnëÅ‚i - ÷Å‚ - t + A (4)
=
ìÅ‚
R L
íÅ‚ Å‚Å‚
Przekształcając:
R
- t
U
L
i - = Ae (5)
R
Przy czym w powyższym równaniu A jest stałą całkowania, która będzie wyznaczona
poniżej z warunku początkowego (dla chwili początkowej zgodnie z prawami komutacji
prąd nie zmieni skokowo swojej wartości):
dla t = 0 prÄ…d i = 0 (6)
Podstawiając powyższe wartości do zależności (5) i wykonaniu przekształceń prąd
będzie dany następującym równaniem:
R
ëÅ‚ - t öÅ‚
U
ìÅ‚1- e L ÷Å‚
i = (7)
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
We wzorze występują dwie składowe: składowa ustalona (pierwsza) oraz składowa
przejściowa (druga). Prąd wypadkowy i jest sumą składowej ustalonej iu oraz składowej
przejściowej ip:
i = iustalone + iprzejsciowe (8)
Przebiegi czasowe obu wielkości przedstawia poniższy rysunek:
Przebiegi czasowe prądów w układzie szeregowym RL z rysunku
4
Stany nieustalone
Napięcie na rezystancji:
R
- t
L
uR = Ri = U - Ue (9)
Napięcie na indukcyjności:
R
- t
di
L
uL = L = Ue (10)
dt
Poniższy rysunek przedstawia przebiegi napięć w układzie:
Przebiegi czasowe napięć w układzie szeregowym RL włączonym na napięcie
stałe.
Stała czasowa
Jak wynika z analizy powyższego wzoru (7) na wartość prądu przepływającego w
układzie, możliwe jest wpływanie na szybkość zaniku składowej przejściowej poprzez
zmianę wartości rezystancji i indukcyjności. Aby scharakteryzować szybkość zmian
zachodzących w układzie wprowadzono wielkość fizyczną noszącą nazwę stałej czasowej
układu.
StaÅ‚a czasowa ukÅ‚adu Ä jest to czas, po upÅ‚ywie którego wartość bezwzglÄ™dna
składowej przejściowej maleje e razy.
W przypadku tego układu dana jest ona wzorem:
L
Ä = (11)
R
Wielkość ta mierzona jest w sekundach.
Podstawiając stałą czasową do wyznaczonej wyżej wartości prądu można zapisać:
t
ëÅ‚ - öÅ‚
U
ìÅ‚1- e Ä ÷Å‚
i = (12)
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
5
Stany nieustalone
Stałą czasową danego układu można zdefiniować również w oparciu o konstrukcję
graficzną, przedstawioną na poniższym rysunku:
Wyznaczanie stałej czasowej układu w sposób graficzny
Styczna poprowadzona na wykresie prÄ…du do krzywej w chwili czasowej t = 0
przecina asymptotÄ™ prÄ…du po czasie Ä, ponadto dzieje siÄ™ tak bez wzglÄ™du na to, w którym
punkcie krzywej styczna będzie prowadzona. Na tej podstawie można sformułować
następującą definicję:
StaÅ‚a czasowa Ä jest to czas, po upÅ‚ywie którego prÄ…d nieustalony osiÄ…gnÄ…Å‚by wartość
ustaloną, gdyby narastanie miało charakter liniowy, czyli przy stałej prędkości narastania
prądu i równa prędkości narastania w chwili zerowej.
Z reguły po okresie czasu wynoszącym cztery do pięciu stałych czasowych prąd
praktycznie osiąga wartość ustaloną. Wartość prądu można wyznaczyć w oparciu o
zależność (12). Dla czasu t = Ä, i = 0,632iu; dla t = 2Ä, i = 0,864iu; t = 3Ä, i = 0,95iu;
t = 4Ä, i = 0,981iu; t = 5Ä, i = 0,993iu.
Jak wynika z powyższych rozważań czas trwania stanu nieustalonego zależy od stałej
czasowej układu, a tym samym wartości parametrów obwodu. Przykładowy przebieg
narastania prądu w układach o różnych stałych czasowych przedstawiono poniżej:
6
Stany nieustalone
Związek pomiędzy stałą czasową układu, a przebiegiem prądu w stanie
nieustalonym.
Zwarcie przy niezerowym warunku poczÄ…tkowym
Analogiczny dwójnik RL włączony jest do z
ródła napięcia stałego. W układzie
panuje już stan ustalony i przez obwód przepływa prąd stały o natężeniu:
U
i = (13)
R
Zwarcie dwójnika szeregowego RL przy niezerowym warunku początkowym
W chwili t = 0 wyłącznik odłącza dwójnik od zasilania, przy czym jednocześnie
zwiera jego zaciski. Zgodnie z pierwszym prawem komutacji, tuż po przełączeniu prąd w
obwodzie posiada wartość równą wartości z chwili poprzedzającej tą zmianę. W zwartym
obwodzie również musi być spełnione drugie prawo Kirchhoffa, więc w chwili komutacji
di
na elemencie indukcyjnym powstaje napięcie uL = L przeciwnie skierowane do napięcia
dt
na rezystancji R. W tej sytuacji bilans napięć wygląda następująco:
di
0 = Ri + L (14)
dt
Z równania tego po odpowiednich przekształceniach oraz scałkowaniu i wyznaczeniu
wartości stałej całkowania otrzymuje się wyrażenie opisujące przebieg prądu:
7
Stany nieustalone
R
- t
U
L
i = e (15)
R
Uwzględniając stałą czasową układu:
t
-
U
Ä
i = e (16)
R
Przebieg zmienności prądu przedstawia rysunek:
Przebieg czasowy prądu w dwójniku szeregowym podczas zwarcia.
Napięcie na rezystancji zmienia się według wzoru:
t
-
Ä
uR = Ri = Ue (17)
zaś na indukcyjności:
t
-
di
Ä
uL = L = -Ue (18)
dt
Wartości obu napięć pokazano na rysunku:
Przebiegi czasowe napięcia w dwójniku szeregowym RL podczas zwarcia
8
Stany nieustalone
Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RC
Włączenie napięcia stałego
Do dwójnika szeregowego RC przedstawionego na poniższym schemacie dołączono
z
ródło napięcia stałego U.
Dwójnik szeregowy RC włączony na napięcie stałe
W chwili czasu t = 0 zamknięto obwód przy użyciu wyłącznika, zakładamy przy tym,
że układ był w chwili początkowej w stanie zerowym. Po zamknięciu wyłącznika wystąpi
stan nieustalony, w którym zarówno prąd, jak i napięcia na poszczególnych elementach
będą zmienne w czasie. Wartości tych wielkości zostaną wyznaczone poniżej. Napięcie
kondensatora zmienia się od zera do wartości ustalonej uCu, równej napięciu
przyłożonemu, co zachodzi w procesie ładowania ze z
ródła napięcia stałego przez rezystor
R. Z drugiego prawa Kirchhoffa otrzymuje się następujące równanie:
U = Ri + UC (19)
przy czym i określane jest mianem prądu ładowania kondensatora:
dq duC
i = = C (20)
dt dt
Podstawiając wartość prądu do równania:
duC
U = RC + UC (21)
dt
Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu wzór określający napięcie na
kondensatorze:
1
ëÅ‚ - t öÅ‚
RC
÷Å‚
uC = UìÅ‚1- e (22)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
W przypadku układu RC stała czasowa wyrażona jest nieco innym wzorem:
9
Stany nieustalone
Ä = RC (23)
Po jej uwzględnieniu we wzorze na napięcie kondensatora:
t
ëÅ‚ - öÅ‚
Ä
÷Å‚
uC = UìÅ‚1- e (24)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Napięcie to posiada dwie składowe: składową ustaloną (pierwsza) oraz składową
przejściową. Napięcie wypadkowe jest ich sumą. Znajdujący się niżej rysunek przedstawia
przebiegi czasowe obu napięć:
Przebiegi czasowe napięć na poszczególnych elementach dwójnika
PrÄ…d Å‚adowania:
t
-
duC U
Ä
i = C = e (25)
dt R
Przebieg prądu w dwójniku szeregowym RC włączonym na napięcie stałe.
Napięcie na rezystancji:
t t
ëÅ‚ - öÅ‚ -
U
Ä Ä
ìÅ‚ ÷Å‚
uR = Ri = e = Ue (26)
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
Przedstawia go poniższy przebieg:
10
Stany nieustalone
Przebieg czasowy napięcia na rezystancji
Jak wynika ze wzoru określającego stałą czasową dla układu szeregowego RC
przebieg ładowania zależy od pojemności kondensatora i wartości rezystancji włączonej w
obwód. Zależność ta jest wprost proporcjonalna, im większe R i C tym wolniej przebiega
Å‚adowanie.
Zwarcie przy warunku poczÄ…tkowym niezerowym
Ten sam dwójnik włączony jest do z
ródła napięcia stałego, przy czym panuje w nim
stan ustalony. Prąd w obwodzie nie płynie, gdyż kondensator stanowi przerwę w
obwodzie, natomiast napięcie na nim równe jest napięciu z
ródła.
Zwarcie dwójnika szeregowego RC przy niezerowym warunku początkowym
W zerowej chwili początkowej (t = 0) przełącznik zostaje przestawiony powodując
odłączenie układu od z
ródła i zwarcie jego zacisków. Wynikiem tego jest powstanie stanu
nieustalonego, a nagromadzona w polu elektrycznym kondensatora energia ulega
przemianie w ciepło w wyniku przepływu prądu przez rezystor. Proces ten nazywa się
wyładowaniem kondensatora przez rezystor. Bilans napięć w obwodzie:
duC
0 = RC + uC (27)
dt
11
Stany nieustalone
Po odpowiednich przekształceniach i scałkowaniu uzyskuje się zależność opisującą
napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym:
1
- t
RC
uC = Ue (28)
Uwzględniając stałą czasową:
t
-
Ä
uC = Ue (29)
Z kolei prąd wyładowania kondensatora:
t
-
duC U
Ä
i = C = - e (30)
dt R
Napięcie na rezystancji:
t
-
Ä
uR = Ri = -Ue (31)
Przebiegi czasowe obliczonych wielkości przedstawia poniższy rysunek:
Przebiegi czasowe napięć i prądu w dwójniku szeregowym RC zwartym przy
niezerowym warunku poczÄ…tkowym
Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RLC
Dwójnik szeregowy RLC włączono do z
ródła napięcia stałego U. W chwili t = 0
obwód został zamknięty wyłącznikiem W.
12
Stany nieustalone
Dwójnik szeregowy RLC włączony na napięcie stałe
Dla obwodu musi być spełnione drugie prawo Kirchhoffa:
U = uR + uL + uC (32)
Podstawiając zależności dla poszczególnych napięć:
di
U = Ri + L + uC (33)
dt
Po pewnych przekształceniach równanie sprowadzane jest do równania
różniczkowego, po rozwiązaniu którego można wyznaczyć poszczególne wielkości
występujące w układzie.
Układ ten jest obwodem w którym następuje ładowanie kondensatora przez cewkę i
rezystancję oraz jego rozładowanie przez te elementy, gdy dwójnik ma zwarte zaciski. W
obu przypadkach następuje przemiana energii w układzie pomiędzy jej różnymi
postaciami oraz jej gromadzenie w polu elektrycznym i magnetycznym. W zależności od
wartości parametrów poszczególnych elementów w układzie występują oscylacje
amplitudy prądu i napięcia.
Jeżeli rezystancja R < 2 L C wówczas w układzie dominujące znaczenie mają
wartości parametrów L i C, a głównym zjawiskiem w nim występującym jest wymiana
energii pomiędzy cewką i kondensatorem. Wartość tłumienia występujących w układzie
oscylacji zależy od wartości rezystancji R.
PrÄ…d w obwodzie:
U
i = e-Ä…t sin É0t (34)
É0L
Napięcie na pojemności:
U
uC = U - e-Ä…t sin(É0t + Õ) (35)
É0 LC
gdzie:
R
ą = - współczynnik tłumienia;
2L
13
Stany nieustalone
2
1 R 1
ëÅ‚ öÅ‚
É0 = - ìÅ‚ ÷Å‚
= - ą2 - pulsacja drgań własnych (drgań swobodnych);
LC 2L LC
íÅ‚ Å‚Å‚
É0
tgÕ = .
Ä…
Występujące w układzie przebiegi czasowe prądu i napięcia przedstawiono na
rysunku.
Przebiegi czasowe prądu oraz napięcia na kondensatorze w układzie
szeregowym RLC przy rezystancji R mniejszej od wartości krytycznej.
W sytuacji przeciwnej, tzn. przy rezystancji R > 2 L C dominujÄ…ce znaczenie w
układzie ma rezystancja, natomiast przebiegi w obwodzie mają charakter aperiodyczny.
W obwodzie przepływa prąd o wartości:
U
1 2
i = (es t - es t ) (36)
²L
Napięcie na kondensatorze:
U
1 2
uC = U + (s2es t - s1es t ) (37)
²L
We wzorze tym:
2
R R 1
ëÅ‚ öÅ‚
s1,2 = - Ä… (38)
ìÅ‚ ÷Å‚ - = -Ä… Ä… ²
2L 2L LC
íÅ‚ Å‚Å‚
skÄ…d:
R 1
Ä… = , ² = Ä…2 - (39)
2L LC
Występujące w układzie przebiegi czasowe przedstawione są na rysunku:
14
Stany nieustalone
Przebiegi czasowe prądu oraz napięcia w dwójniku szeregowym RLC przy
rezystancji R większej od wartości krytycznej
ReasumujÄ…c: rezystancja wynoszÄ…ca R = 2 L C jest rezystancjÄ… krytycznÄ…, przy
której zmianie ulega charakter zjawisk występujących w obwodzie, poniżej przebiegi są
okresowe, powyżej nieokresowe.
15