Euroatraktor:
o losowych układach dynamicznych
Artur A
oziński
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
Karol Życzkowski
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński oraz Centrum Fizyki Teoretycznej PAN, Warszawa
Euroattractor: on random dynamical systems
Dyskretne układy dynamiczne z jednej strony sta- losowe są od siebie niezależne. Taki schemat postę-
nowią szybko rozwijający się dział matematyki [1], powania odpowiada losowej wędrówce ulicami miasta,
a z drugiej są używane przez fizyków do modelowania gdy na każdym skrzyżowaniu rzucamy (odpowiednią)
bardziej złożonych procesów fizycznych. Analiza takich kostką, aby określić kierunek dalszego marszu. W ten
prostych odwzorowań odcinka w odcinek, jak odwzo- sposób można modelować procesy fizyczne, w których
rowanie logistyczne, przesunięcie Bernoulliego czy od- dynamika przez pewien czas jest deterministyczna, ale
wzorowanie namiotowe, umożliwiła zrozumienie i opi- wybór rodzaju oddziaływania zależy od niekontrolo-
sanie zjawiska chaosu w układach nieliniowych [2 5]. wanego czynnika przypadkowego.
Odwzorowania dyskretne należą do klasy uk- Zrealizujmy za pomocą komputera przykładową
ładów d e t e r m i n i s t y c z n y c h: dowolny punkt po- trajektorię układu losowego (1). Iteracje rozpoczy-
czątkowy układu określa jednoznacznie jego trajekto- namy z dowolnego punktu x0, a na odcinku [0, 1] ozna-
rię. W niniejszym artykule przedstawimy ideę układu czamy tylko drugi tysiąc punktów, {x1001, . . . , x2000}.
iterowanych odwzorowań (ang. iterated function sys- W jaki kształt ułożą się punkty na ekranie? Powtarza-
tems, IFS), który stanowi pewne uogólnienie dyskret- jąc kilkakrotnie takie doświadczenie numeryczne zaob-
nego układu dynamicznego. Rozważmy zbiór k dys- serwujemy, iż niezależnie od wyboru punktu począt-
kretnych odwzorowań fi: &! &!, i = 1, . . . , k, prze- kowego i konkretnej realizacji procesu losowego ob-
kształcających zbiór &! w siebie. Przed każdym kro- razy powstające na ekranie są nie do rozróżnienia.
kiem wybieramy w sposób losowy jeden układ dy- Co więcej, powstający obraz ma skomplikowaną struk-
namiczny, który będzie użyty w danej iteracji. Wy- turę fraktalnego zbioru Cantora, pomimo że dynamika
bór układu fi następuje z zadanym prawdopodo- każdego z układów z osobna jest prosta i łatwa do
bieństwem pi, przy czym spełniony jest warunek opisania: każde odwzorowanie ma jeden przyciągający
k
pi = 1. Układ iterowanych odwzorowań, zdefi- punkt stały, (f1)n(x) 0 oraz (f2)n(x) 1.
i=1
niowany w ten sposób, jest s t o c h a s t y c z n y: dyna- Dynamikę danego IFS-u można również opisy-
mika zależy od czynnika losowego określającego, które wać, analizując ewolucję gęstości (lub ogólniej, miar
odwzorowanie, spośród k możliwych, zostanie wyko- probabilistycznych) zadanych na zbiorze &!. Załóżmy,
rzystane w danym kroku iteracji. że początkowa gęstość jest jednorodna, tzn. ł0(x) = 1
Rozważmy prosty przykład IFS-u składającego dla x " [0, 1]. Jak będzie wyglądała gęstość ł1(x)
się z dwóch odwzorowań: po jednokrotnej iteracji układem iterowanych odwzo-
rowań? Otrzymanie odpowiedzi ułatwi wprowadze-
f1(x) = x/3 oraz f2(x) = (x + 2)/3, (1)
nie operatora Markowa, stowarzyszonego z każdym
IFS-em. W najprostszym przypadku, gdy wszystkie
zdefiniowanych na odcinku jednostkowym &! = [0, 1].
odwzorowania fi są odwracalne, operator Markowa M
Obydwa prawdopodobieństwa są sobie równe i wyno-
opisujący ewolucję gęstości ł jest zdefiniowany wzo-
szą p1 = p2 = 1/2. Trajektorię rozpoczynającą się
rem [6,7]
w dowolnym punkcie x0 " &! generujemy w nastę-
pujący sposób: z równym prawdopodobieństwem losu-

K
-1


dfi
jemy jeden z układów, a wylosowany układ, działając -1 -1

M[ł](x) = pi(fi (x))ł(fi (x)) , (2)

na x0, wyznacza punkt x1. Kolejny krok iteracji po- dx
i=1
lega na ponownym losowym wybraniu układu, który
określi punkt x2 = f(x1) przy założeniu, że zmienne gdzie x " &!. W analizowanym przykładzie obrazem
168 POST
PY FIZYKI TOM 54 ZESZYT 4 ROK 2003
A. A
oziński, K. Życzkowski  Euroatraktor: o losowych układach dynamicznych
gęstości jednorodnej ł0(x) jest ł1 = M[ł0], czyli gę- odwzorowań może być kodowanie lub kompresja infor-
stość jednorodna w każdym z przedziałów: [0, 1/3] oraz macji graficznej: zamiast zapamiętywać rysunek bit po
[2/3, 1]. W kolejnej iteracji powstaje gęstość ł2, jedno- bicie, można próbować znalez
ć układ, którego miara
rodna na czterech przedziałach o długości 1/9, a w gra- niezmiennicza dobrze przybliża kodowaną informację,
nicy asymptotycznej otrzymamy osobliwą miarę praw- a następnie przesyłać liczby definiujące IFS. Na pod-
dopodobieństwa �" skoncentrowaną na fraktalnym stawie otrzymanych danych odbiorca można odzyskać
zbiorze Cantora, jak ilustruje rys. 1. Zbiór ten ma zakodowaną informację graficzną przez iterowanie tak
własności s a m o p o d o b n e, gdyż powiększając trzy- zdefiniowanego układu.
krotnie lewą część zbioru, zawartą w odcinku [0, 1/3],
Zanim przedstawimy przykład IFS-u dopasowa-
otrzymamy cały zbiór.
nego do danej informacji graficznej, przedstawimy jego
proste uogólnienie. W standardowej definicji IFS od-
wzorowania fi przeprowadzają całą przestrzeń &! na
0
nią samą. Zrezygnujmy jednak z tego wymogu i dopu-
1
śćmy szerszą klasę odwzorowań. Dla każdego odwzoro-
wania fi zdefiniujmy zbiór Xi �" &!, który zostaje od-
2
wzorowany na przestrzeń &! (fi:Xi &!). Natomiast
3
punkty należące do dopełnienia tego zbioru (tj. nale-
żące do zbioru &!\Xk) są odwzorowywane poza prze-
4
strzeń &! (rys. 2).
Rys. 1. Cztery kolejne iteracje początkowej miary jedno-
rodnej na odcinku jednostkowym. Kolejne miary są co-
raz bardziej podobne do miary niezmienniczej �" IFS-u
&! &!
zdefiniowanego wzorem (1).
X
f (X ) i
i i
Xi
Punkty określone przez dowolną trajektorię gene-
rowaną przez IFS (1) utworzą na ekranie zbiór Cantora
(a ściśle mówiąc, jego dowolnie dobre przybliżenie),
gdyż miara Cantora �" jest miarą niezmienniczą ope-
f ( &! /X )
i i
ratora Markowa, �" = M[�"]. Jest to miara przycią-
gająca, tzn. rozpoczynając iteracje z dowolnej miary
początkowej � otrzymamy w granicy miarę Cantora,
Rys. 2. Ilustracja działania odwzorowań dopuszczalnych
limn" Mn[�] = �". Takie przyciągające miary nie-
dla uogólnionych IFS-ów. Dla odwzorowania fk każdy
zmiennicze nazywamy a t r a k t o r a m i układu, choć punkt należący do zbioru Xk jest odwzorowywany na
pewien punkt z przestrzeni &!. Punkty nienależące do
niekiedy ta nazwa dotyczy też zbiorów niezmienni-
zbioru Xk są usuwane poza &!.
czych, czyli nośników miary niezmienniczej.
Interesującym problemem matematycznym jest
podanie warunków wystarczających, aby dany IFS
Jako przykład zdefiniujmy uogólniony IFS, skła-
miał tylko jedną miarę przyciągającą. Można wy-
dający się z 13 odwzorowań fi zdefiniowanych na czwo-
kazać [8], że przy stałych prawdopodobieństwach pi rokątnych podzbiorach Xi kwadratu jednostkowego,
warunkiem wystarczającym istnienia atraktora dla
&! = [0, 1]2, o jednakowych prawdopodobieństwach,
danego iterowanego układu odwzorowań jest wła-
pi = 1/13, i = 1, . . . , 13. Każde odwzorowanie fi jest
sność zwężania (kontrakcji), spełniana przez każde
afiniczne i zadane przez macierz 2 � 2 przekształce-
z odwzorowań fi. Oznacza to, że istnieje taka liczba
nia liniowego oraz wektor translacji. Wartości para-
L < 1 (stała Lipschitza), że dla każdej pary punk-
metrów wszystkich odwzorowań znalez
ć można w pre-
tów x, y " &! spełniony jest warunek: d(fi(x), fi(y))
princie [10], natomiast rys. 3 pokazuje wybrane ite-
Ld(x, y). IFS spełniający tę własność nazywany jest
racje miary początkowej, która jednorodnie pokrywa
h i p e r b o l i c z n y m, a przykład (1) należy do tej klasy
kwadrat jednostkowy. Już szósta iteracja tej miary nie
(ze stałą L = 1/3 dla obu odwzorowań).
jest numerycznie odróżnialna od siódmej iteracji (i na-
Zbiory niezmiennicze pewnej klasy iterowanych stępnych), a więc może być traktowana jako dobre
układów odwzorowań mają własności fraktalne. IFS-y przybliżenie miary niezmienniczej. Kształt zbioru nie-
działające w przestrzeni dwuwymiarowej mogą służyć zmienniczego (nośnika miary niezmienniczej) uzasad-
do tworzenia grafiki komputerowej oraz projektowania nia nadanie układowi nazwy Euroatraktor1. Chociaż
sztucznych krajobrazów i graficznych efektów specjal- nie jesteśmy w stanie udowodnić, że w takim układzie
nych [8,9]. Innym zastosowaniem iterowanych układów istnieje dokładnie jedna miara niezmiennicza, wyniki
1
Do zdefiniowania tego układu zainspirowała nas konferencja  Euroattractor zorganizowana przez prof. W. Klo-
nowskiego z Instytutu Biocybernetyki PAN w Warszawie w czerwcu 2002 r. (patrz hrabia.ibib.waw.pl/�euroattractor).
POST
PY FIZYKI TOM 54 ZESZYT 4 ROK 2003 169
A. A
oziński, K. Życzkowski  Euroatraktor: o losowych układach dynamicznych
numeryczne nie są sprzeczne z taką hipotezą2: dla do- Naszkicowana teoria iterowanych układów od-
wolnego zbioru warunków początkowych układ dąży wzorowań jest wciąż przedmiotem badań matema-
do atraktora przedstawionego po lewej stronie u dołu tycznych, dotyczących głównie istnienia przyciągają-
rys. 3 . . . cych miar niezmienniczych. Iterowane układy odwzo-
rowań mogą być też użyteczne przy obliczaniu ca-
łek po miarach fraktalnych [7]: całka po mierze �",
która jest przyciągającą miarą niezmienniczą pewnego
IFS-u, jest równa granicy ciągu całek po miarach �n,
gdzie �0 jest dowolną miarą (gęstością) początkową,
a kolejne miary są zadane przez operator Markowa,
�n = Mn[�0]. Ta metoda umożliwia analityczne ob-
liczenia entropii dynamicznej dla wybranych układów
jednowymiarowych [11].
Z punktu widzenia fizyka IFS stanowi ciekawy
model dynamiczny, w którym występują elementy de-
terministyczne i stochastyczne. Takie podejście służyć
może np. statystycznemu opisowi badanego układu,
przy założeniu, że okresowe oddziaływanie z otocze-
niem włączane jest w sposób losowy. Formalizm IFS,
uogólniony na grunt mechaniki kwantowej [12], może
być wykorzystany do analizy pewnej klasy otwartych
układów kwantowych.
Literatura
[1] A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the Modern
Theory of Dynamical Systems (Cambridge University
Press, Cambridge 1995).
[2] H.G. Schuster, Chaos deterministyczny (PWN, War-
szawa 1993).
[3] E. Ott, Chaos w układach deterministycznych (WNT,
Warszawa 1997).
[4] G.L. Baker, J.P. Gollub, Wstęp do dynamiki układów
chaotycznych (PWN, Warszawa 1998).
[5] R. Dorfman, Wpowadzenie do teorii chaosu (PWN,
Warszawa 2001).
[6] A. Lasota, M. Mackey, Chaos, Fractals and Noise
(Springer, Berlin 1994).
[7] W. Słomczyński, J. Kwapień, K. Życzkowski,  En-
tropy computing via integration over fractal measu-
res , Chaos 10, 180 (2000); arxiv.org/abs/chao-dyn/
9804006.
[8] M. Barnsley, Fractals Everywhere (Academic Press,
San Diego 1988).
[9] P. Pierański, Fraktale: od geometrii do sztuki (Ośro-
dek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992).
[10] K. Życzkowski, A. A
oziński,  Euroattractor: a brief
introduction to Iterated Function Systems , arxiv.
org/abs/nlin.CD/0210071.
[11] W. Słomczyński,  From quantum entropy to iterated
function systems , Chaos, Solitons & Fractals 8, 1861
Rys. 3. Euroaktraktor. Po prawej kolejne obrazy miary
(1997).
jednorodnej na całym kwadracie jednostkowym, po lewej
 nośniki tych miar. Już szósta iteracji miary jednorod- [12] A. A
oziński, K. Życzkowski, W. Słomczyński,  Qu-
nej przez operator Markowa stanowi dobre przybliżenie antum Iterated Function Systems , arxiv.org/abs/
miary niezmienniczej. quant-ph/0210029; Phys. Rev. E (2003), w druku.
2
Patrząc na zmiany polityczne zachodzące ostatnio w Europie, można się zastanawiać, czy Unia Europejska stanie
się globalnym atraktorem przyciągającym wszystkie kraje naszego kontynentu?
170 POST
PY FIZYKI TOM 54 ZESZYT 4 ROK 2003
ARTUR A
OZIC
SKI, rocznik 1975, wielunianin z pochodzenia. Obecnie kończy doktorat
w Instytucie Fizyki UJ. Jego zainteresowania naukowe to kwantowy chaos, teoria kwan-
towych układów otwartych, a także splątanie kwantowe. Poza fizyką interesuje się przede
wszystkim literaturą. Tak jak Borges uważa, że powodem do chwały są głównie książki,
które się przeczytało, a nie te, które się napisało, wobec czego czyta, a nie pisze.
Dr hab. KAROL ŻYCZKOWSKI, urodzony w 1960 r. w Krakowie, habilitacja
z fizyki teoretycznej na Uniwersytecie Jagiellońskim w roku 1994. Prowadzi
badania w dziedzinie układów nieliniowych, kwantowego chaosu, splątania
kwantowego, a także podstaw teorii informacji kwantowej. Był stypendystą
Fundacji Humboldta (Essen, 1990) oraz Fulbrighta (University of Maryland,
1997), pracuje w Instytucie Fizyki UJ w Krakowie oraz w Centrum Fizyki
Teoretycznej PAN w Warszawie. Zainteresowania: historia, polityka, sport,
w szczególności narciarstwo wysokogórskie.
POST
PY FIZYKI TOM 54 ZESZYT 4 ROK 2003 171