Zaprojektować według zadanego schematu (por. rys. 1) konstrukcję wsporczą złożoną
z kształtowników walcowanych. W obliczaniach należy pominąć masę własną konstrukcji,
uwzględnić wpływ tłumienia przyjmując zmodyfikowaną hipotezę Voigta-Kelvina,
uwzględnić zmęczenie materiału przy obliczaniu naprężeń dynamicznych.
Rys. 1. Zadany schemat dynamiczny
m, J0
F0
F*sin(pt)
0
m
EJ = const.
k"
4a 4a 4a
Dane:
fd = 215 MPa, E = 205 GPa, ł = 0,1, � = 2,5, łf = 1,2, a = 1,0 m, F0 = 2,0 kN,
4EJ
m = 1500 kg, J0 = ma2, k" = , p = 0,95�1
a3
1. Przyjęcie współrzędnych uogólnionych Lagrange a
1.1. Stopień statycznej niewyznaczalności - nh
nh = e  3t = 7  3*2 = 1
nh = 1
Rys. 2. Układ podstawowy metody sił
C
D
A B
k"
X3
4a 4a 4a
1
2a
p
t
1.2. Stopień geometrycznej niewyznaczalności - ng
ng = nĆ + n�
nĆ = 1  liczba węzłów sztywnych w układzie mających swobodę obrotu
Rys. 3. Model układu o węzłach przegubowych
1 2
n�  liczba niezbędnych więzi do przekształcenia układu o węzłach przegubowych w układ
geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
gdzie: w  liczba węzłów przegubowych,
n� = 2w  p  r = 2*4  3  3 = 2
p  liczba prętów,
r  liczba reakcji.
ng = 1 + 2 = 3
ng = 3
Rys. 4. Układ podstawowy metody przemieszczeń
k"
2
3 1
4a 4a 4a
1.3. Liczba dynamicznych stopni swobody. Przyjęcie współrzędnych uogólnionych
W celu ustalenia liczby dynamicznych stopni swobody układu, należy przeanalizować
możliwość ruchu każdego obiektu masowego (masy skupione, tarcze masowe) z
jednoczesnym uwzględnieniem jawnych i niejawnych więzi nieodkształcalnych. Rozważania
nasze dotyczą płaskiego układu prętowego, zatem możliwość ruchu obiektów masowych
rozpatrujemy jedynie w płaszczyz
nie układu. Przypomnijmy sobie, że masa skupiona (punkt
materialny) w układzie płaskim posiada 2 stopnie swobody, natomiast tarcza masowa 
3 stopnie swobody. Wobec tego wygodnie będzie w pierwszej kolejności przyjąć współrzędne
lokalne dla każdego obiektu masowego w układzie (por. rys. 5.), a następnie uwzględniając
jawne i niejawne więzy nieodkształcalne odrzucić zablokowane lokalne stopnie swobody.
2
Rys. 5. Schemat dynamiczny z przyjętymi współrzędnymi lokalnymi mas
m, J0
u5
0
EA =
u4
EJ = const.
u3
m
C
A
B D
u2
u1
k"
4a 4a 4a
Zauważmy, że sztywne zamocowanie węzła A wraz z założeniem EA = "
uniemożliwia poziome przemieszczenie każdego węzła układu prętowego, stąd wniosek, że
ruch na kierunku współrzędnej lokalnej u2 jest niemożliwy. Następnie przeanalizujmy
współrzędną lokalną u1. Na jej kierunku w układzie znajduje się jawna więz
odkształcalna, a
więc ruch na kierunku współrzędnej lokalnej u1 jest możliwy. Następnie przeanalizujmy
współrzędne lokalne u3, u4 oraz u5. Zauważmy, że współrzędne te nie są przypisane do układu
prętowego ( naszej konstrukcji wsporczej ). Są one natomiast skojarzone z tarczą masową,
która umiejscowiona jest na konstrukcji wsporczej w węz
le B. Stąd aby stwierdzić czy
możliwy jest ruch na kierunkach tych współrzędnych, należy przeanalizować stopnie
swobody węzła B. Uwzględniając jawną więz
nieodkształcalną oraz sztywne zamocowanie
węzła A wraz z założeniem EA = " stwierdzimy, że węzeł B posiada jedynie możliwość
obrotu. Zatem ruch na kierunku współrzędnej lokalnej u3 jest niemożliwy. Natomiast ruch na
kierunkach współrzędnych u4 oraz u5 jest możliwy, ponieważ umożliwia to obrót węzła B.
Jeśli podsumujemy nasze rozważania stwierdzimy, że analizowany układ ma
d = 2 dynamiczne stopnie swobody, które odpowiadają współrzędnej lokalnej u1 oraz
obrotowi węzła B.
Współrzędne uogólnione (Lagrange a) przyjmujemy zatem zgodnie z kierunkiem u1
oraz jako obrót węzła B (por. rys. 6.). Należy przy tym pamiętać, że współrzędne
uogólnione zawsze przyjmuje się w punktach należących do konstrukcji (węzły układu)
a nie w punktach należących do obiektów masowych. Oczywiście w przypadku mas
skupionych punkty te pokrywają się i wówczas problem ten nie pojawia się, lecz w przypadku
tarcz masowych należy o tym pamiętać !!!
Rys. 6. Schemat dynamiczny z przyjętymi współrzędnymi uogólnionymi (Lagrange a)
m, J0
F0
F*sin(pt)
0
q2
m
q1
k"
4a 4a 4a
3
2a
2a
pt
1.4. Stopień geometrycznej niewyznaczalności w sensie dynamicznym - ngd
Formułując macierzowe równanie ruchu za pomocą metody przemieszczeń stopień
geometrycznej niewyznaczalności w sensie dynamicznym informuje nas ile nadliczbowych
niewiadomych posiada analizowany układ. Jest to pewnego rodzaju analogia do stopnia
statycznej niewyznaczalności w przypadku gdy równanie ruchu formułuje się za pomocą
metody sił.
ngd = ng  d
ngd = 3  2 = 1
ngd = 1
1.5. Wybór metody do sformułowania macierzowego równania ruchu układu
Macierzowe równanie ruchu układu sformułować należy za pomocą metody sił lub
metody przemieszczeń. Za kryterium wyboru przyjmuje się najczęściej ilość nadliczbowych
niewiadomych: statycznych (z podejścia metody sił) lub geometrycznych (z podejścia metody
przemieszczeń). Porównujemy zatem nh z ngd i na tej podstawie wybieramy metodę, która
umożliwi nam jak najszybsze sformułowanie równania ruchu (jeżeli nh < ngd to wybieramy
metodę sił, jeżeli nh = ngd to wybieramy dowolną z tych metod, jeżeli nh > ngd to wybieramy
metodę przemieszczeń).
W niniejszym przykładzie do sformułowania macierzowego równania ruchu
układu przedstawione zostaną oba podejścia (metoda sił i metoda przemieszczeń).
4
SFORMUA
OWANIE RÓWNANIA RUCHU
ZA POMOC
METODY SIA

2. Wyznaczenie macierzy podatności  D
2.1. Schemat wyjściowy metody sił
Schemat wyjściowy metody sił (por. rys. 7.) tworzymy przyjmując w miejscu i na
kierunku współrzędnych uogólnionych qi siły kinetyczne Qi oraz w miejscu i na kierunku
usuniętych, nadliczbowych więzi  siły hiperstatyczne Xj.
Rys. 7. Schemat wyjściowy metody sił
Q1
Q2
C
A B
D
k"
X3
4a 4a 4a
W ten sposób uzyskujemy wektor poszerzonej bazy sił kinetycznych
Q1
�ł łł
(
�łQ śł
Q =
2
�ł śł
�ł śł
3
�łX �ł
Następnie rozwiązujemy schemat wyjściowy od poszczególnych stanów jednostkowych.
2.2. Stan Q1 = 1,0 [-]
Wykres momentów w całości zerowy.
1
RD = 1,0[-]
5
2.3. Stan Q2 = 1,0 [-]
Rys. 8. Wykres momentów zginających stan Q2 = 1,0 [-]
2
RD = 0
2.4. Stan X3 = 1,0 [-]
Rys. 9. Wykres momentów zginających stan X3 = 1,0 [-]
3
RD = 0
(
2.5. Współczynniki macierzy podatności D
Współczynniki macierzy podatności wyznaczono uwzględniając odkształcalność
giętną układu oraz jawne więzi sprężyste (pominięto wpływ sił tnących i osiowych). Do
obliczenia tych współczynników skorzystano ze wzoru
Mi �" M R �" R
j i j
�ij = ds +
"
+"
EJ ks
s
l
przy czym wartość całki w powyższym wzorze wyznaczono każdorazowo ze wzorów
Simpsona lub Wereszczagina.
1,0 �"1,0 a3 a3
�11 = = = 0,25
4EJ
4EJ EJ
a3
�12 = �21 = 0
�13 = �31 = 0
6
1 a
�22 = (4a �"(-1,0)�"(-1,0)) = 4
EJ EJ
2
1 1 a
�ł
�23 = �32 = �" 4a �" 4a �"(-1,0)�ł = -8
�ł �ł
EJ 2 EJ
�ł łł
1 1 2 64a3 a3
�ł �ł
�33 = �" 4a �" 4a �" �" 4a = = 21,333333
�ł �ł
EJ 2 3 3EJ EJ
�ł łł
Stąd poszerzona macierz podatności ma postać
�ł łł
a3
0
�ł0,25 EJ 0 śł
�ł śł
2
( Dqq Dqx
�ł łł
a a
�ł śł
D = 0 4,0 - 8,0 =
�łD Dxx śł
�ł śł
EJ EJ
xq
�ł �ł
2
�ł
a a3 śł
0 - 8,0 21,333333
�ł śł
EJ EJ
�ł �ł
(
2.6. Macierz podatności D w bazie q  redukcja macierzy D
Macierz podatności D w bazie minimalnej uzyskuje się ze wzoru
D = Dqq - Dqx �" D-1 �" Dxq
xx
gdzie w analizowanym przykładzie poszczególne bloki macierzowe mają postać:
3
�ł �ł
a
0
�ł �ł �ł
0.25�" 0
�ł
EJ
�"
�ł �ł
2
Dqq = Dqx =
�ł �ł
a
�ł �ł
-8.0�"
a
�ł
0 4.0�"
EJ
�"
�ł
�ł łł
EJ
�"
�ł łł
2 3
�ł �ł
a a
Dxq = -8.0�" 21.333333
�ł Dxx =
0 �"
EJ EJ
�" �"
�ł łł
stąd
3
�ł �ł
a
0 - 1
�ł �ł �ł
0.25�" 0
3 2
�ł �ł �ł �ł �ł
a a
EJ
�"
�ł �ł
2
D =
- �"
�ł �ł�"�ł21.333333 EJ �"�ł 0 -8.0�" EJ
a
�ł �ł
�" �"
�ł łł �ł łł
a -8.0�"
�ł
0 4.0�"
EJ
�"
�ł
�ł łł
EJ
�"
�ł łł
3
�ł �ł
a
�ł
0.25�" 0
EJ
�"
�ł �ł
D =
�ł �ł
a
0 1.0�"
�ł
EJ
�"
�ł łł
7
Macierz podatności w bazie q ma zatem postać
�ł łł
a3
0
�ł0,25 EJ 0 śł
a3 �ł0,25 1 łł a3
�ł śł
D = = �" = �" D *
�ł śł
0
a
EJ EJ
�ł śł
2
�ł śł
0 1,0
�ł a �ł
�ł śł
�ł EJ �ł
Do niektórych obliczeń przydatna będzie także macierz podatności postaci
0,25 0
�ł łł
�ł śł
1
D* =
0
�ł śł
2
�ł a �ł
3. Wyznaczenie macierzy bezwładności  B
3.1. Przyjęcie współrzędnych lokalnych dla mas (tarcz masowych)
Rys. 10. Współrzędne lokalne mas
m, J0
u3
0
u2
m
k" u1
4a 4a 4a
3.2. Transformacja współrzędnych uogólnionych na lokalne
Rys. 11. Stan q1 = 1 [-]
Rys. 12. Stan q2 = 1 [-]
8
2a
Aby dokonać transformacji współrzędnych uogólnionych na lokalne należy sporządzić
jednostkowe plany przemieszczeń dla poszczególnych współrzędnych uogólnionych, a
następnie na ich podstawie ustalić relacje pomiędzy współrzędnymi lokalnymi a
uogólnionymi. Na podstawie planów przemieszczeń (por. rys. 11 i 12) stwierdzono, że:
u1 = q1
u2 = 2a �" q2
u3 = q2
co w zapisie macierzowym daje
u1 1,0 0
�ł łł �ł łł
q1
�ł łł
�łu śł �ł
= 0 2aśł �"
2 �łq śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
0 1,0�ł �ł 2 �ł
3
�łu �ł �ł
Stąd macierz transformacji ma postać
1,0 0
�ł łł
�ł
Am = 0 2aśł
�ł śł
�ł śł
0 1,0�ł
�ł
Diagonala mas, która odpowiada przyjętym współrzędnym lokalnym, ma postać:
m 0 0
�ł łł
�ł śł
{m}= diag(m, m, ma2)= 0 m 0
�ł śł
�ł śł
0 0 ma2 �ł
�ł
3.3. Wyznaczenie macierzy bezwładności
Macierz bezwładności wyznacza się z relacji
T
B = Am .{m}�" Am
T
1,0 0 m 0 0 1,0 0
�ł łł �ł łł �ł łł
m 0
�ł łł
T �ł �ł śł �ł
B = Am .{m}�" Am = 0 2aśł �" 0 m 0 �" 0 2aśł =
�ł
�ł śł �ł śł �ł śł
0 5ma2 śł
�ł
�ł śł �ł śł �ł śł
0 1,0�ł �ł 0 0 ma2 �ł �ł 0 1,0�ł �ł
�ł
Stąd macierz bezwładności ma postać
m 0 1,0 0
�ł łł �ł łł
B = = m�ł = m �" B *
�ł
0 5ma2 śł �ł 0 5a2 śł
�ł �ł �ł
1,0 0
�ł łł
Do niektórych obliczeń przydatna będzie także macierz bezwładności B* =
�ł
0 5a2 śł
�ł �ł
9
4. Wyznaczenie wektora wzbudzania  F
4.1. Przyjęcie współrzędnych lokalnych dla sił wymuszających
Rys. 13. Współrzędne lokalne przyjęte dla składowych sił wymuszających
F0
F*sin(pt)
0
u2
u1
k"
4a 4a 4a
4.2. Transformacja współrzędnych uogólnionych na lokalne
Podobnie jak w punkcie 3.2. aby dokonać transformacji współrzędnych uogólnionych
na lokalne należy sporządzić jednostkowe plany przemieszczeń dla poszczególnych
współrzędnych uogólnionych, a na ich podstawie ustalić relacje pomiędzy współrzędnymi
lokalnymi a uogólnionymi. Na podstawie planów przemieszczeń (por. rys. 11 i 12)
stwierdzono, że:
u1 = q1
u2 = 2a �" q2
co w zapisie macierzowym daje
u1 1,0 0 q1
�ł łł �ł łł �ł łł
= �"
�łu śł �ł
0 2aśł �łq2 śł
�ł 2 �ł �ł �ł �ł �ł
Stąd macierz transformacji ma postać
1,0 0
�ł łł
Ap =
�ł
0 2aśł
�ł �ł
Wektor składowych sił wymuszających, który odpowiada współrzędnym lokalnym ma postać
F0 sin(pt)
�ł łł
P =
�łF cos(pt)śł
�ł 0 �ł
10
2a
pt
4.3. Wyznaczenie wektora wzbudzania
Wektor wzbudzania wyznacza się z relacji (równanie prac)
L = uT �" P = qT �" AT �" P = qT �" F
p
T
1,0 0 F0 sin(pt) F0 sin(pt)
�ł łł �ł łł �ł łł
F = AT �" P = �"
p
�ł
0 2aśł �łF0 cos(pt)śł = �ł2F a cos(pt)śł
�ł �ł �ł �ł �ł 0 �ł
Rozkład wektora wzbudzania na składowe sinusowe i cosinusowe
F0 sin(pt) 0
�ł łł �ł łł
F = FS + FC = +
�ł śł �ł2F a cos(pt)śł
0
�ł �ł �ł 0 �ł
F0 0
�ł łł �ł łł
FS = sin(pt), FC =
�ł śł �ł2F aśł cos(pt)
0
�ł �ł �ł 0 �ł
5. Zagadnienie własne  rozwiązanie w bazie D
5.1. Równanie zagadnienia własnego
Formułując równanie ruchu układu za pomocą metody sił uzyskuje się równanie drgań
własnych w postaci
&&
D �" B �" q + q = 0
2
&&
Zakładając rozwiązanie harmoniczne ( q = -� q ) otrzymamy
(- D �" B �" �2 + I)�" q = 0
Powyższe równanie posiada nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
det(D �" B - �-2 �" I)= 0  jest to równanie zagadnienia własnego
Dalej wykonując odpowiednie przekształcenia otrzymamy
�ł �ł
m �" a3
�ł �ł
det�ł D *�"B* - �-2 �" I�ł = 0
EJ
�ł łł
EJ
det�łD *�"B* - �" I�ł = 0
�ł �ł
�2 �" m �" a3
�ł łł
11
EJ
Przyjmując , że  = (gdzie  są wartościami własnymi) otrzymamy relację
�2 �" m �" a3
pomiędzy wartościami własnymi a częstościami własnymi
EJ
� =
 �" m �" a3
5.2. Rozwiązanie zagadnienia własnego
W wyniku rozwiązania zagadnienia własnego układu uzyskuje się zbiór wartości
własnych  i , zbiór częstości własnych (zwany także widmem częstości)  �i oraz wektory
własne  wi , które tworzą macierz własną  W.
det(D *�"B* - �" I) = 0
0.25 0
�ł �ł
1 0
�ł
�ł �ł
1
D* = B* =
�ł �ł �ł
0
2
0 5�"a
2 �ł łł
�ł
a
�ł łł
0.25 0
�ł �ł
1 0
�ł
�ł �ł
0.25 0
�ł �ł
1
D*B* = =
�ł �ł�"�ł �ł
0
2
0 5.0
�ł łł
0 5�"a
2 �ł łł
�ł
a
�ł łł
0.25 0 1 0
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł = 0.25 -  0
D*B* - I =
- �"
�ł �ł �ł
0 5.0 0 1
0 5.0 - 
�ł łł �ł łł
�ł łł
0.25 -  0
�ł �ł 2
det(D*B* - I) = = - 5.25�" + 
1.25
�ł
0 5.0 - 
�ł łł
Z powyższego równania wyznaczono wartości własne. Jeżeli obliczenia wykonywane są
metodą sił uszeregowanie wartości własnych jest malejące !!!
1 = 5,0, 2 = 0,25
Następnie na podstawie wcześniejszych wyprowadzeń wyznaczono częstości własne układu.
Malejące uszeregowanie wartości własnych gwarantuje właściwe uszeregowanie częstości
własnych, które zawsze układa się od wartości najmniejszej do największej.
EJ EJ
�1 = = 0,4472 ,
5 �" ma3 ma3
EJ EJ
�2 = = 2,0
0,25 �" ma3 ma3
12
Wektory własne
Wektorem własnym wi jest każda niezerowa kolumna lub dowolna niezerowa
kombinacja liniowa kolumn macierzy dołączonej do macierzy (D �" B - �-2 �" I) lub po
stosownych przekształceniach do macierzy (D *�"B* - �" I).
Rozpatrzmy pomocniczo macierz kwadratową A o wymiarze n. Jeżeli z macierzy A
wykreślimy wiersz i oraz kolumnę j to uzyskamy macierz �ij o wymiarze n-1. Macierzy A
przyporządkowuje się macierz dołączoną adjA o elementach
i+ j
(adjA) = (-1) det�
ij ji
" Pierwszy wektor własny w1
0.25 0 1 0 -4.75 0
�ł �ł �ł �ł = �ł �ł
D*B* - 1 I =
x - 5.0�"
�ł �ł �ł
0 5.0 0 1 0 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł- 4,75 0 0 0
łł �ł łł
adj(D *�"B* -1 �" I) = adj�ł =
0 0śł �ł0 - 4,75śł
�ł �ł �ł �ł
Z definicji wektora własnego otrzymujemy
0
�ł łł
w1 =
�ł- 4,75śł
�ł �ł
co po unormowaniu przez największy co do wartości bezwzględnej wyraz wektora daje
0
�ł łł
w1 =
�ł1,0śł
�ł �ł
" Drugi wektor własny w2
0.25 0 1 0 0 0
�ł �ł �ł �ł = �ł �ł
D*B* - 2 I =
x - 0.25�"
�ł �ł �ł
0 5.0 0 1 0 4.75
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 4,75 0
�ł łł �ł łł
adj(D *�"B* -2 �" I) = adj�ł =
�ł
0 0śł
�ł0 4,75śł �ł �ł
�ł
Z definicji wektora własnego otrzymujemy
4,75
�ł łł
w2 =
�ł śł
0
�ł �ł
co po unormowaniu przez największy co do wartości bezwzględnej wyraz wektora daje
1,0
�ł łł
w2 =
�ł śł
0
�ł �ł
13
Macierz własna
Macierz własna utworzona jest z wektorów własnych, które są jej kolumnami.
cierz własna utworzona jest z wektorów własnych, które są jej kolumnami.
0 1,0
0 1,0
�ł łł
�ł łł
W =
W =
�ł1,0 0 śł
�ł1,0 0 śł
�ł �ł
�ł �ł
Formy drgań własnych
Formy drgań własnych
Formy drgań własnych tworzy się na podstawie znajomości wektorów własnych
(wektory własne informują o rozkładzie przemieszczeń uogólnionych) z uwzględnieniem
warunków kinematycznych istniejących w układzie (więzy jawne oraz niejawne).
Rys. 14. Pierwsza forma własna
Rys. 15. Druga forma własna
6. Drgania wymuszone harmonicznie  rozwiązanie w bazie D
6.1. Algebraiczne równania ruchu
Za pomocą metody sił sformułowano macierzowe równanie ruchu postaci
&& &
D �" B �" q + D �" C �" q + q = D �" F
W przypadku drgań wymuszonych harmonicznie przewiduje się (zakłada się)
harmoniczną postać rozwiązania jako kombinację liniową składników sinusowych i
cosinusowych, czyli
q = qSsin(pt)+ qCcos(pt)
14
&&
Uwzględniając fakt, że w przypadku drgań harmonicznych q = -p2q oraz dokonując
rozkładu na składowe sinusowe i cosinusowe uzyskuje się algebraiczne równania ruchu
postaci
(I - p2 �" D �" B)�" qS - p �" D �" C �" qC = D �" FS
p �" D �" C �" qS + (I - p2 �" D �" B)�" qC = D �" FC
ł
Dla hipotezy Voigt a-Kelvin a C = �" K powyższy układ równań przybiera postać
p
(I - p2 �" D �" B)�" qS - ł �" I �" qC = D �" FS
ł �" I �" qS + (I - p2 �" D �" B)�" qC = D �" FC
Zadana częstość wymuszenia
EJ EJ
p = 0,95�1 = 0,95*0,4472 = 0,42484
ma3 ma3
6.2. Układ równań algebraicznych (postać macierzowa)
�ł - p2 �" D �" B) - ł �" I �ł łł D �" FS
łł qS �ł łł
(I
�ł
�" FC
ł �" I (I - p2 �" D �" B)śł �" �łq śł = �łD śł
�ł C �ł
�ł �ł �ł �ł
W niniejszym przykładzie poszczególne bloki macierzowe wynoszą
3
�ł �ł
a
�ł
2
0.25�" 0
1 0
EJ
�"
2 �ł �ł �ł0.42484�" �ł
EJ
�"
�ł �ł�"�ł m 0 �ł
I - D*B = - �"
p
�ł �ł
�ł
2
�ł �ł
0 1 3
�ł łł
a 0 5�"m�"a
�ł łł
ma
�"
�ł łł
0 1.0�"
�ł
EJ
�"
�ł łł
0.95487774 0
2 �ł �ł
I - D*B =
p
�ł
0 0.09755487
�ł łł
1 0 0.1 0
�ł �ł �ł �ł
*I =
ł 0.1�" =
�ł �ł
0 1 0 0.1
�ł łł �ł łł
15
3
�ł �ł
a
3
�ł �ł �ł
0.25�" 0
F�"a
EJ
�"
�ł �ł�"�ł F �ł = �ł 0.25�" EJ �ł
D*Fs =
�ł �ł
�"
�ł �ł
0
�ł łł
a
�ł
0 1.0�"
0
�ł
�ł łł
EJ
�"
�ł łł
3
�ł �ł
a
0
�ł �ł �ł
0.25�" 0
EJ
�"
�ł �ł�"�ł 0 �ł = �ł 2 �ł
D*Fc =
�ł �ł
F�"a
�ł �ł
2�"F�"a
�ł łł
2.0�"
a
�ł
0 1.0�"
EJ
�"
�ł
�ł łł
EJ
�"
�ł łł
Stąd macierz współczynników ma postać
0.95487774 0 -0.1 0
�ł �ł
�ł
0 0.09755487 0 -0.1
�ł �ł
A =
�ł �ł
0.1 0 0.95487774 0
�ł
0 0.1 0 0.09755487
�ł łł
Algebraiczne, macierzowe równanie ruchu ma postać
3
�ł �ł
F�"a
�ł
0.25�"
0.95487774 0 -0.1 0 q1s EJ
�"
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł
0 0.09755487 0 -0.1 q2s
�ł �ł�"�ł �ł = �ł 0 �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
0.1 0 0.95487774 0 q1c 0
�ł �ł
�ł �ł
0 0.1 0 0.09755487 q2c 2
�ł �ł
�ł łł �ł łł
F�"a
�ł 2.0�"
EJ
�"
�ł łł
Powyższy układ równań posiada niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy detA `" 0 ,
czyli A �" X = F �! X = A-1 �" F
3
�ł �ł
F�"a
�ł
0.25897�"
�ł �ł
3 EJ
�"
�ł �ł
F�"a
�ł �ł �ł
0.25�"
- 1
2
q1s 0.95487774 0 -0.1 0 EJ
�"
F�"a
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł 10.2475�"
�ł �ł �ł �ł
q2s 0 0.09755487 0 -0.1 0 EJ
�"
�ł �ł = �ł �ł
�"
�ł �ł = �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
q1c 0.1 0 0.95487774 0 0 3
�ł �ł �ł �ł
F�"a
�ł �ł
-0.02712�"
q2c 0 0.1 0 0.09755487 2
�ł �ł �ł �ł
�ł łł �ł łł
EJ
�"
F�"a
�ł 2.0�" �ł �ł
EJ 2
�"
�ł łł
�ł �ł
F�"a
9.99694�"
�ł
EJ
�"
�ł łł
16
6.3. Siły kinetyczne
W przypadku hipotezy Voigt a-Kelvin a siły kinetyczne wyznacza się z zależności
&&
Q = F - B �" q
&&
co po uwzględnieniu faktu q = -p2q daje
Q = F + p2 �" B �" q  wzór dla metody sił
Stąd poszczególne składowe wyznacza się ze wzorów
QS = FS + p2 �" B �" qS , QC = FC + p2 �" B �" qC
3 3
�ł �ł �ł �ł
Fa F�"a
�"
�ł 0.25897 �ł -0.02712
�" �"
EJ EJ
�" �"
EJ
�"
�ł �ł �ł �ł
qs = qc = p =
0.42484
�"
�ł �ł �ł �ł
2 2 3
Fa F�"a ma
�" �"
�ł �ł
10.2475 9.99694
�" �"
EJ EJ
�" �"
�ł łł �ł łł
3
�ł �ł
Fa
�"
�ł 0.25897
�"
2
m 0
�ł �ł
EJ 0.0467�"F
�"
EJ
�"
2 �ł0.42484 �ł �ł
�ł �ł = �ł
B qs =
*
p �" �" �"
�ł �ł
�ł
2
�ł �ł
3 2 9.2478�"F�"a
�ł łł
0 5�"m�"a
�ł łł
ma Fa
�" �"
�ł łł
�ł
10.2475
�"
EJ
�"
�ł łł
3
�ł �ł
F�"a
�ł -0.02712
�"
2
m 0
�ł �ł
EJ -0.0049�"F
�"
EJ
�"
2 �ł0.42484 �ł �ł
�ł �ł = �ł
B qc =
*
p �" �" �"
�ł �ł
�ł
2
�ł �ł
3 2 9.0217�"F�"a
�ł łł
0 5�"m�"a
�ł łł
ma F�"a
�"
�ł łł
�ł
9.99694
�"
EJ
�"
�ł łł
stąd składowe sił kinetycznych wynoszą
F 0.0467�"F 1.0467�"F
�ł �ł �ł �ł = �ł �ł
Qs =
+
�ł �ł �ł
0 9.2478�"F�"a 9.2478�"F�"a
�ł łł �ł łł �ł łł
0 -0.0049�"F -0.0049�"F
�ł �ł �ł �ł = �ł �ł
Qc =
+
�ł �ł �ł
2�"F�"a 9.0217�"F�"a 11.0217F�"a
�"
�ł łł �ł łł �ł łł
17
6.4. Nadliczbowa siła kinetyczna
W przypadku metody sił nadliczbową siłę kinetyczną wyznacza się z zależności
X = -D-1 �" Dxq �" Q
xx
2 3
�ł �ł
a a
Dxq = �ł -8.0�" 21.333333
Dxx =
0 �"
EJ EJ
�" �"
�ł łł
- 1
3 2
�ł �ł �ł �ł
1.0467�"F
a a
�ł �ł = 3.4679�"F
Xs = -�ł �ł
21.333333 �" 0 -8.0�" �"
�"
�ł
EJ EJ 9.2478�"F�"a
�" �"
�ł łł �ł łł �ł łł
- 1
3 2
�ł �ł �ł �ł
-0.0049�"F
a a
�ł �ł = 4.1331�"F
Xc = -�ł �ł
21.333333 �" 0 -8.0�" �"
�"
�ł
EJ EJ 11.0217F�"a
�" �" �"
�ł łł �ł łł �ł łł
6.5. Poszerzone wektory sił kinetycznych
1,0467 �" F0
�ł łł �ł - 0,0049 �" F0
łł
( (
�ł9,2478 �" F0 �" aśł QC = �ł11,0217 �" F0 �" aśł
QS = ,
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
3,4679 �" F0 �ł 4,1331�" F0 �ł
�ł �ł
6.6. Momenty dynamiczne
Wartości momentów zginających wyznaczono z zasady superpozycji korzystając
przy tym z obliczeń z punktów 2.2-2.4. (wykresy momentów zginających od
jednostkowych stanów obciążeń)
M = M1*Q1 + M2*Q2 + M3*X3
Rys. 16. Schemat wyjściowy metody sił
Q1
Q2
C
A B
D
k"
X3
4a 4a 4a
18
Składowe sinusowe momentów zginających
M1 Q1S M2 Q2S M3 X3S MS
[a] [F] [-] [Fa] [a] [F] [Fa]
A 0,000 1,0467 -1,000 9,2478 4,000 3,4679 4,624
B lewa 0,000 1,0467 -1,000 9,2478 0,000 3,4679 -9,248
B prawa 0,000 1,0467 0,000 9,2478 0,000 3,4679 0,000
C lewa 0,000 1,0467 0,000 9,2478 0,000 3,4679 0,000
C prawa 0,000 1,0467 0,000 9,2478 0,000 3,4679 0,000
D 0,000 1,0467 0,000 9,2478 0,000 3,4679 0,000
Składowe cosinusowe momentów zginających
M1 Q1C M2 Q2C M3 X3C MC
[a] [F] [-] [Fa] [a] [F] [Fa]
A 0,000 -0,00490 -1,000 11,0217 4,000 4,1331 5,511
B lewa 0,000 -0,00490 -1,000 11,0217 0,000 4,1331 -11,022
B prawa 0,000 -0,00490 0,000 11,0217 0,000 4,1331 0,000
C lewa 0,000 -0,00490 0,000 11,0217 0,000 4,1331 0,000
C prawa 0,000 -0,00490 0,000 11,0217 0,000 4,1331 0,000
D 0,000 -0,00490 0,000 11,0217 0,000 4,1331 0,000
Wykresy dynamicznych momentów zginających
Rys. 17. Wykres momentów dynamicznych  składowe sinusowe
Rys. 18. Wykres momentów dynamicznych  składowe cosinusowe
19
Amplitudalne wartości momentów zginających
Amplitudalne wartości momentów zginających wyznacza się ze wzoru
M = MS �" sin(pt) + MC �" cos(pt) = amM �" sin(pt + �)
2 2
gdzie: amM = MS + MC ,
�ł �ł
MC
�ł �ł
� = arctg�ł �ł
MS
�ł łł
MS MC amM
[Fa] [Fa] [Fa]
A 4,624 5,511 7,194
B lewa -9,248 -11,022 14,387
B prawa 0,000 0,000 0,000
C lewa 0,000 0,000 0,000
C prawa 0,000 0,000 0,000
D 0,000 0,000 0,000
Rys. 19. Wykres amplitudalnych dynamicznych momentów zginających
20
6.7. Amplitudalny stan przemieszczeń dynamicznych
Amplitudalne wartości przemieszczeń dynamicznych wyznacza się ze wzoru
2 2
amqi = qiS + qiC
stąd
2 2
3 3 3
�ł �ł �ł �ł
F�"a F�"a F�"a
amq1 = �ł �ł-0.02712�" 0.26039
=
0.25897 + �"
�"
EJ EJ EJ
�" �" �"
�ł łł �ł łł
2 2
2 2 2
�ł �ł �ł �ł
F�"a F�"a F�"a
amq2 = �ł �ł =
10.2475 + 9.99694 14.31608
�" �" �"
EJ EJ EJ
�" �" �"
�ł łł �ł łł
Rys. 20. Amplitudalny stan przemieszczeń dynamicznych
7. Rozwiązanie statyczne
7.1. Rzeczywiste momenty zginające
Schemat statyczny (por. rys. 21.) zbudowano na podstawie schematu dynamicznego
zastępując masy (tarcze masowe) siłami statycznymi według relacji
P = m*g
Rys. 21. Schemat statyczny
P P
k"
4a 4a 4a
21
W analizowanym przykładzie wykres rzeczywistych, statycznych momentów
zginających jest w całości zerowy  obciążenie statyczne mas nie wywołuje momentów
zginających w konstrukcji wsporczej. Obciążenie statyczne przekazywane jest bezpośrednio
przez więzi na fundament.
Mrz,stat = 0
7.2. Rzeczywiste przemieszczenia statyczne
W analizowanym przykładzie jedynie węzeł D, w którym znajduje się masa skupiona,
przemieszcza się pionowo wskutek działania obciążenia statycznego.
Przemieszczenie pionowe węzła D wynosi
m
3
1500kg �" 9,81 �"(1,0m)3678,75Nm3
Pa3
s2
q1,stat = = 0,25 =
4EJ EJ EJ
7.3. Dobór przekroju poprzecznego ze względu na SGN
W ogólnym przypadku należy dobrać przekrój na podstawie SGN ze wzoru
Mextr
d
W >
fd
W niniejszym przykładzie rzeczywiste, statyczne momenty zginające są równe zeru, a więc
warunek wytrzymałościowy spełniony jest dla dowolnego przekroju.
7.4. Dobór przekroju poprzecznego ze względu na SGU
Ugięcie dopuszczalne
lp 4
ydop = = = 0,016m
250 250
Potrzebny minimalny moment bezwładności przekroju wyznaczy się na podstawie warunku
q1,stat < ydop
3678,75Nm3
stąd J > = 112,15�"10-8 m4 = 112,15cm4
N
205*109 * 0,016m
m2
Przyjęto przekrój na podstawie SGU
Przyjęto 2 C80: Wx = 82,4 cm3 , Jx = 212 cm4
Przekrojowa sztywność giętna
EJ = 205*109*212*10-8 = 434600 Nm2
22
8. Stan graniczny nośności
8.1. Obwiednia momentów zginających  stan statyczny plus stan dynamiczny
amplitudalny
Obwiednię momentów zginających sporządzono z wykorzystaniem współczynnika
obciążenia łf = 1,2. Ponadto dla amplitudalnych momentów dynamicznych przyjęto
współczynnik zmęczeniowy � = 2,5.
łf*Mrz łf*�*amM Mrz - amM Mrz + amM
[Nm] [Nm] [Nm] [Nm]
A 0,0 43164,0 -43164,0 43164,0
B lewa 0,0 86322,0 -86322,0 86322,0
B prawa 0,0 0,0 0,0 0,0
C lewa 0,0 0,0 0,0 0,0
C prawa 0,0 0,0 0,0 0,0
D 0,0 0,0 0,0 0,0
Rys. 22. Obwiednia momentów zginających
8.2. Sprawdzenie warunku wytrzymałości
Ekstremalny moment wynosi: MB = 86322 Nm
Mextr 86322
� = = = 1047,6 MPa
W 82,4 �"10-6
� = 1047,6 MPa >> 215 MPa = fd
Warunek stanu granicznego nośności nie jest spełniony !!!
23
9. Stan graniczny użytkowania
Dla dowolnego przekroju ugięcie wynosi
qi = qi,stat + amqi
W analizowanym przykładzie maksymalnego przemieszczenia pionowego doznaje masa
skupiona umiejscowiona w węz
le D konstrukcji. Zatem warunek SGU sprawdzony zostanie
dla tego węzła.
Maksymalne przemieszczenie pod masą skupioną  m w węz
le D:
- statyczne (punkt 7.2.)
3678,75Nm3
q1,stat = = 0,00846m
434600
- dynamiczne (amplituda przemieszczenia)
3
1500N �"(1,0m)
amq1 = 0,26039 �" = 0,000898m
434600Nm2
stąd
q1 = 0,00846 + 0,000898 = 0,009358 m
q1 = 9,358 mm < 16 mm = ydop
Stan graniczny użytkowania jest spełniony !!!
24
SFORMUA
OWANIE RÓWNANIA RUCHU
ZA POMOC
METODY PRZEMIESZCZEC

2*. Wyznaczenie macierzy sztywności  K
2.1*. Schemat wyjściowy metody przemieszczeń
Schemat wyjściowy metody przemieszczeń (por. rys. 23.) tworzy się poprzez
powiększenie bazy przemieszczeń uogólnionych o nadliczbowe niewiadome geometryczne.
Oznacza to, że oprócz współrzędnych uogólnionych qi przyjmuje się przemieszczenia
uogólnione xj w miejscu i na kierunku dodatkowych, nadliczbowych więzi (por. rys. 4).
Rys. 23. Schemat wyjściowy metody przemieszczeń
q2
k"
B
x3 q1
4a 4a 4a
W ten sposób uzyskuje się wektor poszerzonej bazy przemieszczeń uogólnionych
q1
�ł łł
(
�łq śł
q =
2
�ł śł
�ł śł
3
�łx �ł
Następnie należy rozwiązać schemat wyjściowy od poszczególnych stanów jednostkowych.
2.2*. Stan q1 = 1,0 [-]
Rys. 24. Stan q1 = 1,0 [-]
25
Kąty obrotu cięciw prętów
�1 = 0
AB
�1 = 0
BC
1
�1 =
CD
4a
Momenty zginające
W stanie jednostkowym q1 = 1,0 [-] momenty brzegowe, wyznaczane w myśl metody
przemieszczeń, są równe zeru.
M1 = 0
2.3*. Stan q2 = 1,0 [-]
Rys. 25. Stan q2 = 1,0 [-]
Kąty obrotu cięciw prętów
�2 = 0
AB
�2 = 0
BC
2
�CD = 0
Momenty zginające
Rys. 26. Wykres momentów zginających stan q2 = 1,0 [-]
26
2.4*. Stan x3 = 1,0 [-]
Rys. 27. Stan x3 = 1,0 [-]
Kąty obrotu cięciw prętów
�3 = 0
AB
1
�3 =
BC
4a
1
�3 = -
CD
4a
Momenty zginające
Rys. 28. Wykres momentów zginających stan x3 = 1,0 [-]
(
2.5*. Współczynniki macierzy sztywności K
Współczynniki macierzy sztywności wyznaczono z następujących wzorów
EJ EJ
k11 = - (M1 + M1 )�" �1 + �" "L1 �" "L1 =4 �"1�"1 = 4,0
" ij ji ij "ks s s
a3 a3
ij s
1
k12 = k21 = = M1 + M1 = 0
"MBj BA BD
j
k13 = k31 = - (M1 + M1 )�" �3 + �" "L1 �" "L3 =0
" ij ji ij "ks s s
ij s
EJ EJ EJ
2
k22 = + k� = M2 + M2 + 0 = + 0,75 = 1,75
"MBj B BA BC
a a a
j
EJ
3
k23 = k32 = = M3 + M3 = -0,1875
"MBj BA BD
a2
j
EJ 1 EJ
�ł- 0,1875 + 0�ł �" �ł �ł
k33 = - (M3 + M3 )�" �3 + �" "L3 �" "L3 = - �ł �ł �ł �ł
= 0,046875
" ij ji ij "ks s s
2
a 4a a3
�ł łł �ł łł
ij s
27
Stąd poszerzona macierz sztywności ma postać
EJ
�ł4,0 łł
0 0
�ł śł
a3
�ł śł
( Kqq Kqx
�ł łł
EJ EJ
�ł śł
K = 0 1,75 - 0,1875 =
�łK Kxx śł
2
a a
�ł śł xq
�ł �ł
EJ EJ
�ł śł
0 - 0,1875 0,046875
2
�ł
a a3 śł
�ł �ł
(
2.6*. Macierz sztywności K w bazie q  redukcja macierzy K
Macierz sztywności K w bazie minimalnej uzyskuje się ze wzoru
K = Kqq - Kqx �" K-1 �" K
xx xq
gdzie w analizowanym przykładzie poszczególne bloki macierzowe mają postać:
EJ
�"
�ł �ł
4.0�" 0
0
�ł �ł �ł
3
�ł
a
�ł �ł
EJ
�"
Kqq = Kqx =
�ł �ł
-0.1875�"
�ł �ł
EJ
�"
2
�ł
0 1.75�"
a
�ł
�ł łł
a
�ł łł
EJ EJ
�" �"
�ł �ł
Kxq = -0.1875�" 0.046875
Kxx =
0 �"
�ł
2 3
a a
�ł łł
Stąd
EJ
�"
�ł �ł
4.0�" 0
0
�ł �ł �ł
- 1
3
�ł
EJ EJ
�" �"
a
�ł �ł
EJ
�"
K =
- �"
�ł �ł�"�ł0.046875 3 �ł �"�ł 0 -0.1875�" 2 �ł
-0.1875�"
�ł �ł
�ł �ł
EJ
�"
2
�ł
a a
�ł łł �ł łł
0 1.75�"
a
�ł
�ł łł
a
�ł łł
EJ
�"
�ł �ł
4.0�" 0
�ł
3
a
�ł �ł
K =
�ł �ł
EJ
�"
0 1.0�"
�ł
a
�ł łł
Macierz sztywności w bazie q ma zatem postać
EJ
�ł4,0 łł
0
�ł śł 4,0 0
EJ �ł łł EJ
a3
K = = �" = �" K *
�ł śł
EJ
0 a
a3 �ł 2 śł a3
�ł �ł
�ł śł
0 1,0
�ł a �ł
28
Do niektórych obliczeń przydatna będzie także macierz sztywności postaci
4,0 0
�ł łł
K* =
�ł 2 śł
0 a
�ł �ł
Zauważmy także jeszcze pewien istotny fakt, a mianowicie
D �" K = I
Jeżeli wykorzystamy wcześniejsze obliczenia dotyczące macierzy podatności otrzymamy
0,25 0
�ł łł
4,0 0 1,0 0
�ł łł �ł łł
�ł śł
D �" K = 1 �" = = I
�ł 2 śł �ł
0
0 a 0 1,0śł
�ł śł
2
�ł �ł �ł �ł
�ł a �ł
Powyższa równość jest ważna wówczas, gdy obliczenia wykonujemy w tej samej bazie
współrzędnych uogólnionych zarówno w przypadku metody sił jak i metody przemieszczeń!!!
5*. Zagadnienie własne  rozwiązanie w bazie K
5.1*. Równanie zagadnienia własnego
Formułując równanie ruchu układu za pomocą metody przemieszczeń uzyskuje się
równanie drgań własnych w postaci
&&
B �" q + K �" q = 0
2
&&
Zakładając rozwiązanie harmoniczne ( q = -� q ) otrzymuje się
(K - �2 �" B)�" q = 0
Powyższe równanie posiada nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
det(K - �2 �" B)= 0  jest to równanie zagadnienia własnego
Dalej wykonując odpowiednie przekształcenia otrzymamy
EJ
det�ł K *- �2 �" m �" B*�ł = 0
�ł �ł
a3
�ł łł
�ł �ł
m �" a3
-1
�ł �ł
det�ł(B*) �" K * - �2 �" �" I�ł = 0
�" EJ
�ł łł
m �" a3
Przyjmując , że  = �2 �" (gdzie  są wartościami własnymi) otrzymamy relację
EJ
pomiędzy wartościami własnymi a częstościami własnymi
EJ
� = 
m �" a3
29
5.2*. Rozwiązanie zagadnienia własnego
W wyniku rozwiązania zagadnienia własnego układu uzyskuje się zbiór wartości
własnych  i , zbiór częstości własnych (zwany także widmem częstości)  �i oraz wektory
własne  wi , które tworzą macierz własną  W.
-1
det((B*) �" K * -  �" I)= 0
4.0 0 1 0
�ł �ł �ł �ł
K* = B* =
�ł �ł
2 2
0 a 0 5�"a
�ł łł �ł łł
- 1
1 0 4.0 0
�ł �ł �ł �ł
4.0 0
�ł �ł
(B*)^-1K* = =
�"
�ł �ł �ł
2 2
0 0.2
�ł łł
0 5�"a 0 a
�ł łł �ł łł
4.0 0 1 0
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł = 4.0 -  0
(B*)^-1K* - I =
- �"
�ł �ł �ł
0 0.2 0 1
0 0.2 - 
�ł łł �ł łł
�ł łł
4.0 -  0
�ł �ł
2
det((B*)^-1K* - I) = = - 4.2�" + 
0.8
�ł
4
0 5�"a - 
�ł łł
Z powyższego równania wyznaczono wartości własne. Jeżeli obliczenia wykonywane są
metodą przemieszczeń uszeregowanie wartości własnych jest rosnące !!!
1 = 0,2, 2 = 4,0
Następnie na podstawie wcześniejszych wyprowadzeń wyznaczono częstości własne układu.
Rosnące uszeregowanie wartości własnych gwarantuje właściwe uszeregowanie częstości
własnych, które zawsze układa się od wartości najmniejszej do największej.
EJ EJ
�1 = 0,2 = 0,4472 ,
ma3 ma3
EJ EJ
�2 = 4,0 = 2,0
ma3 ma3
Wektory własne
Wyznaczanie wektorów własnych omówiono szczegółowo dla obliczeń wykonywanych
metodą sił.
" Pierwszy wektor własny w1
4.0 0 1 0 3.8 0
�ł �ł �ł �ł = �ł �ł
(B*)^-1K* - 1 I =
x - 0.2�"
�ł �ł �ł
0 0.2 0 1 0 0
�ł łł �ł łł �ł łł
30
3,8 0 0 0
�ł łł �ł łł
-1
adj[(B*) �" K * -1 �" I]= adj�ł =
0 0śł �ł0 3,8śł
�ł �ł �ł �ł
Z definicji wektora własnego otrzymujemy
0
�ł łł
w1 =
�ł3,8śł
�ł �ł
co po unormowaniu przez największy co do wartości bezwzględnej wyraz wektora daje
0
�ł łł
w1 =
�ł1,0śł
�ł �ł
" Drugi wektor własny w2
4.0 0 1 0 0 0
�ł �ł �ł �ł = �ł �ł
(B*)^-1K* - 2 I =
x - 4.0�"
�ł �ł �ł
0 0.2 0 1 0 -3.8
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0
�ł łł �ł- 3,8 0
łł
-1
adj[(B*) �" K * -2 �" I]= adj�ł =
�ł
0 0śł
�ł0 - 3,8śł �ł �ł
�ł
Z definicji wektora własnego otrzymujemy
�ł- 3,8
łł
w2 =
�ł śł
0
�ł �ł
co po unormowaniu przez największy co do wartości bezwzględnej wyraz wektora daje
1,0
�ł łł
w2 =
�ł śł
0
�ł �ł
Macierz własna
Macierz własna utworzona jest z wektorów własnych, które są jej kolumnami
0 1,0
�ł łł
W =
�ł1,0 0 śł
�ł �ł
Formy własne
Formy własne (por. rys. 14., 15.) są identyczne jak dla rozwiązania metodą sił. Nie zależą one
od metody obliczeniowej.
31
6*. Drgania wymuszone harmonicznie  rozwiązanie w bazie K
6.1*. Algebraiczne równania ruchu
Za pomocą metody przemieszczeń sformułowano macierzowe równanie ruchu postaci
&& &
B �" q + C �" q + K �" q = F
W przypadku drgań wymuszonych harmonicznie przewiduje się (zakłada się)
harmoniczną postać rozwiązania jako kombinację liniową składników sinusowych i
cosinusowych, czyli
q = qSsin(pt)+ qCcos(pt)
&&
Uwzględniając fakt, że w przypadku drgań harmonicznych q = -p2q oraz dokonując
rozkładu na składowe sinusowe i cosinusowe uzyskuje się algebraiczne równania ruchu
postaci
(K - p2 �" B)�" qS - p �" C �" qC = FS
p �" C �" qS + (K - p2 �" B)�" qC = FC
ł
Dla hipotezy Voigt a-Kelvin a C = �" K powyższy układ równań przybiera postać
p
(K - p2 �" B)�" qS - ł �" K �" qC = FS
ł �" K �" qS + (K - p2 �" B)�" qC = FC
Zadana częstość wymuszenia
EJ EJ
p = 0,95�1 = 0,95*0,4472 = 0,42484
ma3 ma3
6.2*. Układ równań algebraicznych (postać macierzowa)
�ł - p2 �" B) - ł �" K �ł łł FS
łł qS �ł łł
(K
�ł
ł �" K (K - p2 �" B)śł �" �łq śł = �łF śł
�ł C �ł
�ł �ł �ł C �ł
32
W niniejszym przykładzie poszczególne bloki macierzowe wynoszą
EJ
�"
�ł �ł
4.0�" 0
�ł
2
3 m 0
�ł �ł
EJ
�"
2 �ł0.42484 �ł
a
�ł �ł
K - B =
p - �" �"
�ł
�ł
2
�ł �ł
3
EJ 0 5�"m�"a
�"
�ł łł
ma
�"
�ł łł
0 1.0�"
�ł
a
�ł łł
EJ
�"
�ł �ł
3.81951097 0
�"
�ł
3
2
a
�ł �ł
K - B =
p
�ł �ł
EJ
�"
0 0.09755487
�"
�ł
a
�ł łł
EJ EJ
�" �"
�ł �ł �ł �ł
4.0�" 0 0.4�" 0
�ł �ł
3 3
a a
�ł �ł = �ł �ł
*K =
ł 0.1�"
�ł �ł �ł �ł
EJ EJ
�" �"
0 1.0�" 0 0.1�"
�ł �ł
a a
�ł łł �ł łł
F
�ł �ł
Fs =
�ł
0
�ł łł
0
�ł �ł
Fc =
�ł
2�"F�"a
�ł łł
Stąd macierz współczynników ma postać
EJ EJ
�" �"
�ł �ł
3.81951097 0 -0.4�" 0
�"
�ł
3 3
�ł �ł
a a
�ł �ł
EJ EJ
�" �"
�ł 0 0.09755487 0 -0.1�" �ł
�"
a a
�ł �ł
A =
�ł �ł
EJ EJ
�" �"
0.4�" 0 3.81951097 0
�"
�ł �ł
3 3
a a
�ł �ł
�ł �ł
EJ EJ
�" �"
0 0.1�" 0 0.09755487
�"
�ł
a a
�ł łł
Algebraiczne, macierzowe równanie ruchu ma postać
EJ EJ
�" �"
�ł �ł
3.81951097 0 -0.4�" 0
�"
�ł
3 3
�ł �ł
a a
�ł �ł
q1s F
E�"J E�"J
�ł �ł �ł �ł
�ł 0 0.09755487 0 -0.1�" �ł �ł �ł
�"
a a q2s 0
�ł �ł�"�ł �ł = �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
EJ EJ q1c 0
�" �"
0.4�" 0 3.81951097 0
�"
�ł �ł �ł �ł
3 3
q2c 2�"F�"a
�ł łł �ł łł
a a
�ł �ł
�ł �ł
EJ EJ
�" �"
0 0.1�" 0 0.09755487
�"
�ł
a a
�ł łł
33
Powyższy układ równań posiada niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy detA `" 0 ,
czyli A �" X = F �! X = A-1 �" F
- 1 3
�ł �ł
EJ EJ F�"a
�" �"
�ł �ł �ł
3.81951097 0 -0.4�" 0 0.25897
�" �"
�ł
�ł �ł
3 3 EJ
�"
�ł �ł
a a
�ł �ł
2
�ł �ł
q1s F
EJ EJ F�"a
�" �"
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł 0 0.09755487 0 -0.1�" �ł �ł 10.2475
�" �"
�ł
q2s a a 0 EJ
�"
�ł �ł = �ł �ł �ł �ł = �ł
�"
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
q1c EJ EJ 0 3
�" �"
�ł �ł
F�"a
0.4�" 0 3.81951097 0
�"
�ł �ł �ł �ł
-0.02712
�"
3 3
q2c 2�"F�"a
�ł �ł
�ł łł �ł łł
a a EJ
�"
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
EJ EJ 2
�" �"
�ł �ł
F�"a
0 0.1�" 0 0.09755487
�"
�ł
9.99694
�"
a a
�ł
�ł łł
EJ
�"
�ł łł
Zauważmy, że są to identyczne wyniki jak w przypadku rozwiązania za pomocą metody sił !!!
6.3*. Siły kinetyczne
Przy wykonywaniu obliczeń metodą przemieszczeń nie ma potrzeby wyznaczania sił
kinetycznych. Zostały one wyznaczone jedynie w celach dydaktycznych. W przypadku
hipotezy Voigt a-Kelvin a siły kinetyczne wyznaczamy z zależności
&
Q = K �"(q + � �" q)  wzór dla metody przemieszczeń
przy czym: q = qS sin(pt)+ qC cos(pt)
&
q = p �" qS cos(pt)- p �" qC sin(pt),
ł
� =
p
stąd poszczególne składowe wyznacza się ze wzorów
QS = K �"(qS - ł �" qC ) oraz QC = K �"(qC + ł �" qS)
3 3
�ł �ł �ł �ł
Fa F�"a
�"
�ł 0.25897�" �ł -0.02712
�"
EJ EJ
�" �"
�ł �ł �ł �ł
qs = qc =
�ł �ł �ł �ł
2 2
Fa F�"a
�"
�ł �ł
10.2475�" 9.99694
�"
EJ EJ
�" �"
�ł łł �ł łł
34
3 3
�ł�ł �ł �ł �łłł
EJ
�"
�ł �ł
F�"a F�"a
4.0�" 0
�ł �ł�ł 0.25897 �ł -0.02712 śł
�" �"
3
EJ EJ
�" �"
a
�ł �ł�"�ł�ł �ł �ł �łśł = �ł 1.0467�"F �ł
Qs = K(qs - qc) =
ł - 0.1�"
�ł
�ł �ł �ł�ł �ł �ł �łśł
2 2 9.2478�"F�"a
�ł łł
EJ
�"
F�"a F�"a
0 1.0�"
�ł �ł�ł �ł śł
10.2475 9.99694
�" �"
a
�ł łł
EJ EJ
�" �"
�ł�ł łł �ł łł�ł
3 3
�ł�ł �ł �ł �łłł
EJ
�"
�ł �ł
F�"a F�"a
4.0�" 0
�ł �ł�ł -0.02712�" �ł 0.25897�" śł
3
EJ EJ
�" �"
a
�ł �ł�"�ł�ł �ł �ł �łśł = �ł -0.0049�"F �ł
Qc = K(qc + qs) =
ł + 0.1�"
�ł
�ł �ł �ł�ł �ł �ł �łśł
2 2 11.0217F�"a
�"
�ł łł
EJ
�"
F�"a F�"a
0 1.0�"
�ł �ł�ł �ł śł
9.99694�" 10.2475�"
a
�ł łł
EJ EJ
�" �"
�ł�ł łł �ł łł�ł
6.4*. Nadliczbowa niewiadoma geometryczna
W przypadku metody przemieszczeń nadliczbowe przemieszczenia wyznacza się z zależności
x = -K-1 �" K �" q
xx xq
EJ EJ
�" �"
�ł �ł
Kxq = -0.1875�" 0.046875
Kxx =
0 �"
�ł
2 3
a a
�ł łł
3
�ł �ł
Fa
�"
�ł 0.25897
�"
- 1 3
EJ
�"
�" EJ �"
�"
�ł0.046875 EJ �ł �ł �ł�"�ł �ł = 41�" Fa
xs = - �" �" 0 -0.1875�"
�ł �ł
�ł �ł
3 2 2 EJ
�"
a a Fa
�"
�ł łł �ł łł
�ł
10.2475
�"
EJ
�"
�ł łł
3
�ł �ł
F�"a
�ł -0.02712
�"
- 1 3
EJ
�"
�" EJ �"
�"
�ł0.046875 EJ �ł �ł �ł�"�ł �ł = 39.98776 Fa
xc = - �" �" 0 -0.1875�" �"
�ł �ł
�ł �ł
3 2 2 EJ
�"
a a F�"a
�ł łł �ł łł
�ł
9.99694
�"
EJ
�"
�ł łł
6.5*. Poszerzone wektory przemieszczeń uogólnionych
�ł łł �ł łł
F0a3 F0a3
�ł0,25897 �" EJ śł �ł- 0,02712 �" EJ śł
�ł śł �ł śł
2 2
( (
F0a
�ł10,2475 �" F0a śł �ł śł
qS = , qC = 9,99694 �"
�ł śł �ł śł
EJ EJ
�ł �ł
F0a3 śł F0a3 śł
�ł 41�" śł �ł39,98776 �" śł
EJ EJ
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
35
6.6*. Momenty dynamiczne
Wartości momentów zginających wyznaczono z zasady superpozycji korzystając
przy tym z obliczeń z punktów 2.2*.  2.4*. Dla metody przemieszczeń w przypadku
hipotezy Voigt a-Kelvin a należy skorzystać ze wzorów
MS = M1(q1S  łq1C) + M2(q2S  łq2C) + M3(x3S  łx3C)
MC = M1(q1C + łq1S) + M2(q2C + łq2S) + M3(x3C + łx3S)
Rys. 29. Schemat wyjściowy metody przemieszczeń
q2
k"
C
A B
B
D
x3 q1
4a 4a 4a
Składowe sinusowe momentów zginających
M1 q1S q1C M2 q2S q2C M3 x3S x3C MS
[EJ/a2] [Fa3/EJ] [Fa3/EJ] [EJ/a] [Fa2/EJ] [Fa2/EJ] [EJ/a2] [Fa3/EJ] [Fa3/EJ] [Fa]
A 0,000 0,25897 -0,02712 0,500 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 4,624
B lewa 0,000 0,25897 -0,02712 -1,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 -9,248
B prawa 0,000 0,25897 -0,02712 0,750 10,2475 9,9969 -0,1875 41,0000 39,9878 0,00
C lewa 0,000 0,25897 -0,02712 0,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 0,00
C prawa 0,000 0,25897 -0,02712 0,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 0,00
D 0,000 0,25897 -0,02712 0,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 0,00
Składowe cosinusowe momentów zginających
M1 q1S q1C M2 q2S q2C M3 x3S x3C MC
[EJ/a2] [Fa3/EJ] [Fa3/EJ] [EJ/a] [Fa2/EJ] [Fa2/EJ] [EJ/a2] [Fa3/EJ] [Fa3/EJ] [Fa]
A 0,000 0,25897 -0,02712 0,500 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 5,511
B lewa 0,000 0,25897 -0,02712 -1,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 -11,022
B prawa 0,000 0,25897 -0,02712 0,750 10,2475 9,9969 -0,1875 41,0000 39,9878 0,000
C lewa 0,000 0,25897 -0,02712 0,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 0,000
C prawa 0,000 0,25897 -0,02712 0,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 0,000
D 0,000 0,25897 -0,02712 0,000 10,2475 9,9969 0,000 41,0000 39,9878 0,000
Pozostałe obliczenia są analogiczne jak w przypadku metody sił !
36