Układy równań liniowych
Układ m równań liniowych (tzn. 1-go stopnia) o n niewiadomych x1, x2 ,K, xn ma postać:
a11x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1
ż#
�#a x1 + a22 x2 + K + a2n xn = b2
�#
21
(*)
�#
K K K K
�#
�#am1x1 + am2 x2 + K + amn xn = bm
�#
gdzie m, n " N, aij , bij " R , 1 d" i d" m, 1 d" j d" n
Oznaczenia:
a11 a12 K a1n a11 a12 K a1n b1 b1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#a a22 K a2n Ą# ó#a a22 K a2n b2 Ą# ó#b Ą#
21 21 2
ó# Ą#, U = ó# Ą#, B = ó# Ą#
A = [aij ] =
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
M M M M M M M M M M
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
am2 K amn Ś# am2 K amn bm Ś#
Ł#am1 Ł#am1 Ł#bm Ś#
A  macierz główna
U  macierz uzupełniona
B  macierz (kolumnowa) wyrazów wolnych
Definicja
Rzędem macierzy o wymiarze m�n nazywamy:
- zero jeśli jest to macierz zerowa,
- liczbę równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera wyznaczników jeśli jest to macierz niezerowa.
Rząd macierzy A oznaczamy R(A).
Twierdzenie
Rząd macierzy nie ulega zmianie jeśli:
- kolumny (wiersze) pomnożymy przez liczbę różną od zera,
- przestawimy kolumny (wiersze),
- do jednej kolumny (wiersza) dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn (wierszy).
Zad. Oblicz rząd macierzy
2 3 5
a)
1 1 2
0
2 3 5
=0 2 3 2 3 1 0 R(A)=2
1 1 2
1 1
0
1 2 1 0
3 6 1 2
b) 3 1 0 1
2 4 1 2
4 1 0 0
5 10 0 0
1 0 1 0 R(A)=2
0 1
1
1 2 3
Ą# ń#
det A = 0 bo III - cia kolumna
ó#0 Ą#
c) A = 1 1
ó# Ą#
jest sumą I i II.
ó# Ą#
Ł#2 i 2 + iŚ#
1 2
= 1 `" 0 Dało się wybrać minor `" 0 stopnia 2 więc R(A) = 2.
0 1
1 2 3 6 1 2 3 0 1 2 0 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
R R
1 2
ó#3
d) A = -1 2 4Ą# =ó#3 -1 2 0Ą# =ó#3 -1 0 0Ą# = -7 `" 0 R(A) = 2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
3 1
ó# Ą# Ą#
Ł#4 1 5 10Ś# ó# 1 5 0 Ą# ó# 1 0 0Ś#
Ł#4 Ś# Ł#4
Dany jest układ równań:




&

(*)

&



&
&







A - macierz główna
U - macierz rozszerzona
Twierdzenie Kroneckera- Capellego

Podany układ (*) jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy gdy ,
przy czym:

1. jeśli , (n- liczna niewiadomych) to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,

2. jeśli , (n- liczna niewiadomych) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
zależnych od parametrów.

ł

ł ł ą

ł ń ą ń

ż id ó
2x
ż# - y + z = 2
�#x + y
Przykład 1 Sprawdz
czy układ - 3z = -1 ma rozwiązania.
�#
�#3x - 3y + 5z = 0
�#
2 ń# 2 ń#
Ą# -1 1 Ą# -1 1 2
ó#1 ó#1
A = 1 - 3Ą# C = 1 - 3 -1Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# - 3 5
Ą# ó# - 3 5 0
Ą#
Ł#3 Ś# Ł#3 Ś#
2 -1
det A = 10 - 9 - 3 - 3 -18 + 5 = 0 = 2 +1 = 3 `" 0 R(A) = 2
1 1
2
-1 1 2
R(C)? - 3 -1 = 10 -18 - 5 `" 0 R(C) = 3
1
- 3 5 0
R(A)`" R(C)�! układ sprzeczny.
2x
ż# - y = 3
�#x + 2y = -1
Przykład 2 Znajdz
( o ile istnieją) rozwiązania układu
�#
�#3x + y = 2
�#
2
Ą# -1 2
ń# Ą# -1 3
ń#
ó#1 Ą# ó#1
A = 2 C = 2 -1Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#3 1Ś# Ł#3 1 2Ś#
2 -1 3
2 -1
= 4 +1 = 5 R(A) = 2 1 2 -1 = 8 + 3 + 3 -18 + 2 + 2 = 0 R(C) = 2
1 2
3 1 2
R(A)=R(C)= ilości niewiadomych �! układ jednoznaczny
2x
ż# - y = 3
A = 5
�#x + 2y = -1
�#
3 - 1 2 3
W = = 6 -1 = 5 W = = -2 - 3 = -5
x Y
-1 2 1 -1
5 - 5
x = = 1 y = = -1
5 5
x + 2y
ż# - z = 1
�#2x
Przykład 3 Znajdz
( o ile istnieją) rozwiązania układu - y + 2z = 3
�#
�#3x + y + z = 4
�#
1 2
Ą# -1 1 2 -1 1
ń# Ą# ń#
ó#2 ó#2
A = -1 2Ą# C = -1 2 3Ą# rzędy macierzy są `"3 ponieważ IIIw=Iw+IIw
ó# Ą# ó# Ą#
ó#
Ł#3 1 1 Ą# ó# 1 1 4 Ą#
Ś# Ł#3 Ś#
1 2 ilośl niewiadomych
= -5 `" 0 R(A) = R(C) = 2 `" 3 -
2 -1 3 - 2 = 1 parametr z = a
x + 2y = 1+ a
ż#
�#2x - y = 3- 2a
�#
1 + a 2 1 1+ a
WX = = -1- a - 6 + 4a = 3a - 7 WY = = 3 - 2a - 2 - 2a = -4a + 1
3 - 2a -1 2 3 - 2a
3a
ż#x = - 7 3 7
el. Gaussa
= - a +
�#
- 5 5 5
�#
4a
ż#x + 2y = 1 + a x = 1 + a - 2 -1 7 - 3a
�# - 4a + 1 4 1
=
�#
= a -
�#y = �#
5 5
- 5 5 5
�#
�#
ę!
�#- 5y = 1 - 4a y = 4a -1
�#z = a
�#
�# 5
�#
�#
3
3x
ż# - 2 y + z = b
�#5x
Przykład 4 Dla jakich wartości parametrów a i b układ - 8y + 9z = 3 jest jednoznaczny, dla jakich
�#
�#2x + y + az = -1
�#
sprzeczny, a dla jakich niejednoznaczny.
3
Ą# - 2 1 3
ń# Ą# - 2 1 b
ń#
ó#5 ó#5 Ą#
A = - 8 9Ą# C = - 8 9 3
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#2 1 aŚ# Ł#2 1 a -1Ś#
det A = -14a - 42
det A `" 0 �! -14a - 42 `" 0 �! a `" -3
det A `" 0 R(A) = R(C) = 3 - liczba niewiadomych
10 a `" -3 układ oznaczony (jednoznaczny)
20 a = -3
- 2 1 b
- 8 9 3 = 15b - 5
1 - 3 -1
a
1
15b - 5 `" 0 �! b `" �! R(C) = 3 R(A) = 2
3
2a0 a = -3 b `" 1/3 układ sprzeczny
1
b = R(C) = 2 R(A) = 2
3
2b0 a = -3 b=1/3 układ nieoznaczony
rozwiązanie zależy od 3  2 = 1 parametru
ax + y = 1
ż#
�#3x
Przykład 5 Zbadaj rozwiązalność układu - y = 1 w zależności od parametru a
�#
�#x + y = a
�#
a 1 a 1 1
Ą# ń# Ą# ń#
ó#3 ó#3
A = -1Ą# C = -1 1Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#1 1Ś# Ł#1 1 aŚ#
2 2
C = -a + 1+ 3 +1 - a - 3a = -a - 4a + 5 = 0
" = 16 + 20 = 36 " = 6
4 - 6 4 + 6
a = = 1 a = = -5
1 2
- 2 - 2
10 a `" 1 '" a `" -5 C `" 0 R(C) = 3
R(C) `" R(A) sprzeczny
20 a = 1 (" a = -5 C = 0 R(C) `" 3
R(A) = 2 = R(C) = n �! układ jednoznaczny
4
Def.
Nasz układ nazywamy jednorodnym, jeżeli bi = 0 i = 1,...,m.
10 Układ jednorodny nigdy nie jest układem sprzecznym, bo dołączenie do macierzy kolumny z samych
zer nie zmienia jej rzędu.
20 Układ jednorodny, gdy jest układem Cramera R(A) = R(C) = n posiada jedynie rozwiązanie zerowe.
Gdy R(A) < n to ma również rozwiązanie niezerowe zależne od n  r parametrów.
Przykład
Dla jakiej wartości parametru a układ ma niezerowe rozwiązanie.
ax
ż# - y + z = 0 a -1 1
�#x + ay - z = 0
2 2
A = 1 a -1 = -a + 2 -1 - 2a - a -1 = a - 3a
�#
�#2x - y - z = 0
2 - 1 -1
�#
Aby układ jednorodny miął niezerowe rozwiązanie, musimy mieć det A = 0
Zatem
- a2 -3a = 0
- a(a + 3) = 0
a = 0 lub a = -3
Np. a = -3
ż#- 3x - y + z = 0
1 - 3
�#
x - 3y - z = 0 = -1+ 6 = 5
�#
2 -1
�#
2x - y - z = 0
�#
z - 3
w = = -z + 3z = 2z
z = z
ż# x
z -1
�#x - 3y = z
�#
1 z
�#2x - y = z
w = = z - 2z = -z
�#
y
2 z
2
ż#x = z
�#
2 1
5
�# z = 1 x = y = -
�# 1 5 5
przykładowe rozwiązania
�#y = - z
z = 5 x = 2 y = -1
5
�#
M
M
�#z = z
M
�#
�#
-6 1
spr. z + z + z = 0
5 5
2 3
z + z - z = 0
5 5
4 1
z + z - z = 0
5 5
5
Metoda macierzowa rozwiązywania układów równań
Układ
a11x1 + a12x2 + L + a1nxn = b1
ż#
�#
�#M
�#a x1 + an2x2 + L + annxn = bn
�# n1
można zapisać w postaci macierzowej
x b
Ą# ń# Ą# ń#
1 1
ó#M Ą# ó#M Ą#
, X = B =
ó# Ą# ó# Ą#
ó#x Ą# ó#b Ą#
n n
Ł# Ś# Ł# Ś#
mnożymy lewostronnie przez A-1
A-1AX = A-1B
JX = A-1B
X = A-1B
4x + 5z = 1
ż#
�#y
Przykład Znajdz
rozwiązanie układu - 6z = -4
�#
�#3x + 4z = 1
�#
4 0 5 x 1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 ó#yĄ# ó#
A = 1 - 6Ą# X = B = 4Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó#- Ą#
ó# ó# Ą# ó# Ą#
1Ś#
Ł#3 0 4 Ą# Ł#z Ś# Ł#
Ś#
det A = 1 `" 0
Można stosować metodę macierzową
AX = B
-1 -1
A AX = A B
-1
X = A B
Ą# 4 0 - 5
ń#
-1 ó# Ą#
A = 1 24
ó#-18 Ą#
ó# - 3 0 4
Ą#
Ł# Ś#
x 4 0 - 5 1 4 - 5
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą#- 1
ń#
ó# -1 ó# Ą# ó# ó# ó# Ą#
X = yĄ# = A B = 18 1 24 4Ą# = - 4 + 24Ą# = 2
ó# Ą# ó#- Ą# ó#- Ą# ó#-18 Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# - 3 0 4Ś# Ł# 1Ś# Ł# 3 + 4 1Ś#
Ą# ó# Ą# ó#-
Ą# ó# Ą#
Ł#z Ś# Ł# Ś# Ł#
x =
ż# -1
�#y = 2
Odp.
�#
�#z = 1
�#
6