Pole elektryczne na zewnątrz kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni ładunkiem powierzchniowym

SG

r

q

S

s

E

O

R

Q

q

2

2

=

= π

= π −

s

; S

4 R ; SG 4 r ia

powierzchn Gaussa S

Ponieważ wszędzie na powierzchni Gaussa jest E = const, zatem SG

2

Φ = Ed =

d

E S = E d S = ES =

⋅ π

G

E 4 r

∫ S ∫

∫

SG

SG

0

Φ

Q

= εε0

2

E ⋅ 4π

Q

r = εε

0

Zatem

2

Q

1

q S

1

q 4π

2

s

s

R

1

s

q R

E =

=

=

2

2

2

2

4πεε

=

0 r

4πεε0 r

4πεε0 r

εε0 r

Dla r = R

s

q

E = εε

0

Wnętrze kuli: E = 0 (brak ładunków) oraz ϕ( r) = const dla r ≤ R

dϕ

Q

1

E = −gradϕ = −

= 0 ⇒ ϕ =

= const

d r

4πεε

0 R

Zewnętrze kuli:

2

r ≥ R, S ≠ S (

oraz powierzchnia

G r) i S = 4π R

2

Gaussa S (

obejmuje całą kulę z ładunkiem G r) > S = 4π R

2

π

2

Q

1

s

q S

1

s

q 4 R

1

s

q R

E =

=

=

2

2

2

2

4πεε

=

0 r

4πεε0 r

4πεε0 r

εε0 r

Potencjał na zewnątrz kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni ładunkiem powierzchniowym q

2

2

s R

qs

1

qs

2

R

ϕ = − E d r = −

d r = −

R

d r =

+ C

∫

∫

2

εε

0

εε0

∫

r

r 2

εε0 r

Ponieważ dla r = ∞ ϕ = 0, zatem C = 0, bo 0 = 0 + C

Stąd

q

2

s R

Q

1

ϕ = εε

=

0 r

4πεε0 r

To samo, ale inaczej

r

r

r

q

2

s R

q

2

1

ϕ − ϕ∞ = −

= −

= −

=

r

E r

d

r

s

d

R

r

d

∫

∫εε

∫

0 r 2

εε0

r 2

∞

∞

∞

q

r

2

s

2

1

2 1

1

1

= −

R (− )

qs

=

R ( − ) qs R

Q

εε

=

=

0

r ∞

εε0

r

∞

εε0 r

4πεε0 r

Ponieważ potencjał w nieskończoności: ϕ∞ = 0 oraz ϕ = ϕ, zatem r

q

2

s R

ϕ = εε0 r

Dla r = R

q

2

s R

qs

Q

1

ϕ =

=

R

εε

=

0 R

εε0

4πεε0 R

E,

E

qs

R

0

r

Rozkłady natężenia pola i potencjału dla kuli naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową q s