Imi ¾
e i nazwisko, numer albumu: nr grupy:
1. Wykorzystuj ¾
ac de…nicj ¾
e granicy wyka·
z, ·
ze
3
4n
4
lim
=
:
n!+1 3n + 2
3
2. Wyznacz z de…nicji kresy zbioru pn + 1
B =
2
: n 2 N
3
3. Narysuj podany zbiór i odczytaj jego kresy f 4; 0; 1g [ [ 3; 1] [ [4; 5): 4. Niech f : R ! R b ¾
edzie dana wzorem:
8
<
9x2;
dla
x < 0
f (x) =
3;
dla
x = 0
:
: x + 9; dla x > 0
Sprawdź, czy funkcja jest bijekcj ¾
a i jeśli jest, to wyznacz f 1.
5. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f (x) = 4x 4x+1 .
4x
1
6. Zbadaj czy funkcja f : (0; 1) ! (0; 1) dana wzorem f(x) = 4x + 4 jest x
monotoniczna.
n4
e
7. Obliczyć lim
.
n !1 (n
1) (n3 + 13)
p
8. Obliczyć lim n 2n + 4n + 2 jarctg nj .
n !1
9. Korzystaj ¾
ac z twierdzenia o dwóch ci ¾
agach obliczyć granic ¾
e ci ¾
agu (an)n2N
określonego wzorem
8
< 1n; je·
zeli n
12;
an = : 2sinn2 5 n; je·zeli n > 12: 5n + 1 2n 1
10. Obliczyć lim
.
n !1
5n + 8
1
1. Podaj de…nicj ¾
e (z u·
zyciem symbolu ") kresu górnego niepustego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych..
2. Podać przyk÷
ad niepustego zbioru otwartego który nie jest przedzia÷
em
otwartym
3. Wyjaśnić na przyk÷
adzie znaczenie zwrotu "wyra·
zenie typu 1
1 jest
nieoznaczone"
4. Ocenić prawdziwość zdania: Za÷
ó·
zmy, ·
ze an jest ci ¾
agiem o wyrazach nieu-
p
jemnych ograniczonym: Wóczas n an ! 1: 5. Dane s ¾
a funkcje ci ¾
ag÷
e f; g : R ! R. Co wiadomo o ci ¾
ag÷
ości funkcji f + g?
6. Podać de…nicj ¾
e bijekcji. Podać przyk÷
ad funkcji, która jest bijekcj ¾
a i takiej,
która bijekcj ¾
a nie jest.
7. Dana jest funkcja ci ¾
ag÷
a f : R ! R o takiej w÷asności, ·
ze f ( 1) > 0 oraz
f (0) < 0. Czy równanie f (x) = 0 posiada rozwi ¾
azanie dla x 2 ( 1; 0)?
8. Jaki jest zwi ¾
azek ci ¾
ag÷
ości i jednostajnej ci ¾
ag÷
ości dla funkcji f : [a; b] ! R.
9. Podać de…nicj ¾
e ci ¾
agu niemalej ¾
acego. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie o zbie·
zności ci ¾
agu niemalej ¾
acego i ograniczonego.
10. Sformu÷
ować twierdzenie o zwi ¾
azku ci ¾
agu zbie·
znego z ci ¾
agiem Cauchy’ego
- podać szkic dowodu.
2