PRZYKAD ZADA, KTÓRE MOGA SIE POJAWI NA EGZAMINIE 5.07.2013
(1) Wyprowad¹ wzór na ogólne równanie pªaszczyzny.
(2) Wyprowad¹ wzór na równanie kierunkowe prostej.
(3) Napisz równanie dowolnej prostej przechodzacej przez punkt (1, 2, 3) i równanie dowolnej pªaszczyzny równolegªej do tej prostej.
(4) Czy trójkat o wierzchoªkach (1, 0, 1), (3, 1, 4), (2, 3, 3) jest prostokatny? Oblicz pole tego trójkata.
(5) Znajd¹ punkty przeciecia prostej x = y = z+1 z elipsoida x2 + y2 + z2 = 1.
2
4
2
4
(6) Oblicz, z denicji pochodnej czastkowej, f0 (x, y), gdy f(x, y) = x2 sin(y2 + 1).
x
(7) Oblicz, z denicji pochodnej czastkowej,
√
f 0 (x, y), gdy f (x, y) = x2 y.
y
(8) Podaj denicje minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych oraz przykªad funkcji f(x, y) majacej minimum.
(9) Podaj denicje maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Czy funkcja f(x, y) =
1 − px2 + y2 ma maksimum?
(10) Znajd¹ warto±¢ najwieksza i najmniejsza funkcji f(x, y) = 3x+2y przy warunku x2 +y2 =
13.
(11) Oblicz (1 − i)9.
√
(12) Stosujac wzór m = RR γ(x, y)dxdy oblicz mase obszaru D : x2 ≤ y ≤ x, gdy gesto±¢
D
γ(x, y) = xy.
(13) Naszkicuj bryªe B : x2 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ y. Oblicz jej mase, gdy gesto±¢ %(x, y, z) = y.
(14) Oblicz caªke krzywoliniowa zorientowana dowolnie wybranej pary funkcji po dowolnej krzy-wej.
(15) Oblicz caªke krzywoliniowa zorientowana dowolnie wybranej pary funkcji po dowolnej krzy-wej zamknietej stosujac wzór Greena.
(16) Podaj denicje caªki krzywoliniowej niezorientowanej.
(17) Oblicz caªke powierzchniowa zorientowana dowolnie wybranej trójki funkcji po dowolnej stronie dowolnie wybranej powierzchni.
(18) Oblicz caªke powierzchniowa zorientowana dowolnie wybranej trójki funkcji po dowolnej stronie brzegu dowolnej bryªy stosujac wzór Gaussa.
(19) Uzasadnij, »e po podstawieniu z = y do równania y0 = f y otrzymamy równanie o x
x
zmiennych rozdzielonych.
(20) Rozwia» równanie ró»niczkowe y(5) + y(3) = 2ex z warunkami poczatkowymi
y(0) = 1, y0(0) = 2, y00(0) = 1, y(3)(0) = 1, y(4)(0) = 1.
(21) Uzasadnij, »e je±li r1 oraz r2 sa rzeczywistymi rozwiazaniami równania ar2 + br + c = 0, to funkcja y = C1er1x + C2er2x jest rozwiazaniem równania ay00 + by0 + cy = 0.
(22) Rozwia» dowolnie wybrane równanie ró»niczkowe zupeªne z dowolnie wybranym warunkiem poczatkowym.
(23) Rozwia» dowolnie wybrane równanie ró»niczkowe liniowe z dowolnie wybranym warunkiem poczatkowym.
(24) Podaj przykªad szeregu zbie»nego. Znajd¹ jego sume.
(25) Zbadaj zbie»no±¢ dowolnie wybranego szeregu stosujac kryterium caªkowe.
(26) Rozwi« w szereg potegowy funkcje f(x) = ex oraz znajd¹ przedziaª zbie»no±ci uzyskanego szeregu.
(27) Rozwi« w szereg potegowy funkcje f(x) = ln(x + 1) oraz znajd¹ promie« zbie»no±ci uzyskanego szeregu.
(28) Caªkujac odpowiedni szereg potegowy wyraz po wyrazie oblicz R 1 e−x2dx.
0