Specyfika szeregów czasowych

Modele szeregów czasowych są alternatywą dla modeli o równaniach współzależnych; służą do opisu dynamiki kształtowania się zmiennych ekonomicznych. Dynamika ta w praktyce

mod

o el

e ow

o an

a ia

a ek

e o

k n

o om

o

et

e ry

r c

y z

c n

z eg

e o

o prz

r e

z j

e aw

a ia

a s

i

s ę

ę

pop

o rz

r e

z z

e :

z

konieczność rozważenia opóźnień w

badanych szeregach czasowych,

możliwość wystąpienia tzw. regresji

pozornej,

konieczność sprawdzenia własności

prognostycznych budowanych modeli.

Ekonometria 110010-0609

1

Definicje stacjonarności

proces stochastyczny {X } jest ściśle t

stacjonarny, jeśli dla każdego podzbioru indeksów (r, s, ..., t ∈ T) i dla każdej liczby całkowitej k, łączny rozkład zmiennych

los

o o

s w

o yc

y h

c {x

{ , x , ..., x

} jes

e t

s tak

a i

k sa

s m

a

, jak

a

k

r

s

t

łą

ł c

ą z

c n

z y

y ro

r z

o k

z ła

ł d

a zm

z

ien

e nyc

y h

c {x

{

, x

, ..., x

}

r+k

s+k

t+k

proces stochastyczny jest słabo stacjonarny, jeśli jego wartość oczekiwana i wariancja są skończone i stałe, a wartość kowariancji między obserwacjami z dwóch okresów zależy jedynie od odległości (odstępu) między tymi obserwacjami

Ekonometria 110010-0609

2

Skutki niestacjonarności

Konsekwencją niestacjonarności jest

regresja pozorna:

zawyżenie współczynnika determinacji: zb

z y

b t

y o

pt

p ym

y

i

m st

s yc

y z

c n

z e

n

e m

i

m ar

a y

y j

ak

a o

k śc

ś i

c

dopasowania,

zawyżenie wartości statystyk t-Studenta i obciążenie innych statystyk

wyznaczanych na podstawie odchyleń

standardowych oszacowań parametrów.

Ekonometria 110010-0609

3

Testowanie niestacjonarności

większość ekonomicznych szeregów czasowych jest niestacjonarna

formalnym sposobem testowania hipotezy o nies

e t

s ac

a j

c on

o ar

a n

r oś

o c

ś i

c sz

s e

z r

e e

r g

e u cz

c a

z s

a o

s w

o eg

e o

o jes

e t

s tes

e t

s

pierwiastka jednostkowego

najczęściej stosowanym testem tego typu jest test DF (Dickeya – Fullera)

inne testy stopnia integracji to test Phillipsa

– Perrona i KPSS (Kwiatkowskiego –

Phillipsa – Schmidta – Shina)

Ekonometria 110010-0609

4

Test DF

Model testowy:

∆y = α + δ y

+ ε

t

t-1

t

(większość pakietów ekonometrycznych daje wybór oszacowania modelu testowego z

wyr

y a

r z

a e

z m

e

w

ol

o nym

y

lub bez

e

z or

o a

r z

a

z z

z tre

r n

e dem

e

lub

bez

e )

z

H : δ = 0

szereg niestacjonarny (z

0

pierwiastkiem jednostkowym)

H : δ < 0

szereg stacjonarny

1

Ekonometria 110010-0609

5

Test DF: statystyka testowa

Statystyka testu pierwiastka jednostkowego obliczana jest jako iloraz wartości parametru i jego błędu standardowego:

δ

DF = Sδ

S

Do rozstrzygnięcia testu stosuje się tablice wartości krytycznych, najczęściej w wersji ADF

(ang. augmented Dickey-Fuller),

uwzględniającej autokorelację składnika losowego w modelu testowym.

Ekonometria 110010-0609

6

Test DF: stopień integracji

jeżeli obliczymy przyrosty niestacjonarnego szeregu czasowego y i otrzymamy stacjonarny t

szereg ∆y , gdzie ∆y = y – y , to wyjściowy t

t

t

t-1

szereg czasowy y jest zintegrowany w stopniu t

1

1 (

ma

a j

ed

e en

e p

ier

e w

r ias

a t

s ek

e

k jed

e nos

o t

s ko

k w

o y)

y

ogólnie, jeśli w celu otrzymania szeregu stacjonarnego trzeba obliczyć przyrosty szeregu y d razy, jest on zintegrowany w t

stopniu d: y ~ I(d)

Ekonometria 110010-0609

7

Integracja sezonowa

jeśli analizowany szereg czasowy podlega wahaniom sezonowym, obliczanie różnic

dotyczy obserwacji oddalonych o s

okresów, gdzie s jest długością cyklu (s = 4

dl

d a

a d

a

d n

a y

n c

y h

c

h kw

k ar

a tal

a ny

n c

y h

c ,

h s

= 1

2 d

l

d a

a d

a

d n

a y

n c

y h

c

h

miesięcznych itd.)

model testowy przyjmuje wtedy postać:

∆y = α + δ y + ε

t

t-s

t

oba rodzaje integracji – niesezonowa i sezonowa – mogą występować jednocześnie Ekonometria 110010-0609

8

Analiza dynamiczna

Analizę krótkookresowej dynamiki przeprowadza się często poprzez eliminację trendu, któremu podlegają badane zmienne. Stosuje się w tym celu dwie metody:

różnicowanie szeregu:

y*

* =

∆

y

∆ = y

– y

dl

d a

l

a d

a

d n

a ych

c r

o

r c

o z

c nych

c ,

t

t

t-1

y* = ∆4y = y – y

dla danych kwartalnych itd.,

t

t

t-4

„odtrendowienie” (de-trending), najczęściej za pomocą trendu liniowego:

y* = y – (a + a ⋅t).

0

1

Obie te procedury powodują jednak wyeliminowanie potencjalnie ważnej informacji o relacjach długookresowych.

Ekonometria 110010-0609

9

TSP vs. DSP

proces trendostacjonarny (TSP): stacjonarny po usunięciu trendu metodą regresji względem czasu

proces przyrostostacjonarny (DSP): stacjonarny po usunięciu trendu metodą różnicowania

Pr

P z

r y

z n

y ale

l ż

e n

ż oś

o ć

ś

ć mod

mo e

d l

e u

l do

d

o kl

k a

l sy

s

y TSP

S

P lu

l b

b DS

P

DS

P moż

mo n

ż a

testować:

∆y = α + δ y

+ β t + ε

t

t-1

t

odrzucenie H testu DF → TSP

0

brak podstaw do odrzucenia H → DSP, czyli I(1) 0

W praktyce większość ekonomicznych szeregów czasowych należy do klasy DSP (co oznacza, że skutki losowych zakłóceń są trwałe).

Ekonometria 110010-0609

10

Kointegracja: definicja

kointegracja szeregów czasowych występuje wtedy, gdy dwa lub więcej szeregi są

niestacjonarne i zintegrowane w tym samym stopniu, ale ich liniowa kombinacja jest st

s ac

a j

c on

o ar

a n

r a

równanie wiążące dwa szeregi czasowe

nazywane jest regresją lub relacją

kointegrującą, a parametr równania –

parametrem kointegrującym

w przypadku rozszerzenia modelu regresji na k skointegrowanych zmiennych objaśniających, powstanie k-elementowy wektor kointegrujący Ekonometria 110010-0609

11

Kointegracja a

równowaga długookresowa

występowanie relacji kointegrującej między dwoma (lub więcej) szeregami czasowymi

sugeruje obecność długookresowej relacji równowagi między tymi szeregami, czyli stanu, w którym nie występują tendencje do jego zmiany

w

w d

łu

ł gim o

kres

e i

s e

e m

ożna

a r

ozwa

w ż

a ać

a

ć ist

s nien

e ie

i

e

równowagi długookresowej, w której pewne grupy zmiennych wykazują podobne tendencje:

płace i ceny

konsumpcja i oszczędności

deficyt budżetowy i inflacja

ceny akcji i dywidendy

Ekonometria 110010-0609

12

Kointegracja a

równowaga długookresowa

między zmiennymi y i x zachodzi

długookresowa równowaga, jeśli szereg będący różnicą między rzeczywistymi obserwacjami a postulowaną równowagą (odchylenia od

długookresowej ścieżki) jest stacjonarny

najczęściej rozpatruje się przypadek, gdy zmienne zintegrowane są w stopniu 1 oraz istnieje taki wektor kointegrujący, dla których kombinacja liniowa tych zmiennych jest

zintegrowana w stopniu 0 (stacjonarna)

Ekonometria 110010-0609

13

Kointegracja: interpretacja

Jeśli Y i X są procesami I(1), a

ε = Y – β – β ⋅X

t

t

0

1

t

jest procesem I(0), to zmienne X i Y są skointegrowane („na tej samej długości fali”), cz

c y

z l

y i:

standardowa interpretacja modelu pozostaje aktualna,

znika problem regresji pozornej,

wynik ten interpretuje się jako

występowanie długookresowej równowagi

między zmiennymi X i Y.

Ekonometria 110010-0609

14

Najprostsze testy kointegracji

test niestacjonarności reszt „potencjalnej”

regresji kointegrującej

Y = β + β ⋅X + ε

t

0

1

t

t

(metoda Engle’a – Grangera)

statystyka CRDW (ang. Cointegrating

Regression Durbin – Watson): hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym w resztach jest odrzucana, jeśli

CRDW jest większa niż wartość krytyczna, wynosząca ok. 0,5

CRDW jest większa od współczynnika determinacji R2

Ekonometria 110010-0609

15

Metody ustalania relacji

kointegrującej (kointegrujących)

dwustopniowa metoda Engle’a – Grangera

trzystopniowa metoda Engle’a - Yoo

metoda Johansena

Ekonometria 110010-0609

16

Metoda Engle’a – Grangera

Zaleta: prostota zastosowania

Wady:

1. niska moc testów pierwiastka

jednostkowego w małych próbach,

2. obc

b i

c ąż

ą e

ż n

e i

n e

e w

yn

y i

n ka

k j

a ąc

ą e

c

e z

z a

s

a y

s m

y

e

m t

e ryc

y z

c n

z e

n g

e o

g

traktowania zmiennych (objaśniana /

objaśniające), nawet wobec braku podstaw teoretycznych dla takiej decyzji,

3. brak możliwości weryfikacji hipotez na temat relacji kointegrującej.

Ekonometria 110010-0609

17

Metoda Johansena

stosowana dla układów równań VAR

pozwala uniknąć problemów nr 2 i 3

związanych z metodą Engle’a – Grangera

po

p zw

z al

a a

a w

yz

y n

z a

n c

a z

c y

z ć

y

ć w

ięc

ę e

c j

e n

i

n ż

ż j

ed

e e

d n

e

n wek

e t

k or

kointegrujący: jeśli bowiem relacja

kointegrująca obejmuje k zmiennych,

liniowych relacji kointegrujących może być r, gdzie r ≤ k – 1

Ekonometria 110010-0609

18

Podsumowanie: zalety i wady

Zaleta: potwierdzona w badaniach empirycznych zdolność do tworzenia modeli o dobrych

własnościach prognostycznych (przynajmniej w krótkim okresie)

Wady

d :

y

stosowanie hipotez teoretycznych (nie popartych empirycznie) w celu ustalenia długookresowych restrykcji równowagi

trudności z analizą empiryczną w bardziej zaawansowanych zastosowaniach: wartości krytyczne i własności testów w małych próbach nie są zbadane

Ekonometria 110010-0609

19

Co dalej po oszacowaniu relacji

kointegrującej?

jeśli nie ma podstaw do odrzucenia

hipotezy zerowej o niestacjonarności reszt, to nie udało nam się ustalić relacji

długookresowej równowagi; konieczne jest szacowanie modeli na przyrostach

zm

z

i

m en

e n

n y

n c

y h

c

jeśli są podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej, to znaleźliśmy stacjonarną

kombinację niestacjonarnych zmiennych;

zmienne nazywamy skointegrowanymi, a

odpowiednią strategią modelowania jest model korekty błędem (c.d.n. :)

Ekonometria 110010-0609

20

Dygresja: kointegracja sezonowa

idea kointegracji sezonowej: zamiast

eliminować wahania sezonowe z y oraz x, a następnie analizować „odsezonowane”

da

d n

a e

n ,

e b

a

b d

a a

d m

a

y

m

y zw

z iąz

ą e

z k

e

k m

i

m ęd

ę z

d y

z

y

odchyleniami sezonowymi y i x

na przykład w przypadku danych o

częstotliwości miesięcznej rozpatrujemy kointegrację szeregu (y – y

) i szeregu

t

t-12

(x – x

)

t

t-12

Ekonometria 110010-0609

21

Dekompozycja szeregu czasowego

W szeregu czasowym można na ogół wyróżnić następujące składowe:

przeciętny poziom (M)

dłu

ł goo

o kr

k e

r s

e ow

o y

y tre

r n

e d (T)

T

wahania sezonowe (S)

wahania cykliczne (C)

zmiany nieregularne (I)

y = M + T + S + C + I

t

Ekonometria 110010-0609

22

Modele dynamiczne

modele trendu

model z rozkładem opóźnień DL(k):

y = α + β x + β x

+ ... + β x

+ ε

t

0

t

1

t-1

k

t-k

t

mod

o el

e a

u

a tor

o e

r g

e re

r s

e j

s i AR(

R p

( ):

y = α + α y

+... + α y

+ ε

t

0

1

t-1

p

t-p

t

autoregresyjny model z rozkładem opóźnień ADL(p, k):

y = α + α y

+ α y

+ ... + α y

+

t

0

1

t-1

2

t-2

m

t-m

β x + β x

+ β x

+ ... + β x

+ ε

0

t

1

t-1

2

t-2

k

t-k

t

Ekonometria 110010-0609

23

Przyczyny występowania opóźnień

psychologiczne: oczekiwania podmiotów gospodarczych, przyzwyczajenia

konsumentów, inercja instytucji

państwowych

tec

e h

c n

h o

n logi

g cz

c n

z e

n :

e

: k

o

k sz

s t

z y

y d

o

d st

s oso

s wań

a

ń w

przedsiębiorstwach

instytucjonalno-prawne: zobowiązania, kontrakty, lokaty terminowe

Ekonometria 110010-0609

24

Przykładowe modele

na bazie ADL(2,2)

α = α = β = β = 0

regresja statyczna

1

2

1

2

β = β = β = 0

AR(2)

0

1

2

α = β = 0

równanie z wiodącym

1

β = 0

równanie z wiodący

1

0

wskaźnikiem

α = 1, α = 0,

równanie względem

1

2

β = –β

pierwszych przyrostów

0

1

β = 0

model „martwego startu”

0

β = –α

model proporcjonalnych

1

1

reakcji

Ekonometria 110010-0609

25

ARMA(p,q)

model AR(p):

y =

+ φ1 −1 + φ2 − + ...

2

+ φ

− + ε

t

c

yt

yt

p y t p

t

model MA(q):

yt = + θ0ε t + θ ε

1 t −1 + ...

1

θ qε

t

d

t

t −

+ q t− q , θ

= 1

0

model ARMA(p,q):

y = µ + φ1

1 + ... + φ

+ θ0ε +θ ε

1

1 + ...

θ ε

t

yt −

+

p yt − p

t

t −

q t − q

Uwaga: jeśli szereg y jest niestacjonarny, należy zastosować model ARIMA(p,d,q), gdzie d jest stopniem zintegrowania szeregu czasowego y Ekonometria 110010-0609

26

ARMA/ARIMA: estymacja

estymacja parametrów AR i MA oddzielnie jest prosta; estymacja łącznego modelu ARMA

wymaga sporego doświadczenia

re

r g

e uła

ł

a kc

k i

c uka

k :

a wyb

y ier

e z

r

z naj

a lep

e sz

s y

z

y (pod

o ką

k t

ą em

e

jakości statystycznej) model ze wszystkich par (p,q) dla p, q = 0, 1, 2

ARIMA rozszerzona o parametry sezonowe: SARIMA

w pakietach dostępne filtry sezonowości; nie powinny być stosowane automatycznie!

Ekonometria 110010-0609

27

Transformacja Koycka

Załóżmy, że w modelu z nieskończonym

rozkładem opóźnień

y = α + β x + β x

+ β x

+ ... + ε

t

0

t

1

t-1

2

t-2

t

wszystkie parametry β są tego samego

k

zn

z ak

a u

k i mal

a ej

e ą

ą g

eo

e m

o

et

e ry

r c

y z

c n

z ie,

e tzn

z . “st

s ar

a s

r z

s e

z ”

e

wartości opóźnień wywierają mniejszy efekt na zmienną y niż “młodsze”

t

kolejne β związane są następującą

k

zależnością:

β = β λk k = 0, 1, 2, ...

< λ < 1

k

0

Ekonometria 110010-0609

28

Transformacja Koycka

Po prostych przekształceniach otrzymujemy tzw. model Koycka [ADL(1,0)]:

y = γ + β x + λ y

+ ν ,

t

0

t

t-1

t

gdzie γ = α (1 - λ) oraz ν = ε - λ ε

t

t

t-1

par

a a

r m

a

et

e r

r λ

naz

a y

z w

y an

a y

y jes

e t

s st

s op

o ą

ą za

z n

a iku

k

rozkładu opóźnień

mnożnik krótkookresowy: β0

mnożnik długookresowy β jest sumą

nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie β i ilorazie λ:

0

β = β

1

0 1− λ

Ekonometria 110010-0609

29

Transformacja Koycka

idea: przekształcenie modelu z nieskończonym rozkładem opóźnień w model autoregresyjny

zalety:

uniknięcie problemu estymacji nieskończenie wielu parametrów β (w modelu Koycka

k

sz

s a

z co

c w

o ane

e są

s ty

t l

y k

l o

k

o tr

t z

r y

z

y pa

p ra

r met

me r

t y

r :

y

: δ , β i λ)

0

β i

0

λ

brak współliniowości typowej dla modeli z nieskończonym rozkładem opóźnień

wady:

autokorelacja składnika losowego (rozwiązanie: estymacja MZI lub MNW)

przekształcenie czysto algebraiczne, nie odwołujące się do teorii ekonomii

Ekonometria 110010-0609

30

Przykład:

model z rozkładem opóźnień

)

t

W = 3

,

0 23 + 0

,

0 17 Rt + 0

,

0 10 Rt − + 0

,

0 06 Rt − + ...

1

2

W – wydajność pracy w przemyśle (produkcja t sprzedana w cenach bieżących na 1

za

z t

a ru

r dnion

o eg

e o)

o

R – nakłady na działalność badawczą i rozwojową t (tys. zł, ceny bieżące).

Estymacji podlega model Koycka postaci:

)

t

W = 1

,

0 34 + 0

,

0 17 Rt + 5

,

0 85 Wt 1

−

Mnożnik krótko- i długookresowy są równe, odpowiednio, 0,017 i 0,041.

Ekonometria 110010-0609

31

Dygresja:

przyczynowość w sensie Grangera

zmienna x jest przyczyną (w sensie

Grangera) dla y, jeśli x pomaga w

prognozowaniu y

ide

d a

e

a p

r

p zy

z c

y z

c y

z n

y o

n wośc

ś i

c w

s

e

s n

e s

n i

s e

e G

r

G an

a g

n e

g r

e a

a ni

n e

e

jest identyczna z potocznym znaczeniem

tego terminu: nie oznacza, że y jest

skutkiem czy efektem działania x!

termin „przyczynowość w sensie Grangera”

należy rozumieć jako „poprzedzanie”

Ekonometria 110010-0609

32

Przyczynowość w sensie Grangera

zmienna x nie jest przyczyną zmiennej y w t

t

sensie Grangera, jeśli w równaniu regresji y względem opóźnionych wartości y oraz x, t

współczynniki przy zmiennych x są równe ze

z r

e o:

k

k

y = ∑α y

β

− + ∑

x − + u

t

i

t i

i

t i

t

i=1

i=1

jeśli zatem β = 0 (i = 1, 2, …, k), to x nie i

t

jest przyczyną yt

Ekonometria 110010-0609

33

Przyczynowość a egzogeniczność

zmienna egzogeniczna definiowana jest jako zewnętrzna w stosunku do modelu (nie wyjaśniana przez model)

zm

z

i

m en

e n

n e

n

e e

g

e z

g o

z ge

g n

e i

n cz

c n

z e

n

e k

l

k as

a y

s f

y i

f ko

k wan

a e

n

e s

ą

s

ą

jako słabo egzogeniczne,

superegzogeniczne i silnie egzogeniczne

brak przyczynowości w sensie Grangera jest koniecznym warunkiem silnej

egzogeniczności zgodnie z powyższą

klasyfikacją

Ekonometria 110010-0609

34

Dygresja:

klasyfikacja zmiennych

mierzalne i niemierzalne

bieżące i opóźnione

objaśniane i objaśniające

w mo

d

mo e

d l

e a

l ch

c wie

i l

e o

l r

o ó

r w

ó nanio

i w

o yc

y h

c zb

z i

b o

i r

o y

r

y te

t

e nie

i

e

muszą być rozłączne!

endogeniczne i egzogeniczne

zawsze zbiory rozłączne

klasyfikacja bardzo ważna z punktu widzenia identyfikacji i estymacji modeli

wielorównaniowych

Ekonometria 110010-0609

35

Dygresja:

klasyfikacja zmiennych

bieżące

opóźnione

endogeniczne

zmienne

en

e d

n o

d ge

g n

e i

n cz

c n

z e

n

nieopóźnione

egzogeniczne

zmienne z

góry ustalone

Ekonometria 110010-0609

36

Model częściowych dostosowań

załóżmy, że przedsiębiorstwo spodziewa się zmiany popytu na swoje produkty, a

oczekiwania te prowadzą do konieczności dostosowania mocy produkcyjnych y ;

t

natychmiastowe osiągnięcie docelowego

poz

o i

z om

o

u y d

y

jes

e t

s jed

e nak

a

k n

iem

e

oż

o l

ż iwe

t

model częściowych dostosowań zakłada, że rzeczywista zmiana jest tylko ułamkiem

koniecznej, czyli

y – y

= δ (y d – y

), gdzie 0 < δ < 1

t

t-1

t

t-1

parametr δ jest bliski 1, jeśli koszt pozostawania w nierównowadze jest znacznie większy niż koszt dostosowania; w przeciwnym przypadku jest bliski 0

Ekonometria 110010-0609

37

Model częściowych dostosowań

Zalety:

prosty model uwzględniający stopniowe dostosowania do poziomów docelowych

możliwe modyfikacje, np. zdefiniowanie par

a a

r m

a

et

e ru

r c

z

c ę

z ś

ę c

ś i

c ow

o yc

y h

c dos

o t

s os

o o

s w

o ań

a δ jak

a o

k

o

funkcji zmiennych objaśniających uważanych za ważne dla kształtowania się tempa

dostosowań (np. stóp procentowych)

Wady:

arbitralny charakter

trudności z zastosowaniami empirycznymi Ekonometria 110010-0609

38

ECM jako uogólnienie MCD

Model korekty błędem (ECM):

y – y

= δ (y d – y

d) + γ (y d– y ),

t

t-1

t

t-1

t-1

t-1

zmiana poziomu

nierównowaga

do

d c

o e

c l

e o

l w

o eg

e o

g

w p

o

p p

o r

p z

r e

z d

e n

d im

i

ok

o r

k e

r s

e i

s e

i

gdzie 0 < δ < 1 i 0 < γ < 1. Dla δ = γ

otrzymujemy model częściowych dostosowań.

Stosowanie ECM nazywane jest „modelowaniem nierównowagi”, gdyż model ten uwzględnia nierównowagę w poprzednich okresach.

Ekonometria 110010-0609

39

ECM: estymacja

estymatory MNK modelu ECM są zgodne

należy jednak stosować metodę zmiennych ins

n t

s rum

u

e

m n

e t

n al

a ny

n c

y h

c

h (

np

n .

p trak

a t

k uj

u ąc

ą

c z

m

z

i

m en

e n

n ą

n

ą

x

jako instrument dla y

), ponieważ

t-2

t-1

składnik losowy modelu ECM jest

skorelowany z yt-1

Ekonometria 110010-0609

40

ECM w modelowaniu nierównowagi

teoria kointegracji ukierunkowana jest na połączenie dynamiki krótkookresowej z

równowagą długookresową

między szeregami skointegrowanymi można podejr

e zew

e a

w ć

a

ć dłu

ł gookres

e o

s wą

w

ą równ

w owa

w g

a ę,

ę w

w

krótkim okresie może jednak wystąpić

nierównowaga

składnik losowy w równaniu kointegrującym można uznać za „błąd równowagi” i wykorzystać go w celu powiązania krótkookresowego

zachowania zmiennej z jej wartością

długookresową (czyli modelowania odchyleń od długookresowego trendu)

Ekonometria 110010-0609

41

Twierdzenie Grangera

Każdy skointegrowany zestaw zmiennych

można przedstawić w postaci modelu

korekty błędem.

I odwrotnie: jeśli szeregi czasowe są

zintegrowane w tym samym stopniu i mogą być przedstawione w postaci modelu ECM, to są skointegrowane.

Ekonometria 110010-0609

42

ECM w modelowaniu nierównowagi

najprostszy model ECM stosowany w modelowaniu nierównowagi ma postać

∆Y = α + α ⋅∆X + α ⋅(Y

– β – β ⋅X ) + ξ

t

0

1

t

2

t-1

0

1

t-1

t

czyli

∆Y = α + α ⋅∆X + α ⋅e

+ ξ

t

α +

0

α1⋅∆X +

t

α2⋅e +

t-1

t

0

1

t

2

t-

t

bieżący przyrost Y objaśniany jest za pomocą przyrostu X (czyli krótkookresowych wahań X) oraz składnika korekty błędem (błędu równowagi w poprzednim okresie), odzwierciedlanego

dostosowania do długookresowej równowagi

tempo tego dostosowania jest wyznaczane przez parametr α , nazywany parametrem dostosowania 2

Ekonometria 110010-0609

43