dr Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2013/2014
GRANICE FUNKCJI
Zad.1. Uzupełnij i zinterpretuj graficznie 1.1. lim f ( x) 5
x
1.2. lim f ( x)
x3
lim f ( x) 4
1.3. x2
lim f ( x)
x2
1.4. lim f ( x)
x
1.5. lim f ( x)
x
1
Zad.2. Wyjaśnij, że nie istnieją następujące granice, w przykładach 2.2, 2.3, 2.4 zrób rysunek 1
2.1. lim cos
x0
x
1
2.2. lim
x 5
x 5
x 2
2.3. lim
x 2
x 2
2.4. lim E( x) gdzie E(x) część całkowita (entier) liczby rzeczywistej czyli x4
E : R R
E( x) n gdy n x n 1 n Z
Zad.3. Wyjaśnij związki pomiędzy granicami ln 1
( x)
e x 1
3.1. lim
oraz lim
x
0
x
x0
x
sin x
arcsin x
3.2. lim
oraz lim
x
0
x
x
0
x
tg x
arctg x
3.3. lim
oraz lim
x0
x
x
0
x
Zad.4. Oblicz
sin 5 x
4.1. lim
x
0
sin 9 x
2
x 3 x 2
4.2. lim
2
x
2
x 4
3 2
x 5 x 2
4.3. lim
x 2
4 2
x 9 x 2
sin(2 x )
6
4.4. lim
x sin( 2
3
x 5 x )
6
e x 1
4.5. lim
x0 sin 2 x
ex 1
4.6. lim
x0 sin 3 x
4.7. lim
x
0
arcsin 2 x
x
5 1
4.8. lim
x0
x
x
x
3 2
4.9. lim
x0
x
arctg x
4.10. lim
x
0
tg x
sh x
4.11. lim
x0
sh x
Zad.5. Wyznacz granice jednostronne następujących funkcji w podanych punktach i rozstrzygnij czy istnieją granice w tych punktach 1
5.1. f ( x)
,
x 2
x 2
0
( x )
3 2
5.2. f ( x)
,
x 3
x 3
0
2
x
dla
x 1
5.3. f ( x) 3
dla
x 1
,
x 1
0
2 2
x
dla
x 1
1
5.4. f ( x) arcctg
,
x 0
0
x
1
5.5. f ( x) arctg
,
x 1
1
0
x
1
5.6. f ( x) e x
,
x 0
0
1
x arctg
dla
x 0
5.7. f ( x)
,
x 0
x
dla
x
2
0
0
2 x x
Zad.6. Wyznacz (o ile istnieją) następujące granice: 1
sin x
3 x 4 x 3 2
6.1. lim x ctg x , lim x sin
, lim
, lim
sin 2 x
x
0
x
x
x
x
x
2 x 5 1
1 cos x
6.2. lim
(wskazówka – pomnóż licznik i mianownik przez 1 cos x ) x
0
x
1 cos x
6.3. lim
2
x0
3
x
3
h 8
6.4. lim
4
h 2
h 16
3
t 8
6.5. lim
2
t2 t 4
t 2 81
6.6. lim
t9 3 t
2 20
6.7. lim
x0
5 x
ln 1
( x) log(110 x) 6.8. lim
x
0
x
6.9. lim ln(2 x ) 1 ln( x )
2
x
6.10. lim
x ln( x )
1 ln x
x
ln(cos x)
6.11. lim
2
x
0
x
ln(cos x)
6.12. lim
x
0
x
6.13. lim th x , lim th x , lim th x x
0
x
x
arcsin( x )
2
6.14. lim
x
x 2
2
2 x
x arctg x
6.15. lim
x
0
arcsin x
4
1
2 x
x
3
6.16. lim
x 2 x 1
Zad.7. Które z funkcji z zadania 5 są ciągłe w punkcie x0 a które są ciągłe ?
Zad.8. Dobierz o ile to możliwe stałe a, c tak, by funkcja f była ciągła.
2
cx 3 dla
x 2
8.1. f ( x)
cx 2 dla x 2
arctg x
dla
x 1
8.2. f ( x) 1
x c dla x
1
2
ln( x )
1
dla
,1 0
x
8.3. f ( x)
a
dla
0
3 x 1
dla
,0
x
1
dla
x 0
arctg
8.4. f ( x)
x
dla
x
0
c
1
2 e x dla x 0
8.5. f ( x) c dla
x 0
sin cx
dla
x 0
x
Zad. 9. Znajdź wszystkie asymptoty 9.1. f ( x) arctg x 3 x x
9.2. f ( x) arcctg
2 x
2
x
9.3. f ( x)
2
x 1
4
x
9.4. f ( x)
3
1
( x)
1
9.5.
2 1
f ( x)
x
e
Zad.10. Zilustruj własność Darboux dla funkcji f na przedziale [a,b]. Dla w leżącego między f(a) i f(b) znajdź istniejące .
10.1. f ( x) 3
x 1, [ ,
1 2] ,
w 2
10.2. f ( x) 2
x x , [ , 1 3] ,
w 1
Zad.11. Wykorzystując wniosek z własności Darboux udowodnij, że równanie 5
x 3 4
x 2 3
x x 1 0 ma rozwiązanie pomiędzy 0 i 1
Zad.12. Naszkicuj wykresy i zbadaj ciągłość 1
12.1. f ( x) lim
,
x 0
1 xn
n
12.2.
2
2
f ( x) lim x
0
12.3. f ( x) lim arctg nx n
12.4. f ( x) lim n 1 xn , x 0
n