Funkcj¦ f(x) nazywamy funkcj¡ ci¡gª¡ w punkcie x

0

∈ D

f

, gdy istnieje granica lim

x→x

0

f (x)

i jest ona

równa warto±ci fukcji w tym punkcie: lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

)

.

Suma, iloczyn i iloraz dwóch funkcji ci¡gªych w punkcie x

0

jest funkcj¡ ci¡gª¡ w tym punkcie.

Je±li funkcja jest ci¡gªa dla wszystkich punktów nale»¡cych do pewnego przedziaªu mówimy, »e funkcja
jest ci¡gªa w tym przedziale.
Funkcje ci¡gªe w swych dziedzinach: wielomiany, funkcje pot¦gowe, wykªadnicze, logarytmiczne, try-
gonometryczne, cyklometryczne.
Zadanie 4.

a. f(x) =







x

2

−25

x+5

x 6= −5

−10

x = −5

Rozwa»ana funkcja, jako zªo»enie funkcji ci¡gªych, jest funkcj¡ ci¡gª¡ dla ka»dego x 6= −5. Punkt w
którym mo»e by¢ nieci¡gªa to x = −5, aby to sprawdzi¢ nale»y znale¹¢ granic¦ lim

x→−5

f (x)

:

lim

x→−5

f (x) = lim

x→−5

x

2

− 25

x + 5

= lim

x→−5

(x − 5)(x + 5)

x + 5

= lim

x→−5

(x − 5) = −10 = f (−5)

Granica dla x = −5 istnieje i jest równa warto±ci funkcji dla x = −5 zatem funkcja jest ci¡gªa
tak»e i w tym punkcie.

b. f(x) =







x−2

x

2

−4

x 6= −2 x 6= 2

1

x = −2 x = 2

lim

x→−2

f (x) = lim

x→−2

x − 2

x

2

− 4

= lim

x→−2

x − 2

(x − 2)(x + 2)

= lim

x→−2

1

x + 2

Granice jednostronne:

lim

x→−2

−

1

x + 2

=



1

0

−



= −∞

lim

x→−2

+

1

x + 2

=



1

0

+



= ∞

Otrzymujemy granice niewªa±ciwe, zatem w tym punkcie funkcja nie mo»e by¢ funkcj¡ ciagª¡.

lim

x→2

f (x) = lim

x→2

x − 2

x

2

− 4

= lim

x→2

x − 2

(x − 2)(x + 2)

= lim

x→2

1

x + 2

=

1

4

6= f (2) = 1

Granica dla x = 2 istnieje, ale jest ró»na od warto±ci funkcji (f(2) = 1), zatem funkcja jest nieci¡gªa
w tym punkcie.

c. f(x) =






x

x − 3






=







−x

x−3

x

x−3

< 0

x

x−3

x

x−3

­ 0

=







−x

x−3

x ∈ (0, 3)

x

x−3

x ∈ (−∞, 0i ∪ (3, +∞)

Funkcja mo»e byc nieci¡gªa dla x = 0 i w tym punkcie nale»y policzy¢ granic¦. Poniewa» w za-
le»no±ci od tego z której strony argumenty zbli»aj¡ si¦ do zera, funkcja przybiera ró»ne postaci
nale»y wyznaczy¢ granice jednostronne.

d. f(x) =







x

2

−x

|1−x|

x 6= 1

1

x = 1

1