GRANICE I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Udowodnić, że podana granica nie istnieje lim
x→0
1
x
3
.
2. Dana jest funkcja f (x) =
sin 2x
x
,
x ∈ (−
π
2
, 0),
2x
|x|
,
x ∈ (0,
π
2
)
. Oblicz granice tej funkcji w punkcie x
0
= 0.
3. Dowieść, że jeżeli n, m ∈ N oraz a
m
, b
n
6= 0 to
lim
x→∞
a
m
x
m
+ a
m−1
x
m−1
+ ... + a
1
x + a
0
b
n
x
n
+ b
n−1
x
n−1
+ ... + b
1
x + b
0
=
+∞,
m > n, a
m
· b
n
> 0,
−∞,
m > n, a
m
· b
n
< 0,
a
m
b
n
n = m,
0
m < n,
4. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:
1) lim
x→1
2
1
1−x3
,
2) lim
x→2
x
2
− 4
|x − 2|
,
3) lim
x→0
sin x
|x|
,
4) lim
x→3
x
3
− 3
(x − 3)
2
,
5) lim
x→3
x
3
− 3
(x − 3)
3
,
6) lim
x→1
x + 1
x − 1
,
7) lim
x→1
x
2
− 3x + 2
(x − 1)
2
.
5. Obliczyć podane granice
1) lim
x→∞
√
1 + x + 2
√
1 + x
2
,
2)
lim
x→−∞
√
x
2
+ 1
x
,
3)
lim
x→−∞
p
x
2
+ 1 + x
,
4)
lim
x→−1
x
3
− 2x − 1
x
5
− 2x − 1
,
5) lim
x→0
√
1 − 2x − x
2
− (1 + x)
x
,
6) lim
x→∞
x
2
− x + 4
√
x
3
+ 2
,
7) lim
x→4
x
2
− 6x + 8
x
2
− 5x + 4
,
8) lim
x→5
3
√
x − 4 − 1
x − 5
,
9) lim
x→∞
(
p
x
2
+ x − 6 − x),
10) lim
x→0
5x
3 sin 2x
,
11) lim
x→0
sin 5x
sin 3x
,
12) lim
x→
π
2
cos x
π − 2x
,
13)
lim
x→0
−
tg 3x
x
3
,
14) lim
x→∞
tg
1
x
tg
2
x
,
15) lim
x→0
sin 6x
tg 2x
,
16) lim
x→0
sin
2
3x
x
2
,
17) lim
x→0
1 − cos x
x
2
,
18) lim
x→∞
2
x
+ 3
x
3
x
+ 1
,
19) lim
x→∞
2 · 5
x
− 2
x
3
x
− 4 · 5
x
,
20) lim
x→0
(1 + x)
1
5x
,
21) lim
x→0
+
x
√
1 + sin x,
22) lim
x→∞
3x + 5
3x + 7
x+1
,
23) lim
x→2
+
(x − 1)
1
x−2
,
24) lim
x→∞
x [ln(x + 4) − ln(x + 1)] ,
25) lim
x→0
+
[ln(x) − ln(sin 2x)] ,
26) lim
x→0
ln(1 + sin
2
x)
x
2
,
27) lim
x→0
1 −
√
1 − x
sin 4x
,
28)
lim
x→−∞
x + sin x
x − cos x
,
29) lim
x→
π
4
cos x − sin x
cos 2x
,
30) lim
x→0
√
2 −
√
1 + cos x
sin
2
x
,
31) lim
x→1
x
4
− 3x + 2
x
5
− 4x + 3
32)
lim
x→−1
1 +
3
√
x
1 +
5
√
x
,
33) lim
x→
1
2
8x
3
− 1
6x
2
− 5x + 1
34) lim
x→8
√
9 + 2x − 5
3
√
x − 2
35)
lim
x→−∞
e
x+sin
2
x
,
36) lim
x→∞
(2 sin x − x).
6. Funkcje określone na wspólnej dziedzinie X = R \ {0} wzorami
a) f (x) =
tg 3x
5x
b) f (x) =
3
√
x + 1 − 1
x
są nieciągłe w punkcie x
0
= 0. Określić funkcje w tym punkcie w taki sposób aby były one ciągłe.
1
